比例的意义和基本性质
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1．用3、8、15、40四个数组成一个比例是 _________ ．
例2．
a和b都不为0，5a=6b，那么a：b= _________ ： _________ ．
例3．如果5a=4b，那么a：b=4：5． _________ ．（判断对错）
例4
如果a=b，a：b= _________ ．
例5．已知a：b=c：d，现将a扩大2倍，b缩小到原来的，而c不变，d应 _________ ，比例仍然成立．
演练方阵
A档（巩固专练）
一．选择题（共15小题）
1．（蜀山区）（ ）能与
：组成比例．
A．
3：4
B．
4：3
C．
3：
D．
：
2．（团风县模拟）把：2=：6
改写成
2×=6×是根据（ ）
A．
小数的性质
B．
分数的性质
C．
比例的性质
D．
比的性质
3．（长寿区）把a×b=c×d改写成比例式是（ ）
A．
a：b=c：d
B．
a：c=b：d
C．
a：c=d：b
4．（白云区）下面哪组中的两个比可以组成比例（ ）
A．
6：9和9：12
B．
1.4：2和14：40
C．
：和5：2
D．
5：2=2：5
5．（庄浪县模拟）与
：能组成比例的是（ ）
A．
：
B．
：
C．
：
6．（广州一模）若，则a：b=（ ）
A．
5：9
B．
4：5
C．
9：5
D．
5：4
7．（同心县模拟）下面的比中（ ）和：能组成比例．
A．
3：2
B．
2：3
C．
：
8．（新会区模拟）如果a=b，那么=（ ）
A．
B．
C．
9．（隆昌县一模）有四个均不为零的数，分别是a、b、c、d，已知a＞b＞c＞d．若四个数能组成比例，一定有（ ）
A．
ab=cd
B．
ad=bc
C．
ac=bd
10．（华亭县模拟）、、8、12四个数组成的比例是（ ）
A．
×8=×12
B．
：=8：12
C．
：12=：8
11．（华亭县模拟）能与：组成比例的是（ ）
A．
2：3
B．
3：2
C．
：
D．
：
12．（蓝田县模拟）下面（ ）组中的两个比不能组成比例．
A．
2：3和6：9
B．
0.01：6.2和0.5：310
C．
：和0.8：0.6
13．（武定县模拟）下面能与：组成比例的是（ ）
A．
3：4
B．
4：3
C．
：
14．（咸安区）在下面的四个比中，能与3：组成比例的是（ ）
A．
3：4
B．
1：12
C．
12：1
15．（南安市）在下面各比例中，与：能组成比例的比是（ ）
A．
3：2
B．
2：3
C．
：2
D．
：
二．填空题（共13小题）
16．（张掖模拟）如果X和Y是两种相关联的量，并且X=Y，那么X和Y成正比例． _________ ．
17．（黄冈模拟）从0.8、2、6、10、15五个数中选出四个数组成的比例是 _________ ．
18．（抚州模拟）若8x=9y，则x：y= _________ ： _________ ，那么x与y成 _________ 比例．
19．（吉州区模拟）一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是，另一个外项是 _________ ．
20．（广州模拟）一个比例，两个外项的比是5：3，则两内项的积一定是15． _________ ．（判断对错）
21．（岚山区模拟）当甲数×=乙数×时，甲数：乙数= _________ ： _________ ，如果甲数+乙数=91，则甲数是 _________ ，乙数是 _________ ．
22．（蓝田县模拟）因为5a=6b
所以a：b=5：6． _________ ．（判断对错）
23．（永康市模拟）在一个比例中，两个外项的积是1，其中一个内项是4，另一个内项是 _________ ．
24．（桐梓县模拟）两个比的比值等于3，这个比例的两个外项分别为和，这个比例是 _________ ．
25．（邯山区）在一个比例中，两个外项的积是2，其中一个内项是7，另一个内项是 _________ ．
26．（长春）一个比例的两个外项互为倒数，一个内项是，另一个内项是 _________ ．
27．（陆良县模拟）两个比组成一个比例． _________ ．（判断对错）
28．（广州模拟）如果A：B=5：7，那么A=5，B=7． _________ ．
B档（提升精练）
一．选择题（共15小题）
1．（华亭县模拟）能与、1、组成比例的数有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
2．（成都）2014x=2013y，则x：y=（ ）
A．
2014：2013
B．
2013：2014
C．
2014：4027
D．
4027：2014
3．（东台市）下面表中能组成比例的是（ ）
A．
年龄/岁
1214
身高/m
1.4
1.6
B．
时间/时
23
路程/km
130140
C．
衣服数量/件
510
总价/元
100
200
4．（邵阳）下面不能组成比例的是（ ）
A．
3：2和4.5：3
B．
4，3，8，6
C．
6.5：5和2.4：4
5．（江东区模拟）下面的几个比，能与：
组成比例的是（ ）
A．
1：10
B．
5：8
C．
：
D．
8：0.5
6．（临川区模拟）已知4×和3×相等，用这四个数组成比例中，正确的是（ ）
A．
4：3=：
B．
3：4=：
C．
：4=：3
7．（蓝田县模拟）在4：9=20：45中，比例的外项是（ ）
A．
4和9
B．
9和20
C．
20比45
D．
4和45
8．（南京）下面能与：4组成比例的是（ ）
A．
5：4
B．
20：1
C．
1：20
D．
5：
9．（巴中）下列选项在能与
：0.75组成比例式的是（ ）
A．
0.875：
B．
0.6：0.36
C．
：
D．
：
10．（张家港市模拟）已知mn=c，=a，（a，b，c，d，m，n都是自然数），那么下面的比例式中正确的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
11．（北京模拟）在比例3：4=9：12中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上（ ）
A．
8
B．
12
C．
24
D．
36
12．（中山模拟）能与：组成比例的比是（ ）
A．
4：5
B．
5：4
C．
0.8：1
D．
：
13．（绥阳县模拟）下面两个比不能组成比例的是（ ）
A．
10：12=35：42
B．
20：10=60：20
C．
：=12：8
D．
0.6：0.2=：
