数学八年级上册1.1-1.2探索勾股定理；一定是直角三角形吗同步练习（Word版含答案）

初二数学北师大版（2012教材）第一章 1.1-1.2 探索勾股定理；一定是直角三角形-同步练习
（答题时间：60分钟）
微课程：探索勾股定理同步练习
一、选择题
1. 如果直角三角形的三条边为2，4，a，那么a2的取值可以有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 一棵树在离地5米处断裂，树顶落在离树根12米处，问树断之前有多高（ ）米
A. 17 B. 17.5 C. 18 D. 20
*3. （本溪中考）如图，在直角△ABC中，，AB＝8，AC＝6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（ ）
A. 16 B. 15 C. 14 D. 13
二、填空题
4. △ABC中，∠C＝90o，AB＝3，则AB2＋BC2＋AC2＝_______。
*5. 如图，两个正方形的面积分别是25cm2和169 cm2，则直角三角形中边BC＝____cm。
*6. 图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个这样的直角三角形中边长为6的直角边向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_________。
三、解答题
**7. （温州中考）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣。l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票。所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理。在下图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4。作
△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边_PQ上，则我们可发现△CGF≌△CAB，那么QH2+RD2的长等于多少？
8. 如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，则BC的值。
9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交直线AC于点E．若∠A=30°，求线段CE的长；
微课程：勾股定理的推广同步练习
一、选择题
1. 如图，已知S1、S2和S3分别是以RtΔABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1、S2和S3满足的关系式为（ ）
A. S1S2＋S3 D. S12＝S22＋S32
*2. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为（ ）
A. 30 B. 28 C. 56 D. 不能确定
**3. 如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是 （ ）
A. a＞c B. b＞c C. 4a2＋b2＝c2 D. a2＋b2＝c2
二、解答题
**4. （苏州中考）李卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②。图①中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝6cm；图②中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4cm；图③是李卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动。在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）。
（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，李卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐_____。（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）李卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
图① 图② 图③
请你分别完成上述二个问题的解答过程。
5. 如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F，若DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，同时成立，求D点在AB上的位置．
微课程：勾股定理的逆定理同步练习
一、选择题
1. 三角形三边之长分别为（1）3，4，5；（2）9，40，41；（3）7，24，25；（4）13，84，85。其中能构成直角三角形的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2. （临沂中考）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长的平方为（ ）
A. 3 B. 12 C. 27 D. 48
*3. 若9，，15是一组勾股数，则＝（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 不确定
**4. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，则AD与CD的位置关系是（ ）
A. 相交不垂直 B. 相交成45° C. 相交成60° D. 垂直
二、填空题
5. 已知两线段长为5cm和3cm，当第三条线段取整数 时，这三条线段能组成一个直角三角形。
三、解答题
6. 若△ABC的三边a、b、c满足条件 ，试判断△ABC的形状。
*7. 在△ABC中，AC=2a，BC=a2+1，AB= a2－1，其中a＞1，△ABC是不是直角三角形？如果是哪一个角是直角？
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h。试说明：（1）；（2）a+b＜c+h；（3）判断以a+b、h、c+h为边的三角形的形状，并说明理由。
初二数学北师大版（2012教材）第一章 1.1-1.2 探索勾股定理；一定是直角三角形?同步练习参考答案
微课程：探索勾股定理同步练习参考答案
1. C 解析：因为该三角形为直角三角形，所以满足a2＋b2 ＝c2。在三边中，a有可能为直角边，也有可能为斜边，所以应选C。
2. C 解析：在Rt△ABC中标出已知条件，从而由勾股定理求得AB的长，再加上5米可知树高为18米。
*3. A 解析：直角△ABC中，，AB＝8，AC＝6，所以BC＝10，因为DE是AB边的垂直平分线，所以AE＝BE；＝AC＋CE＋EA＝ AC＋CE＋BE＝AC＋BC＝16。
4. 18 解析：根据勾股定理得BC2＋AC2＝AB2，所以AB2＋BC2＋AC2＝（BC2＋AC2）＋AB2＝AB2＋AB2＝2AB 2 ＝2×3 2＝18。
*5. 12 解析：因为∠ABC＝90°，所以由勾股定理得AB 2＋BC 2＝AC 2，即有25＋BC 2＝169，BC＝12。
*6. 76 解析：利用勾股定理可以直接求解。
**7. 16 解析：题中仅知AB长，估计要求的要想方法联系它，要求的是平方和形式，则若它们在同一个三角形中，就有可能用勾股定理，但不在一起，则想方法把它们（或它们的相等线段）放在同一三角形中。过点A作AM⊥QH于点M，则可得△HMA≌△ACB，得∠QHG＝60°，RD＝AM＝BC；△GCF≌△ACB，得∠QGH＝60°，则△QHG是等边三角形，得QH＝HG＝AC，则QH2+RD2＝AC2+BC2＝AB2＝16。
8. 解：∵在△ADE和△ADC中，
∴△ADE≌△ADC(AAS)，
∴CD=DE，∵BD=2CD，
∴BC=BD+CD=3DE=9．
∴BC=9.
