(共16张PPT)
1、使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象．
2、使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识．
重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用.
难点：定理的发现及运用
.
抛物线
y
原点
x
上
低
下
高
小
问题：
（1）同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?
（2）我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?
（3）一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?
它有一条对称轴，且对称轴
和图象有一点交点。
（1）画二次函数y=x2的图象。
x
…
…
y
…
…
【归纳】
【抛物线概念】
抛物线与它的对称轴的
交点叫做抛物线的顶点．
【顶点概念
】
像这样的曲线通常叫
做抛物线。
－3
－2
－1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
1．抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点．
2．a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；
3．a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大；
（1）在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?
【归纳】
B
m<2
知识点一
二次函数y=ax2的图象及性质
③①④②
y1>y2>y3
知识点一
二次函数y=ax2的图象及性质
A
2
知识点二
二次函数y=ax2（a≠0）的关系式及应用
例1:已知函数
是开口向下的二次函数,则m=___.
它是二次函数，所以m2-7=2,
解析：
-3
得m=±3,
且开口向下，所以m-2<0,
得m<2.即：m=-3.
例2：已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，-
4）是否在此抛物线上。
（1）把a的值求出即可;
（2）把B的坐标代入，等式成立则是在此抛物线上，否则不在。
解析：
(1)把（-2，-8）代入y=ax2中得：a=-2.
解：
解析式为：y=-2x2
(2)把（-1，-
4）代入y=-2x2中等式不成立
∴点B（-1，-
4）不在此抛物线上。
D
0
解：
由题意得
m2+m=2
m+2>0
解得m=1
解：
图略，开口向下对称轴为y轴，最大值是0，顶点坐标（0，0）,交点坐标为（0，0）,（1，-1）.
1．抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点．
2．a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；
3．a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大；
“课后练习”内容.(共15张PPT)
1.使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象
.
2.让学生经历二次函数y＝ax2＋k性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋k的性质及它与函数y＝ax2的关系
.
重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系
.
难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系
.
抛物线
形状
顶点位置
y
(0,k)
平移
k
下
问题：
y＝3x的图象向
平移
个单位就得到y＝3x+2的图象。
y＝3x的图象向
平移
个单位就得到y＝3x-1的图象。
猜想：
y＝x2的图象向
平移
个单位就得到y＝x2+1的图象；
y＝x2的图象向
平移
个单位就得到y＝x2-1的图象；
在同一直角坐标系中,画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2-1的图象，观察图象你能得到什么规律？
归纳：
抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状相同．
把抛物线y＝x2向上平移1个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向下平移1个单位，就得到抛物线y＝x2－1．
知识点一
二次函数y=ax2+k的图象和性质
(0,－2)
y轴
(0,2)
相同
下
y轴
y11
知识点二
二次函数y=ax2+k与y=ax2之间的平移
y=x2+1
-3
4
知识点三
抛物线y=ax2+k的应用
B
知识点三
抛物线y=ax2+k的应用
C
例1：抛物线y=-x2-1的开口向下，对称轴是___轴，顶点坐标是_________。它与y=-x2的形状_______。
解析：
y
从抛物线y=2x2与抛物线y=2x2-1关系入手。
（0,-2)
相同
例2：抛物线y=2x2-1的对称轴是(
)
D
例3：将二次函数的y＝x2图象向下平移3个单位，则平移后的二次函数的解析式为（
）
解析：
y＝ax2＋k与y＝ax2之间的平移是k的值发生变化.
A
A
.y=x2-3
B.y=x2+3
C
.y=(x-3)2
D.y=(x+3)2
C
解：
∴抛物线解析式为y=2x2-6.当x＜0时,y随x的增大而减小.
a2-4a-3=2
a-5<0
a=-1或a=5
a<5
解得
∴
a=-1.
把二次函数的y＝x2图象向上或向下平移k个单位，得到的是y＝ax2＋k或y＝ax2-k的图象。
“课后练习”内容.(共15张PPT)
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质。
重点：通过画图得出二次函数性质.
难点：学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质
.