14．（萝岗区模拟）与：能组成比例的是（ ）
A．
：
B．
3：2
C．
：
15．（广州模拟）3A=B，那么A：B=（ ）
A．
3：
B．
：3
C．
1：24
D．
24：1
二．填空题（共13小题）
16．（东莞）根据比例的基本性质，x：y=5：1可以改写成y=x． _________ ．
17．（宿城区模拟）如果4a=3b，那么a：b= _________ ： _________ ，a和b成 _________ 比例．
18．（慈利县模拟）把等式0.5×50=1×25
改写成一个比例式是 _________ ．
19．（同心县模拟）如果x=8y，那么x与y成反比例． _________ ．（判断对错）
20．（临川区模拟）如果2.8X=5y，那么= _________
（判断对错）
21．（贺兰县模拟）若a×3=b×5，则b：a= _________ ： _________ ．
22．（蓝田县模拟）根据3×4=2×6这个等式，能写成 _________ 个比例式．
23．（临川区模拟）如果9a=11b，那么a：b= _________ ： _________ ．
24．（蓝田县模拟）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是0.3，另一个内项是 _________ ．
25．（临川区模拟）如果x×8=y×3，那么x：y= _________ ： _________ ．
26．（永康市模拟）如果3a=4b（a，b都不为0），那么a：b= _________ ： _________ ．
27．（同心县模拟）①写出两个比值是3的比，组成比例是 _________ ．
②如果a×3=b×9，那么a：b= _________ ： _________ ．
28．（永定区模拟）比例的两内项之积为20，其中的一个外项是最小的合数，那么另一个外项是 _________ ．
C档（跨越导练）
一．填空题（共5小题）
1．（北塘区）有两枝蜡烛．当第一枝燃去，第二枝燃去时，它们剩下的部分一样长．这两枝蜡烛原来的长度比是5：3． _________ ．
2．（扬州）甲数的与乙数的20%相等，两数的和5.1，甲数是 _________ ，乙数是 _________ ．
3．（南靖县）观察图，在括号里填字母，使等式成立．
=．
4．（瑞安市）如果У=5x，那么x：У= _________ ： _________ ，x和y成 _________ 比例．
5．（黄岩区）如果：甲×=乙×，那么，甲：乙=6：5 _________ ．（判断正误）
二．解答题（共1小题）
6．（晴隆县）甲数的等于乙数的，甲数与乙数的比是5：4． _________ ．（判断对错）
成长足迹
课后检测
学习（课程）顾问签字：
负责人签字：
教学主管签字：
主管签字时间：
耐心
细心
责任心比例的意义和基本性质
答案
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例1．用3、8、15、40四个数组成一个比例是 3：8=15：40 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，进行解答即可．
解答：
解：因为3×40=8×15，所以3：8=15：40；故答案为：3：8=15：40．
点评：
此题主要考查比例的意义与比例的基本性质．
例2．
a和b都不为0，5a=6b，那么a：b= 6 ： 5 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的性质，把所给的等式5a=6b，改写成一个外项是a，一个内项是b的比例，则和a相乘的数5就作为比例的另一个外项，和b相乘的数6就作为比例的另一个内项，据此写出比例．
解答：
解：因为5a=6b，所以a：b=6：5．故答案为：6，5．
点评：
此题考查把给出的等式改写成比例式，在改写时，要注意：相乘的两个数要做内项就都做内项，要做外项就都做外项．
例3．如果5a=4b，那么a：b=4：5． √ ．（判断对错）
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
逆用比例的基本性质，把5a=4b改写成比例的形式，使相乘的两个数a和5做比例的外项，则相乘的另两个数b和4就做比例的内项，进而判断得解．
解答：
解：因为5a=4b，所以a：b=4：5．故答案为：√．
点评：
解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项．
例4． 如果a=b，a：b= 3：8 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
比例的基本性质为：比例的两外项之积等于其两内项之积，据此进而解答即可．
解答：
解：因为a=b，所以，a：b==3：8故答案为：3：8．
点评：
本题考查了学生据比例的基本性质通过乘法等式求比例的能力．
例5．已知a：b=c：d，现将a扩大2倍，b缩小到原来的，而c不变，d应 缩小到原来的 ，比例仍然成立．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
压轴题；比和比例．
分析：
依据比例的基本性质，即两个内项的积等于两个外项的积．即可把a：b=c：d改写成ad=bc，如果a扩大2倍，变成2a，b缩小到原来的变成b，c不变，将2a和b代入等式，因此要使比例式成立，d的值应满足等式左右两边的值相等，据此解答即可．
解答：
解：因为a：b=c：d，所以ad=bc，如果a扩大2倍，变成2a，b缩小到原来的变为b，c不变，将2a、b，代入等式ad=bc，可得：2a“d”=bc，即6a“d”=bc，要使等式成立，“d”=d，则“d”应缩小到原来的；故答案为：缩小到原来的．
点评：
此题考查比例性质的运用：比例的外项积扩大（或缩小）若干倍，则内项积就扩大（或缩小）相同的倍数，这样比例式才成立．
演练方阵
A档（巩固专练）
一．选择题（共15小题）
1．（蜀山区）（ ）能与
：组成比例．
A．
3：4
B．
4：3
C．
3：
D．
：
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
压轴题．
分析：
表示两个比相等的式子叫做比例，只要比值和：相等比就能和它组成比例，因此下列各选项的比值哪个和：相等，就为正确选项．
解答：
解：：=3：4；故选：A．
点评：
本题主要考查了比例的意义．
2．（团风县模拟）把：2=：6
改写成
2×=6×是根据（ ）
A．
小数的性质
B．
分数的性质
C．
比例的性质
D．
