(共39张PPT)
13.2.4
全等三角形-角边角
数学华师版
八年级上
复习导入
上节课我们学习了哪种方法判定两个三角形全等?
S.A.S.
(边角边)(角夹在两条边的中间，形成两边夹一角)
复习导入
已知：如图，AD//CB，AD=CB，
求证：△ABC≌△CDA．
证明：∵AD//CB，
∴∠ACB=∠CAD，
在△ABC和△CDA中，
CB=AD
∠ACB=∠CAD
AC=CA?，
∴△ABC≌△CDA(SAS)．
新知讲解
同学们，如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等,那么这两个三角形全等吗?
新知讲解
如图13.2.8所示，一种情况是两个角及这两角的夹边;另一种情况是两个角及其中一角的对边.
角-边-角
图13.2.8
新知讲解
角-角-边
图13.2.8
新知讲解
做一做
如图13.2.9，已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角,这条线段为这两个角的夹边.
3cm
40°
60°
图13.2.9
新知讲解
步骤:
1.画一条线段AB,使它等于3cm;
2.画∠MAB=60°，∠NBA=40°，MA与NB交于点C.
△ABC
即为所求.
40°
60°
A
B
C
M
N
新知讲解
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下,放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，所画的三角形都全等吗?
换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论?
新知讲解
叠合法
如图13.2.10,在△ABC和△A'B'C'中，已知AB
=A'B'，∠A
=∠A'，∠B
=∠B'.
图13.2.10
新知讲解
由于AB=A'B',我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B'重合，且使点C与点C'均位于线段AB的同侧.
因为∠A=∠A'，
因此可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起，同样，因为∠B=∠B',可以使∠B的另一边BC与∠B'的边B'C'重叠在一起，由于两条直线只有一个交点，
因此点C与点C'重合。于是△ABC与△A'B'C'重合，这就说明这两个三角形全等。
新知讲解
变式
已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD//CB，∠1=∠2，AE=CF.求证：△ADF≌△CBE．
证明：∵AD//CB，∴∠A=∠C，
∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
在△ADF和△CBE中
∠A=∠C
AF=CE
∠1=∠2
，
∴△ADF≌△CBE(ASA)．
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为A.S.A.
(或角边角).
新知讲解
新知讲解
例3
如图13.2.11，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC。求证:△ABC≌△DCB，AB=DC.
证明：在△ABC和△DCB中，
∵∠ABC=∠DCB(已知)，
BC
=
CB(公共边)，
∠ACB=∠DBC(已知)，
∴△ABC≌△DCB(A.S.A.
).
∴AB
=
DC(全等三角形的对应边相等）
图13.2.11
新知讲解
如图13.2.12,
如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等?
分析
因为三角形的内角和等于180°
,因此有两个角分别对应相等,那么第三个角必定对应相等，于是由“角边角”,便可证得这两个三角形全等.
图13.2.12
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.
(或角角边).
新知讲解
新知讲解
已知:如图13.2.12，∠A=∠A'，∠B=∠B'
BC
=
B'C'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
图13.2.12
新知讲解
证明：∵∠A
=∠A'，
∠B=∠B'(已知)
,
∠A'+∠B'+∠C'=180°(三角形的内角和等于180°),
∴∠A+∠B+∠C'=180°(等量代换).
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),
∴∠C
=∠C'(等式的性质).
图13.2.12
新知讲解
在△ABC和△A'B'C'中，
_______________________________
_____________________________________________________________________________________________
图13.2.12
请补充完整
证明过程.
∵∠B
=∠B'
（已知），
∠C=∠C'
（已知）,
BC
=
B'C'
（已证），
∴△ABC≌△A'B'C'
（ASA）.
新知讲解
例4
如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中
点，过点C画直线CE，使CE//AB，交AD的延长线于点E，求证:AD=ED.
图13.2.13
新知讲解
证明：∵CE
//
AB(已知),
∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角相等).
在△ABD与△ECD中，
∵∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(已证)，
BD=CD(已知),
∴△ABD≌△ECD(A.A.S.
),
∴AD=ED(全等三角形的对应边相等).
图13.2.13
新知讲解
概括
要证明两条线段AD、ED相等，我们发现它们分别属于△ABD与△ECD，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论.这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法。
可以采用类似的方法证明两个角相等.