抛物线
形状
位置
x=h
(h,0)
平移
右
左
我们已经了解到,函数y=ax2+k的图象,可以由
函数y=ax2的图象上下平移所得,那么函数y=
(x-2)2
的图象，是否也可以由函数y=
x2平移而得呢？画
图试一试，你能从中发现什么规律吗？
在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
归纳：
并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x=
-2和直线x=2；顶点坐标分别是(0，0)，(-2，0)，(2，0)．
它们的图象有什么规律？
由抛物线
向左、向右平移一个单位得到的
抛物线分别是:
知识点一
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
C
C
知识点一
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
<3
>3
=3
大
小
0
知识点二
二次函数y=a(x-h)2与y=ax2之间的平移
D
-2
-3
例1：函数y
=
ax2与y
=
a(x
-
2)(a<0
)
函数在同一坐标系里的图象大致是＿＿＿＿。
解析：
根据它们的性质确定a的正负性
（二次函数例y＝a(x—h)2与y
=
ax2训练）
D
例2：将y
=
3x2向左平移2个单位,所得抛物线的解析
式为______________
.
解析：
左右平移是h的值发生改变
.
y=3(x+2)2
例3：二次函数y
=
2(x-1)2的图象可由y
=
2x2的图
象(???
???
)得到
A．向左平移1个单位长度
B．向左平移1个单位长度
C．向右平移1个单位长度
D．向右平移2个单位长度
解析：
左右平移是h的值发生改变
.
C
D
B
解：
（1）略.
（2）开口向上,对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2，0)
（3）该函数图象与函数y=
x2图象形状相同，把抛
物线y=
x2向右平移2个单位得到抛物线y=
(x-2)2
抛物线y
=
ax2向左或向右平移h个单位长度得到的抛物线分别是y＝a(x+h)2,y＝a(x-h)2.
“课后练习”内容.(共16张PPT)
1.掌握抛物线y=ax2平移至y=a(x－h)2+k的规律.
2.会画出y=a(x－h)2+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.
重点：函数形如y＝a(x－h)2＋k图象的性质.
难点：学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.
抛物线
形状
位置
x=h
(h,k)
上
小
减少
k
h,k
(1)函数y=ax2＋k的图象性质（开口方向，对称轴，顶点坐标，最值）
(2)说出函数y=－
x2，
y=－
x2－1的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值以及与x轴，y轴的交点坐标。
(3)由前面的知识，我们知道，函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2x2+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢？
在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
归纳：
并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
它们的图象有什么规律？
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数
y=a(x－h)2+k中k的值；左右平移，只影响h的值.
在y＝a(x－h)2＋k中：
（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.
（2）对称轴是直线x＝h.
（3）顶点坐标为（h，k）
知识点一
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
x=3
A
向下
x<3
x>3
大
3
1
知识点一
二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
C
知识点二
二次函数图像的平移及应用
D
-(x-6)2+2
A
例1：抛物线y
=
?3(x?2)2+4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为(?
???
)
A．开口向下，对称轴为x
=
?2，顶点坐标为(?2，4)
B．开口向上，对称轴为x
=
2，顶点坐标为(2，4)
C．开口向上，对称轴为x
=
2，顶点坐标为(2，?4)
D．开口向下，对称轴为x
=
2，顶点坐标为(2，4)
解析：
根据y＝a(x－h)2＋k的性质可得出结果.
D
解析：
二次函数图象的上下平移，只影响二次函数
y=a(x－h)2+k中k的值；左右平移，只影响h的值.
例2：把抛物线y＝
x2向左平移1个单位长度，再
向下平移1个单位长度，得抛物线为（
）
A.y＝
（x2+2x+2）
B.y＝
（x2+2x－1）
C.y＝
（x2－2x－1）
D.y＝
（x2－2x＋1）
B
解析：
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数
y=a(x－h)2+k中k的值；左右平移，只影响h的值.
例3：将抛物线y＝－x2－1向上平移两个单位得到抛物线的表达式（
）
A.
y＝－x2
B.
y＝－x2－2
C.
y＝－x2+1
D.
y＝x2+1
C
B
解：
整理得m2-2m+3=0,△=-8＜0，
A
（1）y=-
(x+1)2+2，图略.