比的性质
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
比例的性质是比例的两个内项积等于两个外项积，在此比例中，和6是外项，2和是内项，将此比例改写成两个内项积等于两个外项积，就是根据比例的性质．
解答：
解：在此比例中，和6是外项，2和是内项；改写成2×=6×，就是根据比例的性质；故应选C．
点评：
此题属于考查对比例的基本性质的理解，比例的性质是比例的两个内项积等于两个外项积．
3．（长寿区）把a×b=c×d改写成比例式是（ ）
A．
a：b=c：d
B．
a：c=b：d
C．
a：c=d：b
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
压轴题．
分析：
依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式，从而作出正确选择．
解答：
解：因为a×b=c×d，所以a：c=d：b；因为选项A，a：b=c：d，则a×d=b×c，与题干不符，故不正确；因为选项B，a：c=b：d，则a×d=c×b，与题干不符，故不正确；故选：C．
点评：
此题主要考查比例的基本性质的逆运用．
4．（白云区）下面哪组中的两个比可以组成比例（ ）
A．
6：9和9：12
B．
1.4：2和14：40
C．
：和5：2
D．
5：2=2：5
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的基本性质：两内项积等于两外项积，通过计算即可得答案．
解答：
解；A.6：9和9：12，9×9=81，6×12=72，6：9和9：12不能组成比例；B.1.4：2和14：40，2×14=28，1.4×40=56，1.4：2和14：40不能组成比例；C．：和5：2，×5=1，×2=1，：=5：2，：和5：2能组成比例；D.5：2和2：5不能组成比例；故选：C．
点评：
此题主要考查比例的基本性质．
5．（庄浪县模拟）与
：能组成比例的是（ ）
A．
：
B．
：
C．
：
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
表示两个比值相等的式子叫做比例．根据比例的意义，可以先求出这几个比的比值，然后可以选择出正确答案．
解答：
解：：==，A：，B：，C：，故选：C．
点评：
紧扣比例的意义，即可解决此类问题．
6．（广州一模）若，则a：b=（ ）
A．
5：9
B．
4：5
C．
9：5
D．
5：4
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式．
解答：
解：a=b，a：b，=：，=（×6）：（×6），=5：4；故选：D．
点评：
此题主要考查比例的基本性质的灵活应用．
7．（同心县模拟）下面的比中（ ）和：能组成比例．
A．
3：2
B．
2：3
C．
：
考点：
比例的意义和基本性质；求比值和化简比．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；由此依次算出各选项的比值，找出与：比值相等的选项组成比例．
解答：
解：：的比值为：：=÷1.5A选项的比值是：3：2=1.5；1.5=1.5，所以3：2和：能组成比例；B选项的比值是：2：3=；≠1.5，所以2：3和：不能组成比例；C选项的比值是：：==，≠1.5，所以：和：不能组成比例；故选：A．
点评：
本题主要是应用比例的意义（表示两个比相等的式子）解决问题．
8．（新会区模拟）如果a=b，那么=（ ）
A．
B．
C．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
逆用比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．
解答：
解：因为a=b，所以a：b=：，故选：B．
点评：
本题主要是灵活利用比例的基本性质解决问题．
9．（隆昌县一模）有四个均不为零的数，分别是a、b、c、d，已知a＞b＞c＞d．若四个数能组成比例，一定有（ ）
A．
ab=cd
B．
ad=bc
C．
ac=bd
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．
解答：
解：因为有四个均不为零的数，分别是a、b、c、d，已知a＞b＞c＞d．若四个数能组成比例；所以ab=cd，故选：A．
点评：
本题主要是灵活利用比例的基本性质解决问题．
10．（华亭县模拟）、、8、12四个数组成的比例是（ ）
A．
×8=×12
B．
：=8：12
C．
：12=：8
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的基本性质：在比例里，两内项之积等于两外项之积，验证各选项即可得出答案．
解答：
解：A、×8=×12，不是比例式；B、：=8：12，×12≠×8，不能组成比例；C、：12=：8，×8=×12，能组成比例；故选：C．
点评：
此题主要考查利用比例的基本性质验证两个比是否能组成比例．
11．（华亭县模拟）能与：组成比例的是（ ）
A．
2：3
B．
3：2
C．
：
D．
：
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的意义作答，即表示两个比相等的式子叫做比例，所以分别求出选项中的比值即可．
解答：
解：因为：=÷=1.5；A、2：3=；B、3：2=1.5，C、：=；D、：与题干是相同的比；故选：B．
点评：
本题主要考查了比例的意义，即表示两个比相等的式子叫做比例．
12．（蓝田县模拟）下面（ ）组中的两个比不能组成比例．
A．
2：3和6：9
B．
0.01：6.2和0.5：310
C．
：和0.8：0.6
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
根据比例的基本性质，两外项积等于两内项积，以此即可得出答案．
解答：
解：A、2：3和6：9中，2×9=3×6；B、0.01：6.2和0.5：310中，0.01×310=6.2×0.5；C、：和0.8：0.6中，×0.6≠×0.8所以：和0.8：0.6不能组成比例．故选C．
点评：
此题主要根据比例的基本性质来判断两个比能不能组成比例．
13．（武定县模拟）下面能与：组成比例的是（ ）
A．
3：4
B．
4：3
C．
：
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
压轴题．
分析：
