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华师版数学八年级上13.2.3全等三角形导学案
课题
13.2.3
全等三角形
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
(1)熟记边角边公理的内容，
(2)能应用边角边公理证明明两个三角形全等。
重点
难点
学会运用公理证明两个三角形全等。
找出证明两个三角形全等的条件，
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、
已知：如图，，，求证：≌．
2、如图，，，，求证：．
合
作
探
究
探究一：
为了探索三角形全等的条件，现在我们考虑两个三角形有三组对应相等的元素，那么此时会出现几种可能的情况呢？
将六个元素（三条边、三个角
）
分类组合，可能：两边一角对应相等
；_______________________________________________
___________________________________________________________
你认为这些情况下
?
两个三角形会全等吗?
观察两个三角形有两条边和一个角分别对应相等的情况?
这时这两个三角形一定全等吗？
如图13.2.2所示，此时应该有两种情况：一种情况是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角，另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角。
边-角-边
边-边-角
图13.2.2
探究二：
如图13.2.3,已知两条线段和一个角，试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角。
图13.2.3
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，所画的三角形都全等吗?
换两条线段和一个角，试试看，是否有同样的结论?
叠合法
如图13.2.4，在△ABC和△
A'B'C'中，已知AB=
A'B'，∠A=∠A',
AC
=
A'C'.
图13.2.4
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为S.A.S.
(或边角边).
探究三：
例1
如图13.2.5，已知线段AC、BD相交于点E，AE=DE,
BE=CE，求证:△ABE≌△DCE.
图13.2.5
例2
如图13.2.6，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB。连结DE，那么DE的长就是A、B的距离。你知道其中的道理吗?
图13.2.6
已知:AD与BE相交C，CA=CD，CB=CE.
求证:
AB
=
DE.
注意：
运用“S.A.S."定理的前提是找准对应元素(边或角),关键是看两个三角形是否符合“边角边”结构(角是两边的夹角).
如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形.
图13.2.7
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗，此时，符合条件的三角形有多少种?
当
堂
检
测
1、已知：如图，AB
//
DE，点C、F在AD上，AF=DC，AB=DE.
求证：△ABC≌△DEF．
2、如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，AB=CB=CD=DA，∠ABC
=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF.求证：△ABF≌△CBE．
3、如图，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．求证：BF
//
AC
课
堂
小
结
1、今天我们学习了哪种方法判定两个三角形全等?
2、“边边角”能不能判定两个三角形全等?
参考答案
自主学习：
1、证明：，
，
在和中，
，
≌．
2、证明：，，
，
，
在和中，
≌
合作探究：
探究一：
两边一角对应相等，两角一边对应相等，三角对应相等，三边对应相等。
边-角-边
探究二：
步骤:
1.画一条线段AB,使它等于3cm;
2.画∠MAB=45°;
3.在射线AM上截取AC=2.5cm;
4.连结
BC.
△ABC即为所求.
由于AB=A'B',我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B'重合。
因为∠A=∠A',所以可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起，
而AC=A'C'，因此点C与点C'重合.
于是△ABC与OA'B'C'重合，这就说明这两个三角形全等.
探究三：
例1
证明：在△ABE和△
DCE中，
AE
=
DE(已知)，
∠AEB
=∠DEC(对顶角相等)，
BE
=
CE(已知)，
△ABE≌△DCE
(S.
A.S.
).
例2
证明：在△ACB和△DCE中，
CA=CD(已知)，
∠1
=∠2
(对顶角相等)，
CB=CE(已知)，
△ACB≌△DCE(S.
A.S.
).
AB
=
DE
(全等三角形的对应边相等).
我们可以发现，此时(即“边边角”对应相等)两个三角形不一定全等.
当堂检测：
1、证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即AC=DF，
∵AB//DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF
∠A=∠D
AB=DE)
,
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
2、证明：∵△EBF是等腰直角三角形，
其中∠EBF=90°，
∴BE=BF，
∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF和△CBE中，
AB=CB
∠ABF=∠CBE
BF=BE,
∴△ABF≌△CBE(SAS)．
3、证明：如图，
∵△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，
∴∠1+∠3=∠2+∠3，
∴∠1=∠2，
在△ACE与△FCB中，
AC=BC
∠1=∠2
CE=CF
,
∴△ACE≌△BCF，
∴∠A=∠CBF=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠A+∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠A+∠ABF=180°，
∴AC//BF
课堂小结：
1、S.A.S.
(边角边)(角夹在两条边的中间，形成两边夹一角)
2、不能
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精品试卷·第
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页
（共
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13.2.3
全等三角形
数学华师版
八年级上
复习导入
1、什么是全等三角形？
2、如果只知道两个三角形有两组对应相等的元素，那么这两个三角形是否全等？
全等
三角形
全等三角形
三组边相等，三对角相等
一组边相等
一对角相等
一个条件
不能判定三角形全等
全等的条件
两个条件
边一角相等
两对角相等
两组边相等
不能判定三角形全等
复习导入
复习导入
如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠D=______；∠CAD=______．
解：∵△ABC≌△AED，
∴∠D=∠C=40°，∠E=∠B=30°，
∴∠DAE=180°-40°-30°=110°，
∴∠CAD=∠DAE+∠EAC=110°+30°=140°．
新知讲解
思考
为了探索三角形全等的条件，现在我们考虑两个三角形有三组对应相等的元素，那么此时会出现几种可能的情况呢？
将六个元素（三条边、三个角
）
分类组合，可能出现：
两边一角对应相等；
________________________________________
___________________________________________________________
你认为这些情况下
?