答：线段BC的长为9.
9. 解：连接BE，点D是斜边AB中点且DE⊥AB，
∵∠A=30°，∴∠ABC=90°－30°=60°，
又∵DE垂直平分AB，
∴∠ABE=∠BAE=30°，∠CBE=∠ABC－∠ABE=30°，
又∵∠C=90°，∴CE=·BE=·AE，
∵AC=6，∴BE=AE=4，CE=BE=×4=2
答：线段CE的长为2。
微课程：勾股定理的推广同步练习参考答案
1. B 解析：三个半圆的面积为π（边长之半）2＝π（边长）2，而两个小的（边长）2之和＝（大的边长）2，则两个小的面积之和等于大的面积。
*2. D 解析：例如9，12，15；12，16，20都满足条件。
**3. D 解析：弄清楚三视图之间的关系，本题只要知道主视图和左视图中三角形的底是俯视图中圆的直径，再利用勾股定理可解。
**4. 解析：（1）变小。
（2）解：设AD＝x,在Rt△FDC中，FC2＝DC2+FD2＝（12－x）2+16
（Ⅰ）当FC为斜边时，
由AD2+BC2＝FC2得，x2+62＝（12－x）2+16，x＝
（Ⅱ）当AD为斜边时，
由AD2＝FC2+BC2得，x2＝（12－x）2+16+62，x＝＞8（不符合题意，舍去）。
（Ⅲ）当BC为斜边时，
∵FC＞CD∴FC+AD＞12
∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6，
∴BC不能为斜边，
∴由（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）得，当时，经线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形。
5. 解：∵DE⊥BC，
∴∠BDE=90°-∠B=30°，BD=2BE，
∴∠EDF=60°，同理∠DEF=60°，∠DFE=60°，
∴△DEF为等边三角形，故DE=DF=EF，
∵在△ADF和△CFE中，
∴△ADF≌△CFE(AAS)，同理△CFE≌△BED，
故△ADF≌△CFE≌△BED，
∴BD=AF，
∴BD=2AD，
故D点为线段AB的三等分点．
微课程：勾股定理的逆定理同步练习参考答案
1. A 解析：根据勾股定理的逆定理进行判断。
2. D 解析: 关键能把BD放到特殊的模型中。∠ECD为60°，是△BCD的一个外角，而
CB＝CD，得∠DBC＝30°，则△BDE为直角三角形！DE＝4，BE＝8，则BD2＝BE2－DE2。
*3. C 解析：勾股数一定为正整数，所以当15为最大边时有，，。当为最大边时，。显然不为整数，所以。
**4. D 解析：连接AC。在△ADC中，由于AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25。所以AD2＋CD2＝AC2，即△ADC是直角三角形。所以AＤ与CD之间是垂直关系。
5. 4cm 解析：根据勾股定理的逆定理进行判断。
6. 解析：，所以a＝5，b＝12，c＝13。
因为 ，所以△ABC为直角三角形。
*7. 解析：因为，
，即所以△ABC是直角三角形，∠A 为直角。
8. （1）证明：∵Rt△ABC的面积为：ab或ch，
∴ab=ch，（ab）2=（ch）2，即a2b2=c2h2，
∵a2+b2=c2，
∴a2b2=（a2+b2）h2，
∴=，
∴=，
∴=，
∴；
（2）证明：∵c2＜c2+h2，a2+b2=c2，
∴a2+b2＜c2+h2，
∵ab=ch
∴a2+b2+2ab＜c2+h2+2ch，
∴（a+b）2＜（c+h）2，
∴a+b＜c+h
（3）是直角三角形。
证明：∵（c+h）2=c2+2ch+h2，
h2+（a+b）2=h2+a2+2ab+b2，
∵a2+b2=c2，（勾股定理）
ab=ch（面积公式推导）
∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2，
∴（c+h）2=h2+（a+b）2，
∴根据勾股定理的逆定理可知，以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形。