根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．所以先求出：的比值，然后求出各答案中的比的比值，哪个比的比值与：的比值相等，就是能与：组成比例的比，据此解答．
解答：
解：：=，3：4=，4：3=，：=，所以能与：组成比例的比是4：3；故选：B．
点评：
本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的方法，求出比值，比值相等两个比就能组成比例．
14．（咸安区）在下面的四个比中，能与3：组成比例的是（ ）
A．
3：4
B．
1：12
C．
12：1
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
比例是指表示两个比相等的式子，因此可以用求比值的方法，先求出3：的比值，进而求出每一个选项中比的比值，再根据比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例得解．
解答：
解：3：=3=12，A、3：4=3，因为≠12，所以不能组成比例；B、1：12=1，因为≠12，所以不能组成比例；C、12：1=12÷1=12，因为12=12，所以能组成比例；故选：C．
点评：
解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，等于能组成比例，不等于就不能组成比例．
15．（南安市）在下面各比例中，与：能组成比例的比是（ ）
A．
3：2
B．
2：3
C．
：2
D．
：
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．算出各选项的比值，找出与：比值相等的选项组成比例
解答：
解：：的比值为，本题下的四个选项中：A选项的比值是；B选项的比值是；
C选项的比值是；
D选项的比值是；故选：A．
点评：
此题考查比例的意义，只有两个比的比值相等才可以组成比例．
二．填空题（共13小题）
16．（张掖模拟）如果X和Y是两种相关联的量，并且X=Y，那么X和Y成正比例． 正确 ．
考点：
比例的意义和基本性质；正比例和反比例的意义．
分析：
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用下面的式子表示：=k（一定）．
解答：
解：根据正比例关系：=k（一定），如果X和Y是两种相关联的量，并且X=Y，则：=1，k=1，那么X和Y成正比例．故答案为：正确．
点评：
此题考查了正比例和反比例的意义．
17．（黄冈模拟）从0.8、2、6、10、15五个数中选出四个数组成的比例是 0.8：2=6：15 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积即可作答．
解答：
解：从0.8、2、6、10、15五个数中选出四个数可以是0.8、2、6、15，由于0.8×15=2×6=12，所以可组成的比例是0.8：2=6：15．故答案为：0.8：2=6：15．
点评：
此题考查了比例的基本性质的灵活运用．
18．（抚州模拟）若8x=9y，则x：y= 9 ： 8 ，那么x与y成 正 比例．
考点：
比例的意义和基本性质；辨识成正比例的量与成反比例的量．
专题：
比和比例．
分析：
先依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积解答，再根据正反比例的意义解答即可．
解答：
解：若8x=9y，则x：y=9：8，x：y=，是比值一定，那么x与y成
正比例；故答案为：9，8，正．
点评：
此题考查了比例的基本性质及判断正反比例方法的灵活运用．
19．（吉州区模拟）一个比例的两个内项互为倒数，一个外项是，另一个外项是 8 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
由“一个比例的两个内项互为倒数”，根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，可知两个外项也互为倒数；再根据“其中一个外项是”，进而求出的倒数得解．
解答：
解：一个比例的两个内项互为倒数，可知两个外项也互为倒数，乘积都是1，所以另一个外项是：1=8．故答案为：8．
点评：
此题考查比例性质的运用：在比例里，两内项的积等于两外项的积；也考查了两个数互为倒数时，乘积是1．
20．（广州模拟）一个比例，两个外项的比是5：3，则两内项的积一定是15． × ．（判断对错）
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
一个比例，两个外项的比是5：3，不能说明两个外项分别就是5和3，5：3可能是根据比的性质化简成的最简比，表示原来比的两个数的乘积就不是15．
解答：
解：一个比例，两个外项的比是5：3，不能说明两个外项分别就是5和3，5：3可能是根据比的性质化简成的最简比；故答案为：×．
点评：
此题属于考查对比的化简和比的基本性质的灵活运用．
21．（岚山区模拟）当甲数×=乙数×时，甲数：乙数= 2 ： 5 ，如果甲数+乙数=91，则甲数是 26 ，乙数是 65 ．
考点：
比例的意义和基本性质；比的意义．
专题：
比和比例．
分析：
假设甲数×=乙数×=1分别求出甲乙两个数，然后求出两个数的比，最后再运用和比问题的解答方法进行计算即可．
解答：
解：甲数×=乙数×=1所以甲数×=1甲数=2乙数×=1乙数=5即甲数：乙数=2：5甲数=91×=26乙数=91﹣26=65故答案为：2，5，26，65．
点评：
本题可以运用假设法求出甲乙两个数的比，然后运用和比问题的解答方法进行解答即可．
22．（蓝田县模拟）因为5a=6b
所以a：b=5：6． × ．（判断对错）
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的性质，把所给的等式5a=6b（a和b都不等于0），改写成一个外项是a，一个内项是b的比例，则和a相乘的数5就作为比例的另一个外项，和b相乘的数6就作为比例的另一个内项，据此写出比例．
解答：
解：5a=6b，所以a：b=6：5．所以这句话是错误的．故答案为：×．
点评：
本题须根据比例的基本性质来解答．
23．（永康市模拟）在一个比例中，两个外项的积是1，其中一个内项是4，另一个内项是 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的性质“两内项的积等于两外项的积”，先确定出两个内项的积，进而除以一个內项，即可求得另一个内项的数值．
解答：
