高中数学选择性必修（第一册）知识讲义 空间向量的数量积运算-人教A版（2019）

空间向量的数量积运算
重点
1. 理解空间向量的夹角的概念；理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律；
2. 能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直。
难点
空间向量数量积运算律的理解
考试要求
考试
题型 解答题
难度 中等
核心知识点一：空间向量的夹角
（1）定义：已知两非零向量false，在空间中任取一点O，作false，则∠AOB叫做向量false的夹角。
记法：false，
范围：[0，π]
图示：
（2）空间向量垂直：如果false，那么向量false互相垂直，记作false。
核心知识点二：空间向量的数量积
定义
已知两个非零向量false，则false叫做false的数量积，记作false。
运算律
数乘向量与向量数量积的结合律
false
交换律
false
分配律
false
数量积的性质
（1）若false是非零向量，则false
（2）若false与false同向，则false
若反向，则false
特别地：false或false
（3）若θ为false的夹角，则false
（4）false（当false时等号成立）
应用
（1）可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或两直线所成角
（2）可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直
核心知识点三：投影向量
（1）如图（1），false为向量false在向量false上的投影向量：false
（2）如图（2），false为向量false在直线l上的投影向量
（3）如图（3），false为向量false在平面α上的投影向量，向量false，false的夹角就是向量false所在直线与平面α所成的角。
注意：
1. 两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π。
2. 两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零。
3. 数量积false的几何意义是：false等于false的长度false与false在false的方向上的投影false的乘积。
典例一：数量积的运算
例题1　如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点。求下列向量的数量积：
（1）false·false；
（2）false·false；
（3）（false＋false）·（false＋false）。
【解析】（1）正四面体的棱长为1，则|false|＝|false|＝1。△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：
false·false＝|false||false|cos〈false，false〉
＝|false||false|cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝false。
（2）因为E，F分别是OA，OC的中点，
所以EF//falseAC，
于是false·false＝|false||false|cos〈false，false〉
＝false|false|·|false|cos〈false，false〉
＝false×1×1×cos〈false，false〉
＝false×1×1×cos 60°＝false。
（3）（false＋false）·（false＋false）＝（false＋false）·（false－false＋false－false）
＝（false＋false）·（false＋false－2false）
＝false2＋false·false－2false·false＋false·false＋false2－2false·false
＝1＋false－2×false＋false＋1－2×false＝1。
总结提升：在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算。
典例二：利用数量积求异面直线所成角
例题2　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值。
【解析】∵false＝false＋false＝false＋false，false＝false－false，且false·false＝false·false＝false·false＝0，
∴false·false＝－false＝－1。
又|false|＝false，|false|＝false＝false，
∴false，
则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为false。
总结提升：利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：
典例三：利用数量积求两点间距离
例题3　如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长。
【解析】∵false＝false＋false＋false，
∴|false|2＝false2＝（false＋false＋false）2
＝false2＋false2＋false2＋2（false·false＋false·false＋false·false）＝1＋1＋1＋2（cos 60°＋cos 60°＋cos 60°）＝6。
∴|false|＝false，即对角线AC1的长为false。
同理，|false|2＝false2＝（false＋false－false）2
＝false2＋false2＋false2＋2（false·false－false·false－false·false）＝1＋1＋1＋2（cos 60°－cos 60°－cos 60°）＝2。
∴|false|＝false，即对角线BD1的长为false。
总结提升：求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用false，通过向量运算去求false，即得所求距离。
典例四：利用数量积证明垂直问题
例题4　已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC。
【证明】∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴false·false＝0，false·false＝0。
∴false·false＝（false＋false）·（false－false）
＝false·false＋false·false－false2－false·false
＝false·false－false2－false·false
＝false·（false－false－false）＝false·false＝0。
∴false⊥false，从而AD⊥BC。
总结提升：用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明。
1. 求两向量的数量积时，关键是搞清楚两个向量的夹角。在求两个向量的夹角时，可用平移向量的方法，把一个向量平移到与另一个向量的起点相同。
2. 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题。其基本思路是将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式false求解即可。
3. 利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算。
（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（　　）
A. 2false·false B. 2false·false
C. 2false·false D. 2false·false
2. 如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于（　　）
A. 6false B. 6
C. 12 D. 144
3. 已知向量false是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量false在直线l上，则false，且false是l⊥α的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足false·false＝0，false·false＝0，false·false＝0，则△BCD是（　　）
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 不确定
二、填空题
5. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长度等于________。
三、解答题
6. 已知空间四边形OABC各边及对角线长相等，E，F分别为AB，OC的中点，求false与false所成角的余弦值。

1. 答案：B
解析：2false·false＝－2false·false＝－2a2cos 60°＝－a2，
2false·false＝2false·false＝2a2cos 60°＝a2，
2false·false＝false·false＝－a2，
2false·false＝false·false＝－false·false＝－falsea2。
2. 答案：C
解析：∵false＝false＋false＋false，
∴false2＝false2＋false2＋false2＋2false·false＋2false·false＋2false·false
＝36＋36＋36＋2×6×6×cos 60°＋2×6×6×cos 90°＋2×6×6×cos 90°＝144，
∴|false|＝12。
3. 答案：B
解析：若l⊥平面α，则false，false，false，false；
反之，若false，则false，false，并不能保证l⊥平面α。
4. 答案：B
解析：false·false＝（false－false）·（false－false）＝false·false－false·false－false·false＋false2＝false2>0。
同理，可证false·false>0，false·false>0。
∴三角形的三个内角均为锐角。
5. 答案：false
解析：false2＝（false＋false＋false）2
＝false2＋false2＋false2＋2false·false＋2false·false＋2false·false
＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°
＝50＋20＋15＝85，
∴|false|＝false。
6. 解：如图，设false＝false，false＝false，false＝false，
且|false|＝|false|＝|false|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝false，
则false·false＝false·false＝false·false＝false。
因为false＝false（false＋false），
false＝falsefalse－false，|false|＝|false|＝false，
∴false·false＝false（false＋false）·（falsefalse－false）
＝falsefalse·false＋falsefalse·false－falsefalse·false－false|false|2＝－false。
∴false。
∵异面直线所成的角为直角或锐角，
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为false。