(2)假设点M在此二次函数的图象上,则-m2=-
(m+1)2+2,
所以此方程无解,即满足条件的m不存在,所以原结论成立.
函数形如y＝a(x－h)2＋k图象的性质：
1.二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数
y＝a(x－h)2+k中k的值；左右平移，只影响h的值.
2.当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.
3.对称轴是直线x＝h.
4.顶点坐标为（h，k）.
“课后练习”内容.(共17张PPT)
1.使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
重点：通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.
难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质.
减小
减小
形状相同
位置
增大
增大
由前面的知识，我们知道，函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2x2+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢？
函数y＝-4(x-2)2＋1具有哪些性质?
动手调一调,初步了解二次函数y=ax2+bx+c图像的性质.
通过配方，确定抛物线y=－2x2+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.
解：
y=-2x2+4x+6
=-2（x2-2x）+6
=-2（x2-2x+1-1）+6
=-［2（x-1）2-2］+6
=-2（x-1）2+8
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为（1，8）.
你能从上图中总结出二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的性质吗？
归纳：
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是x＝
，
顶点坐标是（
）。
知识点一
二次函数y=ax2+b+c的图象和性质
B
C
A
知识点二
抛物线y=ax2+bx+c与y=ax2的关系
①③
C
例1：函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是(
)
A.
(1，-4)
B.(-1，2)
C.
(1，2)
D.(0，3)
解析：
方法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.
方法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式,即y＝a（x-h）2+k的形式,顶点坐标即为（h，k）,
y＝x2－2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为（1，2），答案选C.
C
解析：
直接利用公式.
B
例2：抛物线y=－
x2+x－4的对称轴是（
）
A.x＝－2
B.x＝2
C.x＝－4
D.x＝4
解析：
由图象，抛物线开口方向向下，
C
例3：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（
）
A.
ab＞0，c＞0
B.
ab＞0，c＜0
C.
ab＜0，c＞0
D.
ab＜0，c＜0
∴a＜0，抛物线的对称轴在y轴右侧，
又∵a＜0，∴b＞0，抛物线与y轴交点坐标为（0，c），由图知，该点在x轴上方，
∴c＞0，答案选C.
解析：
二次函数图象的变化.抛物线y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3的图象向左平移2个单位得到y=-2（x+1）2+3，再向上平移3个单位得到y=-2（x+1）2+6.答案选C.
C
例4：把抛物线y=-2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是
（
）
A.
y=-2（x-1）2+6
B.
y=-2（x-1）2-6
C.
y=-2（x+1）2+6
D.
y=-2（x+1）2-6
C
11
5
解：
（1）b=-4,c=3;
（2）（2，-1），x=2;
（3）画图略.
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x=
，
顶点坐标是
“课后练习”内容.(共18张PPT)
1.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式
。
2．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识
。
重点：已知二次函数图象三个点的坐标，求二次函数
y＝ax2＋bx＋c的关系式.
难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式.
任意三
三
顶点
一
问题1：如何求一次函数的解析式？至少需要几个点的坐标？
问题2：你能求二次函数的解析式吗？如果要求二次函数的解析式需要几个点的坐标？
问题：如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?
求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式，关键是确定a、b、c的值。由已知条件可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数a,b,c。
归纳：
知识点
用待定系数法求二次函数的解析式
B
B
D
A
知识点
用待定系数法求二次函数的解析式
B
知识点
用待定系数法求二次函数的解析式
C
例1：已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，求抛物线的解析式；
解析：
应用待定系数法求出a,b,c的值
解：
依题意：
a-b+c=0
c=5
a+b+c=8
解得
a=-1
b=4
c=5
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5.
例2：已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。
解析：
二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k
的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：
y＝a(x－8)2＋9
由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。
解：
例3：已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
解析：
可设二次函数y＝ax2＋bx＋c，已知两点的坐标，可列两个方程，在根据对称轴x＝2列出一个方程，则可求出a,b,c的值
解法1：
设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得
a=-2
b=8
解这个方程组得：
所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5
.