解：两个外项的积是1，那么两个内项的积也是1其中一个内项是4，另一个内项是1÷4=．故答案为：．
点评：
此题考查比例性质的运用：在比例里，两内项的积等于两外项的积；也可以根据倒数的意义求解．
24．（桐梓县模拟）两个比的比值等于3，这个比例的两个外项分别为和，这个比例是 ：=1： ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
设这个比例的两个内项分别是X、Y．根据题意列出比例式：：X=Y：．又比值为3，即：：X=Y：=3，解出X和Y即可．
解答：
解：有题意得：：X=3X=÷3X=Y：=3Y=×3Y=1．故比例式为：：=1：．
点评：
本题考查了比例的基本性质及解比例．
25．（邯山区）在一个比例中，两个外项的积是2，其中一个内项是7，另一个内项是 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的性质，两个内项的积等于两个外项的积，两个外项积是2，就说明两个内项的积也是2，再根据一个内项是7，求出另一个内项的数值．
解答：
解：据分析可知：另一个内项为：2÷7=．故答案为：．
点评：
此题考查比例性质的运用．
26．（长春）一个比例的两个外项互为倒数，一个内项是，另一个内项是 5 ．
考点：
比例的意义和基本性质；倒数的认识．
分析：
由一个比例的两个外项互为倒数，根据比例的性质，可知此比例的两个内项也互为倒数，再根据一个内项是，进而运用倒数的意义求得另一个内项的数值．
解答：
解：两个外项互为倒数，则两个内项也互为倒数，一个内项是，另一个内项是：1÷=5；故答案为：5．
点评：
此题考查比例基本性质的运用：在比例里，两外项的积等于两内项的积．
27．（陆良县模拟）两个比组成一个比例． 错误 ．（判断对错）
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
比例是表示两个比相等的式子．只有当两个比相等的时候，才能组成一个比例．随便的两个比不一定能组成比例．
解答：
解：只有当两个比相等的时候，才能组成一个比例．随便的两个比不一定能组成比例．故答案为：错误．
点评：
此题考查比例的意义：只有当两个比相等的时候，才能组成一个比例．
28．（广州模拟）如果A：B=5：7，那么A=5，B=7． 错误 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
A：B=5：7，只能说明A是5份的数，B是7份的数，因为不知每份的数是多少，所以不能确定A和B的具体的数值．据此进行判断．
解答：
解：如果A：B=5：7，只能说明A是5份的数，B是7份的数，不能确定A和B的具体的数值；故答案为：错误．
点评：
此题考查比例的意义：形如A：B=5：7的比例，不能确定出A和B的具体数值，因为每份的数可以是变量．
B档（提升精练）
一．选择题（共15小题）
1．（华亭县模拟）能与、1、组成比例的数有（ ）个．
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
比例的基本性质：在比例里，两外项的积等于两内项的积；所以把、1、这三个数中的任何数看作外项，可以求出另外的所缺的项．
解答：
解：因为、1、这三个数中，两两组有3种方法，所以能与、1、组成比例的数有3个；故选：C．
点评：
此题考查比例性质的运用：在比例里，两外项的积等于两内项的积．
2．（成都）2014x=2013y，则x：y=（ ）
A．
2014：2013
B．
2013：2014
C．
2014：4027
D．
4027：2014
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的性质，把所给的等式2014x=2013y，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数2014就作为比例的另一个外项，和y相乘的数2013就作为比例的另一个内项，据此写出比例即可．
解答：
解：如果2014x=2013y，那么x：y=2013：2014．故选：B．
点评：
此题考查把给出的等式改写成比例式的方法，在改写时，要注意：相乘的两个数要做内项就都做内项，要做外项就都做外项．
3．（东台市）下面表中能组成比例的是（ ）
A．
年龄/岁
1214
身高/m
1.4
1.6
B．
时间/时
23
路程/km
130140
C．
衣服数量/件
510
总价/元
100
200
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
比例是指表示两个比求出每一个选项中比的比值，再根据比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例得解．
解答：
解：A、因为12：1.4≠14：1.6，所以不能组成比例；B、因为130：2≠140：3，所以不能组成比例；C、因为100：5=200：10，所以能组成比例．故选：C．
点评：
解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，等于能组成比例，不等于就不能组成比例．
4．（邵阳）下面不能组成比例的是（ ）
A．
3：2和4.5：3
B．
4，3，8，6
C．
6.5：5和2.4：4
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
依据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分别求出3个选项中，两内项之积于两外项之积，不相等的不可组成比例．
解答：
解：A，因为3×3=92×4.5=9所以3：2和4.5：3能组成比例；B，因为8×3=246×4=24所以4、3、8、6能组成比例；C，因为6.5×4=265×2.4=1212≠26所以6.5：5和2.4：4不能组成比例，故选：C．
点评：
本题主要考查学生对于比例基本性质知识掌握．
5．（江东区模拟）下面的几个比，能与：
组成比例的是（ ）
A．
1：10
B．
5：8
C．
：
D．
8：0.5
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的意义，即表示两个比相等的式子，叫做比例；判断两个比能否组成比例，就是看两个比的比值是否相等，若相等，则能组成比例，反之不能．
解答：
解：因为：=，选项A，1：10=，不符合要求；选项B，5：8=，不符合要求；选项C，：=，符合要求；选项D，8：0.5=，不符合要求；所以：能与：组成比例；故选：C．
点评：