新知讲解
例5
求证:全等三角形对应边的高相等.
已知:如图13.2.14，△ABC≌△A'B'C',
AD、A'D'
分别是△ABC的BC边和△A'B'C'的B'C'边上的高.求
证:AD=A'D'.
图13.2.14
新知讲解
图13.2.14
分析：从图13.2.14中可以看出，AD、A'D'分别属于△ABD与△A'B'D',要证AD=A'D',只需证明这两个三角形全等即可.
新知讲解
证明:
∵△ABC≌△A'B'C'
(已知)，
∴AB
=
A'B'(全等三角形的对应边相等)，
∠B
=∠B'(全等三角形的对应角相等).
.
在△ABD和△A'B'D'中,
图13.2.14
新知讲解
∵∠ADB=∠A'D'B'=90°(已知)，
∠B
=∠B'(已证),
AB
=
A'B'
(已证),
∴△ABD≌△A'B'D'(A.A.S.
),
∴AD=A'D'(全等三角形的对应边相等).
图13.2.14
你发现AD、A'D'分别是哪两个三角形的边?这两个三角形全等吗?
新知讲解
全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢?你能说明其中的道理吗?
思考
课堂练习
1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上(如图)，可以说明△ABC≌△EDC，得AB=DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是(
)
A.
ASA
B.
HL
C.
SSS
D.
SAS
课堂练习
解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC=CD，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选A．
课堂练习
2、如图所示，点E在?ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2，∠E=∠C，AE=AC，则(
)
A.
△ABC≌△AFE
B.
△AFE≌△ADC
C.
△ABC≌△ADE
D.
△AFE≌△DFC
课堂练习
解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
BAC=∠DAE
AC=AE
∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
故选C．
拓展提高
3、如图，AB
//
CD，∠B=∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
(1)试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；
(2)试说明△AOD≌△EOC．
拓展提高
解：(1)AD
//
BE，理由是，
∵AB
//
CD．
∴∠B=∠DCE，
∵∠B=∠D，
∴∠DCE=∠D，
∴AD
//
BE；
拓展提高
(2)∵O是CD的中点，
∴OC=OD，
在△AOD和△EOC中，
∠D=∠DCE
OC=OD
∠DOA=∠COE
.
∴△AOD≌△EOC(ASA)．
课堂总结
证明三角形全等的方法有哪些？
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为S.A.S.
(或边角边).
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为A.S.A.
(或角边角).
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.
(或角角边).
板书设计
课题：13.2.4
全等三角形
?
教师板演区
?
学生展示区
一、AAS
二、ASA
三、例题
作业布置
基础作业：
课本P68练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P69练习第3题中小学教育资源及组卷应用平台
华师版数学八年级上13.2.4全等三角形-角边角导学案
课题
13.2.4
全等三角形-角边角
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、全第三角形的判定方法(
ASA、AAS);
2、全等三角形的判定及证明;
3、全等三角形的综合应用。
重点
难点
全等三角形的判定方法(
ASA、AAS)
全等三角形的判定及证明
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、如图，，D，E分别是AB，AC上的点，求证：≌．
2、如图，在中，，，，试说明：≌．
合
作
探
究
探究一：
同学们，如果两个三角形有两个角、一
条边分别对应相等,那么这两个三角形全等吗?
如图13.2.8所示，一种情况是两个角及这两角的夹边;另一种情况是两个角及其中一角的对边.
角-边-角
图13.2.8
角-角-边
图13.2.8
如图13.2.9，已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角,这条线段为这两个角的夹边.
图13.2.9
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下,放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，所画的三角形都全等吗?
换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论?
探究二：
如图13.
2.10,在△ABC和△A'B'C'中，已知AB
=A'B'，∠A
=∠A'，∠B
=∠B'.
图13.
2.10
基本事实两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为A.S.A.
(或角边角).
探究三：
例3
如图13.2.11，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC。求证:△ABC≌△DCB，AB=DC.
图13.2.11
如图13.2.12,
如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等?
分析
因为三角形的内角和等于180°,因此有两个角分别对应相等,那么第三个角必定对应相等，于是由角边角,便可证得这两个三角形全等.
图13.2.12
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.
(或角角边).