例3：已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
解析：
可设二次函数y＝ax2＋bx＋c，已知两点的坐标，可列两个方程，在根据对称轴x＝2列出一个方程，则可求出a,b,c的值
解法2：
设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到
a=-2
k=3
解这个方程组得：
所以,所求的二次函数的关系式为y＝－(x-2)2+3,
即y=-2x2+8x-5.
a(3-2)2+k=1
a(0-2)2+k=-5
例4：已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式
解析：
根据顶点坐标公式可列出两个方程。
解法1：
设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得
y＝a(x－2)2－4
因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，
所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2
。
∴所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4,即y＝2x2－8x＋4.
解法2：
设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c依题意，得
c=4
a=2
b=-8
c=4
解这个方程组得：
所以,所求的二次函数的关系式为y=2x2-8x+4.
解：
2x2-1
3
y=3x2-3x
y=x2-2x
解：
（1）y=-x2-4x
（2）点P的坐标是（-2,4）,
求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式，关键是确定a、b、c的值。由已知条件可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数a,b,c
.
“课后练习”内容.(共15张PPT)
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系
.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系
.
重点：体会方程与函数之间的联系
.
难点：探索方程与函数之间的联系的过程
.
y=0
横坐标
无
一
两
我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．
现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．
问题（1）球的飞行高度能否达到15米？如果能需要多少飞行时间？你是怎样解决这个问题的。
问题（2）问题（3）和问题（4）的解决方法又是怎样？
从以上问题可以看出，二次函数与一元二次方程有密切的关系。
解析：
二次函数y=ax2+bx+c
的图像与x
轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点。当二次函数y=ax2+bx+c
的图像与x
轴有交点时，交点的横坐标就是当y
=0时自变量x
的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
知识点一
二次函数与一元二次方程
1
k＜1且k≠0
4
B
A
D
知识点一
二次函数与一元二次方程
例1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）
A、ac＞0
B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3
C、2a﹣b=0
D、当x＞0时，y随x的增大而减小.
解析：
B
解析：
根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断.
A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，ac＜0，故本选项错误；
解：
B、∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），
∴抛物线与x轴另一交点为(﹣1，0)，即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故本选项正确；
C、∵抛物线对称轴为x=﹣=1,∴2a+b=0,故本选项错误;
D、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误．
例2：如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（ ）？
A、﹣1.6
B、3.2
C、4.4
D、以上都不对
解析：
根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．
解：
由抛物线图象可知其对称轴为x=3,又抛物线是轴对称图象，
∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，
那么两根满足2×3=x1+x2，
而x1=1.6，∴x2=4.4．
故选C．
C
例3：根据下列表格的对应值：
解析：
根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围.
解：
依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A、8＜x＜9
B、9＜x＜10
C、10＜x＜11
D、11＜x＜12
而﹣0.38＜0＜1.2，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11．故选C．
C
C
(-3,0),(2,0)
解：
（1）y=-(x-1)2+4
即y=-x2+2x+3.
（2）S梯形COBD=6.
1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系;
2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得了用图象法求方程近似根的体验.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标,发展估算能力.
“课后练习”内容.(共17张PPT)
理解、掌握二次函数
y=ax2+bx+c图象与系数符号之间的关系.
重点：理解、掌握二次函数
y=ax2+bx+c图象与系数符号之间的关系.
难点：理解、掌握二次函数
y=ax2+bx+c图象与系数符号之间的关系.
向上
向下
同号
<
=
异号
>
问题1.
如何由二次函数y=ax2
+bx+c的图象确定a、b、c及△的符号？
(1)a的符号由抛物线____________确定；
(2)c的符号由抛物线____________确定；
(3)b的符号由抛物线____________确定；
(4)b2
-4ac的符号由抛物线_______确定.