解答此题的关键是明白：判断两个比能否组成比例，就是看两个比的比值是否相等，若相等，则能组成比例，反之不能．
6．（临川区模拟）已知4×和3×相等，用这四个数组成比例中，正确的是（ ）
A．
4：3=：
B．
3：4=：
C．
：4=：3
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的性质“两外项之积等于两外项之积”，先把每一个选项中的比例式改写成等式，进而与等式4×=3×相比较，即可判断并选择．
解答：
解：4×和3×相等，也即4×=3×A、如果4：3=：，那么4×=，与等式4×=3×不相符合，所以此选项错误；B、如果3：4=：，那么3×=4×，与等式4×=3×不相符合，所以此选项错误；C、如果：4=：3，那么4×=3×，与等式4×=3×相符合，所以此选项正确．故选：C．
点评：
此题考查比例性质的灵活运用．
7．（蓝田县模拟）在4：9=20：45中，比例的外项是（ ）
A．
4和9
B．
9和20
C．
20比45
D．
4和45
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
比例中，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项，以此即可得答案．
解答：
解：在4：9=20：45中，4和45是外项，9和20是内项．故选D，
点评：
此题主要考查比例各部分的名称．
8．（南京）下面能与：4组成比例的是（ ）
A．
5：4
B．
20：1
C．
1：20
D．
5：
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
表示两个比相等的式子叫做比例，据此可先求出：4的比值，再逐项求出每个比的比值，进而根据两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例．
解答：
解：：4=÷4=；A、5：4=5÷4=，因为，所以不能组成比例；B、20：1=20÷1=20，因为20≠，所以不能组成比例；C、1：20=1÷20=，因为=，所以能组成比例；D、5：=5÷=20，因为20≠，所以不能组成比例；故选：C．
点评：
解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积等于能组成比例，不等于就不能组成比例．
9．（巴中）下列选项在能与
：0.75组成比例式的是（ ）
A．
0.875：
B．
0.6：0.36
C．
：
D．
：
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
表示两个比相等的式子叫做比例，先求出：0.75的比值，再分别求出A、B、C、D，4个比的比值，据此作出判断．
解答：
解：：0.75=÷0.75=，A、0.875：=÷=，B、0.6：0.36=0.6÷0.36=，C、：=÷=，D、：=÷=；故选：A．
点评：
解决此题的关键是分别求出A、B、C、D的比值和：0.75的比值比较．
10．（张家港市模拟）已知mn=c，=a，（a，b，c，d，m，n都是自然数），那么下面的比例式中正确的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
由=a，可得c=ab，再由mn=c，可得mn=ab，进而逆用比例的性质把等式mn=ab转化成比例式即可．
解答：
解：因为=a，所以c=ab，因为c=ab，mn=c，所以mn=ab，所以；故选：D．
点评：
此题考查比例性质的灵活应用，解决关键是根据=a，推出c的值，进而把c的值代入mn=c中，再把等式改写成比例式即可．
11．（北京模拟）在比例3：4=9：12中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上（ ）
A．
8
B．
12
C．
24
D．
36
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
在比例3：4=9：12中，若第一个比的后项加上8，由4变成12，这样两内项的积就成了108，根据比例的性质，两外项的积也得是108，再用108除以前一个比的前项3即得后一个比的后项，进而求出第二个比的后项应加上几即可．
解答：
解：比例3：4=9：12中，第一个比的后项加上8，由4变成12，则两内项的积：12×9=108，两外项的积也得是108，第二个比的后项应是：108÷3=36，第二个比的后项应加上：36﹣12=24；故选：C．
点评：
此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积．
12．（中山模拟）能与：组成比例的比是（ ）
A．
4：5
B．
5：4
C．
0.8：1
D．
：
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
判断两个比能否组成比例，根据比例的意义，可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例．
解答：
解：：==；A、4：5=4，因为，所以不能组成比例；B、5：4=，因为=，所以能组成比例；C、0.8：1=0.8÷1=，因为，所以不能组成比例；D、：==，因为，所以不能组成比例；故选：B．
点评：
解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，等于就能组成比例，不等于就不能组成比例．
13．（绥阳县模拟）下面两个比不能组成比例的是（ ）
A．
10：12=35：42
B．
20：10=60：20
C．
：=12：8
D．
0.6：0.2=：
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积．据此逐项分析再选择．
解答：
解：A、因为10×42=12×35，所以10：12和35：42能组成比例；B、因为20×20≠10×60，所以20：10和60：20不能组成比例；C、因为×8=×12，所以：和12：8能组成比例；D、因为0.6×=0.2×，所以0.6：0.2和：能组成比例；故选：B．
点评：
此题考查比例性质的运用：验证两个比能否组成比例，就看两内项的积是否等于两外项的积．
14．（萝岗区模拟）与：能组成比例的是（ ）
A．
：
B．
3：2
C．
：
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
