高中数学选择性必修（第一册）知识讲义 空间向量基本定理及坐标表示-人教A版（2019）

空间向量基本定理及坐标表示
重点
1. 理解空间向量的基本定理及其意义；
2. 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
难点
用不用的基底表示空间任一向量
考试要求
考试
题型 选择题、填空题、解答题
难度 中等
核心知识点一：空间向量基本定理
定理：如果三个向量false不共面，那么对任意一个空间向量false，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得false，其中false叫做空间的一个基底，false都叫做基向量。空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
核心知识点二：空间向量的正交分解
如果空间中的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用false表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量false，均可以分解为三个向量false，使false。像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。
注意：
（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。
（2）false与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是false。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念。
核心知识点三：空间直角坐标系及向量坐标
1. 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底false。以点O为原点，分别以false的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，false都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分。
教材中所用的坐标系都是右手直角坐标系，其规则是：让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，则中指指向z轴正方向。
2. 空间点的坐标：数轴Ox上点M用实数x表示，直角坐标平面上的点M用一对有序实数（x，y）表示，建立空间直角坐标系后，空间的点M可用有序实数组（x，y，z）表示。
在空间直角坐标系Oxyz中，false为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量false，且点A的位置由向量false唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使false。
在单位正交基底false下与向量false对应的有序实数组（x，y，z），叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x，y，z），其中z叫做A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。
3. 空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量false，作false。由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使false。有序实数组（x，y，z）叫做false在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作false。
类型一：基底的判断
例题1　若false是空间的一个基底，试判断false能否作为该空间的一个基底。
【解析】假设false共面，则存在实数λ，μ使得falseλfalse＋μfalse，∴false。
∵false为基底。∴false不共面。
∴false此方程组无解，∴false不共面。
∴false可以作为空间的一个基底。
总结提升：
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面。如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断。
类型二：用基底表示向量
例题2　四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC。设false＝false，false＝false，false＝false，E，F分别是PC和PB的中点，试用false，false，false表示false，false，false，false。
【解析】连接BO，则false＝falsefalse＝false（false＋false）＝false（false＋false＋false）＝false（false－false－false）＝－falsefalse－falsefalse＋falsefalse。
false＝false＋false＝－false＋falsefalse＝－false＋false（false＋false）＝－false－falsefalse＋falsefalse。
false＝false＋false＝false＋false＋false（false＋false）＝－false＋false＋false（－false＋false）＝－false＋falsefalse＋falsefalse。
false＝falsefalse＝falsefalse＝falsefalse。
总结提升：
用基底表示空间向量一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法则。
类型三：用坐标表示空间向量
例题3　已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1。在如图所示的空间直角坐标系中，求向量false的坐标。
【解析】因为PA＝AD＝AB＝1，
所以可设false＝false，false＝false，false＝false。
因为false＝false＋false＋false＝false＋false＋falsefalse
＝false＋false＋false（false＋false＋false）＝－falsefalse＋false＋false（－false＋false＋false）
＝falsefalse＋falsefalse＝falsefalse＋falsefalse。
∴false＝（0，false，false）。
总结提升：
用坐标表示空间向量的方法与步骤：
1. 三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的充要条件。
2. 用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的应用；若基底false为单位正交基底，可由false得到false的坐标为（x，y，z）。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 在以下三个命题中，真命题的个数是（　　）
①三个非零向量false，false，false不能构成空间的一个基底，则false，false，false共面；
②若两个非零向量false，false与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则false，false共线；
③若false，false是两个不共线的向量，而false＝λfalse＋μfalse（λ，μ∈R且λμ≠0），则{false，false，false}构成空间的一个基底。
A. 0　　　　　　　　 B. 1
C. 2 D. 3
2. 已知{false，false，false}是空间的一个基底，则可以与向量false＝false＋false，false＝false－false构成基底的向量是（　　）
A. false B. false
C. false＋2false D. false＋2false
3. 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M。设false＝false，false＝false，false＝false，则下列向量中与false相等的向量是（　　）
A. －falsefalse＋falsefalse＋false B. falsefalse＋falsefalse＋false
C. falsefalse－falsefalse＋false D. －falsefalse－falsefalse＋false
4. 已知点A在基底{false，false，false}下的坐标为（1，2，3），其中false＝false，false＝false，false＝false，则点A在基底false下的坐标为（　　）
A. （7，3，12） B. （12，7，3）
C. （2，4，6） D. （12，3，7）
二、解答题
5. 如图所示，空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，D为BC的中点，H为OD的中点。设false＝false，false＝false，false＝false，试用向量false，false，false表示向量false。
6. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点。
（1）化简：false－falsefalse－falsefalse；
（2）设E是棱DD1上的点，且false＝falsefalse，若false＝xfalse＋yfalse＋zfalse，试求x，y，z的值。
1. 答案：C
解析：①正确。基底的向量必须不共面；②正确；③不对，false，false不共线，当false＝λfalse＋μfalse时false，false，false共面，故只有①②正确。
2. 答案：D
解析：能与false，false构成基底，则与false，false不共面。
∵false，false，false＋2false＝false。
∴A、B、C都不合题意。因为{false，false，false}为基底，
∴false＋2false与false，false不共面，可构成基底。
3. 答案：A
解析：false＝false＋false＋false
＝－false＋false＋falsefalse
＝－false＋false＋falsefalse＋falsefalse
＝－falsefalse＋falsefalse＋false。
4. 答案：A
解析：设O为坐标原点，则false＝false＋2false＋3false＝false＋2false＋3false＝false，
∴点A在false下的坐标为（7，3，12）。
5. 解：false＝false－false。
∵false＝falsefalse＝false（false＋false）＝false（false＋false），
false＝false＋false＝false＋falsefalse＝false＋false（false－false）
＝falsefalse＋false×false（false＋false）＝falsefalse＋false（false＋false），
∴false＝false（false＋false）－falsefalse－false（false＋false）＝－falsefalse＋falsefalse＋falsefalse，
即false＝－falsefalse＋falsefalse＋falsefalse。
6. 解：（1）∵false＋false＝false，
∴false－falsefalse－falsefalse＝false－false（false＋false）
＝false－falsefalse＝false－false＝false。
（2）∵false＝false＋false＝falsefalse＋falsefalse
＝falsefalse＋false（false＋false）
＝falsefalse＋falsefalse＋falsefalse
＝falsefalse－falsefalse－falsefalse，
∴x＝false，y＝－false，z＝－false。