已知:如图13.2.12，∠A=∠A'，∠B=∠B'
BC
=
B'C'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明：∠A
=∠A'，
∠B=∠B'(已知)
,
∠A'+∠B'+∠C'=180°(三角形的内角和等于180°),
∠A+∠B+∠C'=180°(等量代换).
又∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),
∠C
=∠C'(等式的性质).
在△
ABC和△A'B'C'中，
_______________________________
________________________________
例4
如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中
点，过点C画直线CE，使CE//AB，交AD的延长线于点E，求证:AD=ED.
图13.2.13
例5
求证:全等三角形对应边上的高相等.
已知:如图13.2.14，△ABC≌△A'B'C',
AD、A'D'
分别是△ABC的BC边和△A'B'C'的B'C'边上的高.求证:AD
=
A'D'.
图13.2.14
分析：从图13.2.
14中可以看出，AD、A'D'分别属于△ABD与△A'B'D',要证AD
=
A'D',只需证明这两个三角形全等即可.
你发现AD、A'D'分别是哪两个三角形的边?这两个三角形全等吗?
当
堂
检
测
1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上(如图)，可以说明△ABC≌△EDC，得AB=DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是(
)
A.
ASA
B.
HL
C.
SSS
D.
SAS
2、如图，点E在?ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2，∠E=∠C，AE=AC，则(
)
A.
△ABC≌△AFE
B.
△AFE≌△ADC
C.
△ABC≌△ADE
D.
△AFE≌△DFC
3、如图，AB
//
CD，∠B=∠D，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
(1)试判断AD与BE有怎样的位置关系，并说明理由；
(2)试说明△AOD≌△EOC．
课
堂
小
结
证明三角形全等的方法有哪些？
参考答案
自主学习：
1、解：，
，
在和中，
，
≌．
2、证明：，，
，，
又，
，
，
在与中，
≌．
合作探究：
探究一：
步骤:
1.画一条线段AB,使它等于3cm;
2.画∠MAB=60°，∠NBA=40°，MA与NB交于点C.
△ABC
即为所求.
探究二：
由于AB=A'B',我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B’重合，且使点C与点C'均位于线段AB的同侧.
因为∠A=∠A'，
因此可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起，同样，因为∠B=∠B',可以使∠B的另一边BC与∠B'的边B'C'重叠在一起，由于两条直线只有一个交点，
因此点C与点C'重合。于是△ABC与△A'B'C'重合，这就说明这两个三角形全等。
探究三：
例3
证明：在△ABC和△DCB中，
∵∠ABC=∠DCB(已知)，
BC
=
CB(公共边)，
∠ACB=∠DBC(已知)，
∴△ABC≌△DCB(A.S.A.
).
∴AB
=
DC(全等三角形的对应边相等）
∵∠B
=∠B'
（已知），
∠C=∠C'
（已知）,
BC
=
B
'
C'
（已证），
∴△ABC≌△A'
B'
C'
（ASA）.
例4证明：∵CE
//
AB(已知),
∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角相等).
在△ABD与△ECD中，
∵∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(已证)，
BD=CD(已知),
∴△ABD≌OECD(A.A.S.
),
∴AD=ED(全等三角形的对应边相等).
例5证明:
∵△ABC≌△A'B'C'
(已知)，
∴AB
=
A'B'(全等三角形的对应边相等)，
∠B
=∠B'(全等三角形的对应角相等).
.
在△ABD和△A'B'D'中,
∵∠ADB=∠A'D'B'=90°(已知)，
∠B
=∠B'(已证),
AB
=
A'B'
(已证),
∴△ABD≌△A'B'D'(A.A.S.
),
∴AD
=
A'D'(全等三角形的对应边相等).
当堂检测：
1、解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC=CD，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选A．
2、解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
BAC=∠DAE
AC=AE
∠C=∠E，
∴△ABC≌△ADE(ASA)．
故选C．
3、解：(1)AD
//
BE，理由是，
∵AB
//
CD．
∴∠B=∠DCE，
∵∠B=∠D，
∴∠DCE=∠D，
∴AD
//
BE；
(2)∵O是CD的中点，
∴OC=OD，
在△AOD和△EOC中，
∠D=∠DCE
OC=OD
∠DOA=∠COE
.
∴△AOD≌△EOC(ASA)．
课堂小结：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为S.A.S.
(或边角边).
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为A.S.A.
(或角边角).
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为A.A.S.
(或角角边).
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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