探究：分析抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方（或在x轴下方）的条件。
归纳：
二次函数y=ax2
+bx+c的图象与字母系数a,b,c之间的关系：
（1）当a>0时开口向上，当a<0时开口向下。
（2）若对称轴在y轴的左边，则a,b同号
若对称轴在y轴的右边，则a,b异号
（3）若抛物线与y轴的正半轴相交，则c>0,若抛物线与y轴的负半轴相交，则c<0,若抛物线经过原点则c=0。
知识点一
二次函数y=ax2+bx+c与字母系数之间的关系
C
D
D
知识点一
二次函数y=ax2+bx+c与字母系数之间的关系
B
知识点一
二次函数y=ax2+bx+c与字母系数之间的关系
例1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（
）
A.
ac＜0
B.
a﹣b+c＞0
C.
b=﹣4a
D.关于x的方程ax2+bx+c=0的
根是x1=﹣1，x2=5
解析：
B
解析：
由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据抛物线与x轴交点及x=1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
A.该二次函数开口向下，则a＜0；抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；所以ac＜0，正确；；
解：
B.由于抛物线过(﹣1,0)，则有:a﹣b+c=0，错误；
C.由图象知:抛物线的对称轴为x=2,即b=﹣4a,正确;
D.抛物线与x轴的交点为(﹣1,0),(5,0);故方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5，正确；故选B.
例2：抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（
）
A、a＜0，b2﹣4ac＜0
B、a＜0，b2﹣4ac＞0
C、a＞0，b2﹣4ac＜0
D、a＞0，b2﹣4ac＞0
解析：
抛物线在x轴下方，即可知开口向下，a＜0，且与x轴没有交点，△＜0．
解：
∵抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，
∴由二次函数图象与系数关系知a＜0,且与x轴没有交点，
即所对应二次方程没有解，
∴△=b2﹣4ac＜0，
故选A．
A
例3：如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1,
x2,其中﹣2＜x1＜﹣1,0＜x2＜1,下列结论：
①abc＞0；
②4a﹣2b+c＜0；
③2a﹣b＜0；
④b2+8a＞4ac．
其中正确的有（ ）
解析：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：
②当x＝－2时，y＝4a－2b+c＜0，正确；
D
④∵y原点＞2,a＜0,∴4ac﹣b2＜8a,即b2+8a＞4ac,正确.选D。
①由图象可知a＜0,c＞0,－
＜0,∴b＜0,∴abc＞0,正确；
③根据题意得，对称轴－1＜－
＜0，∴2a－b＜0，正确；
例3：根据下列表格的对应值：
解析：
根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而﹣0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围.
解：
依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，
判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（
）
A、8＜x＜9
B、9＜x＜10
C、10＜x＜11
D、11＜x＜12
而﹣0.38＜0＜1.2，
∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11．故选C．
C
C
答案不唯一如：y=-x2+5等.
解：
（1）c=1.
（2）由图象过（0，1），A（1，0），得a+b+1=0,
故b=-a-1，由b2-4ac＞0，
得（-a-1）2-4a＞0即（a-1）2＞0，
故a≠1又a＞0所以a的取值范围是a＞0且a≠1.
二次函数y=ax2
+bx+c的图象与字母系数a,b,c之间的关系：
1.当a>0时开口向上，当a<0时开口向下.
2.若对称轴在y轴的左边，则a,b同号.
若对称轴在y轴的右边，则a,b异号.
3.若抛物线与y轴的正半轴相交，则c>0,若抛物线与y轴的负半轴相交，则c<0,若抛物线经过原点则c=0
.
“课后练习”内容.(共17张PPT)
1.会通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大或最小值；
2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值.
重点：会通过配方求出二次函数的最大或最小值.
难点：会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值.
自变量
h
k
二次函数
取值范围
由在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如：
问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？
求下列函数的最大值或最小值.
（1）y=2x2－3x－5；（2）y=－x2－3x+4.
解：
由于函数y=2x2－3x－5和y=－x2－3x+4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.
（1）二次函数y=2x2－3x－5中的二次项系数2＞0，因此抛物线y=2x2－3x－5有最低点，即函数有最小值.
解析：
求下列函数的最大值或最小值.
（1）y=2x2－3x－5；（2）y=－x2－3x+4.
解：
由于函数y=2x2－3x－5和y=－x2－3x+4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.