表示两个比相等的式子叫做比例，据此可先求出4：0.3的比值，再逐项求出每个比的比值，进而根据两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例．
解答：
解：：=÷=；A、：=÷=，因为=，所以能组成比例；B、3：2=3÷2=，因为≠，所以不能组成比例；C、：=÷=，因为≠，所以不能组成比例；故选：A．
点评：
解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积等于能组成比例，不等于就不能组成比例．
15．（广州模拟）3A=B，那么A：B=（ ）
A．
3：
B．
：3
C．
1：24
D．
24：1
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的性质，把所给的等式3A=B，改写成一个外项是A，一个内项是B的比例，则和A相乘的数3就作为比例的另一个外项，和B相乘的数就作为比例的另一个内项，据此写出比例，并化成最简比．
解答：
解：因为3A=B所以A：B=：3=1：24．故选：C．
点评：
此题考查把给出的等式改写成比例式，在改写时，要注意：相乘的两个数要做内项就都做内项，要做外项就都做外项；还要注意最后的结果要化成最简比．
二．填空题（共13小题）
16．（东莞）根据比例的基本性质，x：y=5：1可以改写成y=x． √ ．
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
根据比例的基本性质，x：y=5：1可以改写成比例式为5y=x，两边同除以5得，y=x．
解答：
解：根据两内项之积等于两外项之积，x：y=5：1可以改写成5y=x，所以y=x．故答案为：√．
点评：
此题着重考查对比例基本性质的掌握与运用情况．
17．（宿城区模拟）如果4a=3b，那么a：b= 3 ： 4 ，a和b成 正 比例．
考点：
比例的意义和基本性质；正比例和反比例的意义．
专题：
比和比例．
分析：
先依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式，再据正、反比例的意义，即可判定a和b成何比例．
解答：
解：因为4a=3b，则a：b=3：4=（一定），所以a和b成正比例；故答案为：3、4、正．
点评：
此题主要考查比例的基本性质的逆运用，若两个相关联量得比值（或乘积）一定，则这两个量成正（或反）比例．
18．（慈利县模拟）把等式0.5×50=1×25
改写成一个比例式是 0.5：1=25：50 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
逆用比例的基本性质，把等式0.5×50=2×25改写成比例的形式，使相乘的两个数0.5和50做比例的外项或外项，则相乘的另两个数2和20就做比例的内项即可．
解答：
解：把等式0.5×50=1×25改写成一个比例式，可以是0.5：1=25：50．故答案为：0.5：1=25：50．
点评：
此题答案不唯一，解答时关键是要注意：相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项．
19．（同心县模拟）如果x=8y，那么x与y成反比例． × ．（判断对错）
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比的关系．如果x=8y，则8=，商是8为定量，所以x与y成正比例．
解答：
解：如果x=8y，则8=．根据正比例的意义，x与y成正比例．故答案为：×．
点评：
本题主要考查了正反比例的意义．
20．（临川区模拟）如果2.8X=5y，那么= ×
（判断对错）
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的性质，先把比例式=改写成等式的形式，进而与等式2.8x=5y比较，即可判断．
解答：
解：如果=，那么5x=2.8y，与条件2.8x=5y不相符合，所以原说法错误．故答案为：×．
点评：
解决此题也可以逆用比例的性质，把等式改写成比例，进而与比例式=比较得解．
21．（贺兰县模拟）若a×3=b×5，则b：a= 3 ： 5 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
利用比例的基本性质写成比例式即可得出答案．
解答：
解：a×3=b×5，b：a=3：5；故答案为：3，5．
点评：
解决此题注意利用比例的基本性质解决问题．
22．（蓝田县模拟）根据3×4=2×6这个等式，能写成 8 个比例式．
考点：
比例的意义和基本性质．
分析：
依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积即可完成本题．
解答：
解：由“3×4=2×6”可得：3：2=6：4，2：3=4：6，3：6=2：4，6：3=4：2，6：4=3：2，4：6=2：3，4：2=6：3，2：4=3：6；共有五个比例式；故答案为：8．
点评：
此题主要考查比例的基本性质．
23．（临川区模拟）如果9a=11b，那么a：b= 11 ： 9 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
逆用比例的基本性质，把9a=11b改写成比例的形式，使相乘的两个数a和9做比例的外项，则相乘的另两个数b和11就做比例的内项，据此写出比例即可．
解答：
解：如果9a=11b，那么a：b=11：9．故答案为：11，9．
点评：
解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项．
24．（蓝田县模拟）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是0.3，另一个内项是 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，先求出两外项的积，就等于知道了两内项之积，进而可以求出另一个内项．
解答：
解：因为两个外项互为倒数，则两外项之积=两内项之积=1，所以另一个外项为：1÷0.3=故答案为：．
点评：
解答此题的主要依据是：比例的基本性质以及互为倒数的两个数的积是1．
25．（临川区模拟）如果x×8=y×3，那么x：y= 3 ： 8 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的性质，把所给的等式x×8=y×3，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数8就作为比例的另一个外项，和y相乘的数3就作为比例的另一个内项，据此写出比例．