两个三角形会全等吗?
两边一角对应相等，两角一边对应相等，三角对应相等
，
三边对应相等
。
新知讲解
观察两个三角形有两条边和一个角分别对应相等的情况
，这时这两个三角形一定全等吗？
新知讲解
如图所示13.2.2，此时应该有两种情况：一种情况是角夹在两条边的中间
，形成两边夹一角，另一种情况是角不夹在两边的中间
，形成两边一对角。
边-角-边
新知讲解
边-边-角
图13.2.2
新知讲解
做一做
如图13.2.3,已知两条线段和一个角，试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角。
2.5cm
3cm
45°
图13.2.3
新知讲解
步骤:
1.画一条线段AB,使它等于3cm;
2.画∠MAB=45°;
3.在射线AM上截取AC=2.5cm;
4.连结
BC.
△ABC即为所求.
A
B
C
M
新知讲解
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合，所画的三角形都全等吗?
换两条线段和一个角，试试看，是否有同样的结论?
新知讲解
如图13.2.4，在△ABC和△
A'B'C'中，已知AB=
A'B'，∠A=∠A',
AC
=
A'C'.
C
A
B
A'
B'
C'
叠合法
图13.2.4
新知讲解
由于AB=A'B',我们可以移动△ABC，使点A与点A'、点B与点B'重合。
因为∠A=∠A',所以可以使∠A的另一边AC与∠A'的边A'C'重叠在一起，
而AC=A'C'，因此点C与点C'重合.
于是△ABC与△A'B'C'重合，这就说明这两个三角形全等.
C
A
B
A'
B'
C'
两边及其夹角分别相等的两个三角形
全等，简记为S.A.S.
(或边角边).
新知讲解
新知讲解
例1
如图13.2.5，已知线段AC、BD相交于点E，
AE=DE,
BE=CE，求证:△ABE≌△DCE.
图13.2.5
新知讲解
证明
在△ABE和△DCE中，
∵AE=DE(已知)，
∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
BE=CE(已知)，
∴△ABE≌△DCE
(S.A.S.
).
图13.2.5
新知讲解
变式
如图，在△ABC中，AB>AC，点D在边AB上，且BD=CA，过点D作DE//AC，并截取DE=AB，且点C，E在AB同侧，连结BE.
求证：△DEB≌△ABC．
证明：∵DE//AC，
∴∠EDB=∠A．
在△DEB与△ABC中，
DE=AB
∠EDB=∠A
BD=CA
，
∴△DEB≌△ABC(SAS)．
新知讲解
例2
如图13.2.6，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB.连结DE，那么DE的长就是A、B的距离。你知道其中的道理吗?
图13.2.6
新知讲解
已知:AD与BE相交点C，CA=CD，CB=CE.
求证:
AB
=
DE.
证明：在△ACB和△DCE中，
∵CA=CD(已知)，
∠1
=∠2
(对顶角相等)，
CB=CE(已知)，
∴△ACB≌△DCE(S.A.S.
).
∴AB
=
DE
(全等三角形的对应边相等).
图13.2.6
注意：
运用“S.A.S."定理的前提是找准对应元素(边或角),关键是看两个三角形是否符合“边角边”结构(角是两边的夹角).
新知讲解
新知讲解
做一做
如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种?
2.5cm
3cm
45°
图13.2.7
新知讲解
我们可以发现，此时(即“边边角”对应相等)两个三角形不一定全等.
C
A
B
A'
B'
C'
D
E
F
D'
E'
F'
课堂练习
1、已知：如图，AB
//
DE，点C、F在AD上，AF=DC，AB=DE.
求证：△ABC≌△DEF．
课堂练习
证明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即AC=DF，
∵AB//DE，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF
∠A=∠D
AB=DE
,
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
课堂练习
2、如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，AB=CB=CD=DA，∠ABC
=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF.
求证：△ABF≌△CBE．
课堂练习
证明：∵△EBF是等腰直角三角形，
其中∠EBF=90°，
∴BE=BF，
∴∠ABC-∠CBF=∠EBF-∠CBF，
∴∠ABF=∠CBE，
在△ABF和△CBE中，
AB=CB
∠ABF=∠CBE
BF=BE,
∴△ABF≌△CBE(SAS)．
拓展提高
3、如图，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．求证：BF
//
AC
拓展提高
证明：如图，
∵△ABC和△EFC都是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，
∴∠1+∠3=∠2+∠3，
∴∠1=∠2，
在△ACE与△FCB中，
AC=BC
∠1=∠2
CE=CF
,
∴△ACE≌△BCF，
拓展提高
∴∠A=∠CBF=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠A+∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠A+∠ABF=180°，
∴AC//BF
课堂总结
1、今天我们学习了哪种方法判定两个三角形全等?
S.A.S.
(边角边)(角夹在两条边的中间，形成两边夹一角)
2、“边边角”能不能判定两个三角形全等?
不能
板书设计
课题：13.2.3
全等三角形
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一、全等三角形
二、全等三角形判定
作业布置
基础作业：
课本P65练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P65练习第3题