（2）二次函数y=－x2－3x+4中的二次项系数－1＜0，
解析：
因此抛物线y=－x2－3x+4有最高点，即函数有最大值.
最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
归纳：
知识点一
用配方法或公式法求二次函数的最大（小）值
C
11
2
知识点二
几何图形的最大面积
C
知识点三
销售中的最大利润问题
600
2400
B
例1：函数y＝x2＋2x－3
(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别为(
)
A．4和－3
B．5和－3
C．5和－4
D．－1和4
解析：
此题给出了x的最大值和最小值，所以只需将x的值
代入解析式中就可求出y的最大值和最小值。
C
解析：
先写出函数关系式，在求出函数的最大值.
例2：要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?
解：
设矩形的宽AB为xm,则矩形的长BC为(20-2x)m，
由于x＞0，且20－2x＞O，所以O＜x＜1O。
围成的花圃面积y与x的函数关系式是
y＝x(20－2x)
即y＝－2x2＋20x
配方得y＝－2(x－5)2＋50
所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50。
因为x＝5时，满足O＜x＜1O，这时20－2x＝10。
所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。
解析：
先写出函数关系式，再求出函数的最大值.
例3：某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元。
解：
商品每天的利润y与x的函数关系式是:
y＝(10-x-8)(100＋1OOx)
即y＝－1OOx2＋1OOx＋200
1
600
解：
所以当x=20cm时,这个三角形的面积最大,最大面积为200cm2.
最大值或最小值的求法:
第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；
第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
“课后练习”内容.(共16张PPT)
通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题，获得用数学方法解决实际问题的经验
重点：通过从背景材料中建模（建立平面直角坐标系），把实际问题转化为二次函数问题
.
难点：从实际问题中建立二次函数模型
.
直角坐标系
点的坐标
解析式
待定系数
在足球比赛时，猛一脚，射门，足球沿着一条美丽的弧线，球进了，那将是激动人心的事；翻开历史，看到引以为骄傲的赵州桥时，你一定会惊叹在当时条件下，怎会有这样的杰作；夏天，仰望天空，看见一道美丽的彩虹，你一定会遐想翩翩；夜晚，当你看到伴随美妙音乐呈现出五彩斑澜的喷泉时，你一定有一种天上人间般的感觉。这一切的一切，如果抽取出来，就是抛物线。今天，我们就利用抛物线的有关知识来解决实际背景下的抛物线问题。
一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?
归纳：
借助图围绕如下线索展开：建模→将数据转化为图中点的坐标→兼顾目标问题说明必须先求抛物线的解析式→规范板书。
建立恰当的平面直角坐标系→求抛物线的解析式→运用解析式解决目标问题.
教师示范与精讲：
通过这道题的解决，请说说解决生活中的抛物线问题的一般思路.
知识点
建立直角坐标系解决抛物线形问题
9
A
B
知识点
建立直角坐标系解决抛物线形问题
知识点
建立直角坐标系解决抛物线形问题
15
B
例1：圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑物.拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度.
解析：
先所示建立平面直角坐标系，再求解析式的最大值
解：
如图所示建立平面直角坐标系.
此时,抛物线与x轴的交点为C(-100,0),D(100,0).
设这条抛物线的解析式为y=a(x-100)(x+100),
∵
抛物线经过点B(50,150),可得150=a(50-100)(50+100)
当x=0时，y=200.
∴
拱门的最大高度为200米.
解：
（1）设抛物线解析式为y=ax2,设点B(10,n),点D(5,n+3)
例2：如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．
(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；
由题意：
n=100a
n+3=25a
解得：
解：
（2）方法一：
例2：如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．
(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的
长方体货物(货物与货船同宽).问:此船能否顺利通过这座拱桥？
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
方法二：
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
36
解：
所以钢缆最低点到桥面的距离是1m.
(2)40m.
(3)y=0.0225x2-0.9x+10.
解决生活中的抛物线问题的一般思路:
建立恰当的平面直角坐标系→求抛物线的解析式→运用解析式解决目标问题.
“课后练习”内容.