解答：
解：如果x×8=y×3，那么x：y=3：8．故答案为：3，8．
点评：
解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做内项就都做内项，要做外项就都做外项．
26．（永康市模拟）如果3a=4b（a，b都不为0），那么a：b= 4 ： 3 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
根据比例的性质，把所给的等式3a=4b，改写成一个外项是a，一个内项是b的比例，则和a相乘的数3就作为比例的另一个外项，和b相乘的数4就作为比例的另一个内项，据此写出比例．
解答：
解：因为3a=4b，所以a：b=4：3．故答案为：4，3．
点评：
此题考查把给出的等式改写成比例式，在改写时，要注意：相乘的两个数要做内项就都做内项，要做外项就都做外项．
27．（同心县模拟）①写出两个比值是3的比，组成比例是 6：2=12：4 ．
②如果a×3=b×9，那么a：b= 3 ： 1 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
（1）任意写出比值是3的两个比，再组成比例即可．（2）将乘积形式的等式改写成比例时，要根据比例的基本性质：两外项积等于两内项积．在a×3=b×9中，a×3是外项，b×9就是内项，由此即可写出比例：a：b=3：1；
解答：
解：（1）因为6：2=3；12：4=3；所以可得比例式：6：2=12：4．（2）因为：a×3是外项，b×9就是内项，所以：a：b=3：1；故答案为：6：2=12：4，3，1．
点评：
（1）此题考查比例的意义：表示两个比相等的式子；解决此题只要任意写出两个比值为3的比，即可组成比例．（2）本题考查了比例的基本性质．
28．（永定区模拟）比例的两内项之积为20，其中的一个外项是最小的合数，那么另一个外项是 5 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
比和比例．
分析：
比例的基本性质：在比例里，两个內项的积等于两个外项的积．因为比例的两内项之积为20，最小的合数是4，所以用20÷4即可求解．
解答：
解：因为最小的合数是4，所以20÷4=5；答：另一个外项是5．故答案为：5．
点评：
此题主要考查比例的基本性质及合数、最小的合数等知识．
C档（跨越导练）
一．填空题（共5小题）
1．（北塘区）有两枝蜡烛．当第一枝燃去，第二枝燃去时，它们剩下的部分一样长．这两枝蜡烛原来的长度比是5：3． 正确 ．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
压轴题．
分析：
根据“第一枝燃去”，可知第一枝还剩下（1﹣）；根据“第二枝燃去”，可知第二枝还剩下（1﹣）；再根据“这时它们剩下的部分一样长”，可得出等量关系式：第一枝的长度×（1﹣）=第二枝的长度×（1﹣），然后把这个等式改写成比例即可解决问题．
解答：
解：第一枝剩下：1﹣=，第二枝剩下：1﹣=，则第一枝的长度×=第二枝的长度×，第一枝的长度：第二枝的长度=：=5：3，所以这两枝蜡烛原来的长度比是5：3；故判断为：正确．
点评：
解决此题的关键是先求出两枝蜡烛剩下的分率，进而根据题意写出等式，再把等式改写成比例．
2．（扬州）甲数的与乙数的20%相等，两数的和5.1，甲数是 ，乙数是 ．
考点：
比例的意义和基本性质；按比例分配应用题．
专题：
压轴题．
分析：
根据甲数的与乙数的20%相等，用20%除以可以知道甲数相当于乙数的几分之几，再根据两数的和是5.1，即可求出甲数和乙数各是多少．
解答：
解：=，乙数：5.1÷（1+）=÷，=×，=，=；甲数：5.1﹣=﹣，=，=；故答案为：，．
点评：
解答这类题目比较麻烦，在计算的过程中一定要细心．
3．（南靖县）观察图，在括号里填字母，使等式成立．
=．
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
压轴题．
分析：
因为每个面的小正方形的面积是一定的，根据要求的面的面积跟对应面的小正方形的个数成正比例关系，可列比例解答．
解答：
解：上面是由3个小正方形组成的，前面是由5个小正方形组成的，所以：；故答案为：3，5．
点评：
解答这类题目，找到对应面的小正方形的个数，然后根据正比例关系解答．
4．（瑞安市）如果У=5x，那么x：У= 3 ： 20 ，x和y成 正 比例．
考点：
比例的意义和基本性质；辨识成正比例的量与成反比例的量．
专题：
压轴题；比和比例．
分析：
（1）根据比例的基本性质，把y=5x改写成比例的形式，使x和5做比例的外项，y和做比例的内项，再根据比的基本性质化简成最简比即可；（2）再根据x和y对应的比值一定，符合正比例的意义，判断x和y成正比例关系．
解答：
解：（1）因为y=5x，使x和5做比例的外项，y和做比例的内项，所以x：y=：5=3：20；（2）因为x：y=3：20=3（一定），是x和y对应的比值一定，符合正比例的意义，所以x和y成正比例．故答案为：3，2，正．
点评：
解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项；也考查了判断两个相关联的量成什么比例．
5．（黄岩区）如果：甲×=乙×，那么，甲：乙=6：5 × ．（判断正误）
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
压轴题；比和比例．
分析：
根据比例的基本性质，把甲×=乙×改写成比例的形式，使甲和做比例的外项，乙和做比例的内项，再根据比的基本性质化简即可．
解答：
解：因为甲×=乙×，使甲和做比例的外项，乙和做比例的内项，所以甲：乙=：=10：12=5：6．故判定为：×．
点评：
解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：相乘的两个数要做外项就都做外项，要做内项就都做内项．
二．解答题（共1小题）
6．（晴隆县）甲数的等于乙数的，甲数与乙数的比是5：4． √ ．（判断对错）
考点：
比例的意义和基本性质．
专题：
压轴题；比和比例．
分析：
根据“甲数的等于乙数的，”知道甲数×=乙数×，再逆用比例的基本性质，得出甲数与乙数的比，再根据比的基本性质化简即可．
解答：
解：因为甲数×=乙数×，所以甲数：乙数=：，=（×20）：（×20），=5：4；故答案为：√．
点评：
本题主要是灵活利用比例的基本性质与比的基本性质解决问题．
成长足迹
课后检测
学习（课程）顾问签字：
负责人签字：
教学主管签字：
主管签字时间：
耐心
细心
责任心
