湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数单元测试（word版含答案）

检测内容：第4章
得分________　卷后分________　评价________
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式中正确的是(
)
A．cos
A＝
B．sin
B＝
C．tan
B＝
D．以上都不正确
2．下列等式成立的是(
)
A．sin
45°＋cos
45°＝1
B．2tan
30°＝tan
60°
C．2
sin
30°＝
tan
45°
D.
sin
30°＝cos
60°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin
A＝，则tan
B的值为(
)
A．
B．
C．
D．
4．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，若水平距离BD＝10
m，楼高AB＝24
m，则树CD的高约为(
)
A．5
m
B．6
m
C．7
m
D．8
m
　　　　　
5．如图，在?ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF∶BC＝1∶2，连接DF，EC.若AB＝5，AD＝8，sin
B＝，则DF的长等于(
)
A．
B．
C．
D．2
6．如图，∠AOB的顶点在坐标原点，边OB与x轴正半轴重合，边OA落在第一象限，P为OA上一点，OP＝m，∠AOB＝β，则点P的坐标为(
)
A．(m＋tan
β，)
B．(m
sin
β，m
cos
β)
C．(，m
tan
β)
D．(m
cos
β，m
sin
β)
7．(2019·泰安)如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30
km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为(
)
A．(30＋30)km
B．(30＋10)km
C．(10＋30)km
D．(30)km
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接FB，则tan
∠CFB的值等于(
)
A．
B．
C．
D．5
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tan
B＝(
)．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos
B＝，则a∶b＝(
)．
11.
(2019·乐山)如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos
C＝.则AB边的长为(
)．
12．(双峰县期末)如图，修建的二滩水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6
m，坝髙23
m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，则坝底宽AD＝(
)m.
　　　
13．学校校园内有块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园以美化环境，预计花园每平方米的造价为30元，则学校建这个花园至少需要投资(
)元．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tan
E＝(
)．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕．若AE＝3，则sin
∠BFD的值为(
)．
16．在△ABC中，已知AC＝1，AB与BC所在直线所成的角中锐角为45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为(即cos
C＝)，则BC边的长是(
)．
三、解答题(共72分)
17．(8分)计算：
(1)cos245°＋tan30°·sin
60°；　　　　　(2)4sin
30°－cos
45°＋tan
60°；
(3)＋2cos230°；
(4)－＋tan
45°.
18．(6分)在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin
B＝，AD＝1.求BC的长．
19．(7分)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝6，M为BC的中点，DE⊥AM于点E，求∠ADE的正切值．
20．(7分)(三明中考)如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin
20°≈0.34，cos
20°≈0.94，tan
20°≈0.36)
21．(9分)已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tan
A)2＋|sin
B－|＝0.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求(1＋sin
A)2－2－(3＋tan
C)0的值．
22．(8分)为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24
m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数)
(参考数据：≈1.41，sin
66.5°≈0.92，cos
66.5°≈0.40，tan
66.5°≈2.30)
23．(9分)(连云港中考)如图①，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3
m，背水坡AD的坡度i(即tan
∠DAB)为1∶0.5，坝底AB＝14
m.
(1)求坝高；
(2)如图②，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．(参考数据：sin
37°≈，cos
37°≈，tan
37°≈)
24．(9分)马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．(参考数据：sin
36.5°≈0.6，cos
36.5°≈0.8，tan
36.5°≈0.75)
(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；
(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．
25．(10分)如图①所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图②，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20
cm，且AH＝DE＝EG＝20
cm.
(1)当∠CED＝60°时，求C，D两点间的距离；
(2)当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？(结果精确到0.1
cm)
(3)设DG＝x
cm，当∠CED的变化范围为60°～120°(包括端点值)时，求x的取值范围．(结果精确到0.1
cm)(参考数据≈1.732，可使用科学计算器)
检测内容：第4章（答案版）
得分________　卷后分________　评价________
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列等式中正确的是(D)
A．cos
A＝
B．sin
B＝
C．tan
B＝
D．以上都不正确
2．下列等式成立的是(C)
A．sin
45°＋cos
45°＝1
B．2tan
30°＝tan
60°
C．2
sin
30°＝
tan
45°
D.
sin
30°＝cos
60°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin
A＝，则tan
B的值为(D)
A．
B．
C．
D．
4．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，若水平距离BD＝10
m，楼高AB＝24
m，则树CD的高约为(C)
A．5
m
B．6
m
C．7
m
D．8
m
　　　　　
5．如图，在?ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF∶BC＝1∶2，连接DF，EC.若AB＝5，AD＝8，sin
B＝，则DF的长等于(C)
A．
B．
C．
D．2
6．如图，∠AOB的顶点在坐标原点，边OB与x轴正半轴重合，边OA落在第一象限，P为OA上一点，OP＝m，∠AOB＝β，则点P的坐标为(D)
A．(m＋tan
β，)
B．(m
sin
β，m
cos
β)
C．(，m
tan
β)
D．(m
cos
β，m
sin
β)
7．(2019·泰安)如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30
km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为(
B
)
A．(30＋30)km
B．(30＋10)km
C．(10＋30)km
D．(30)km
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接FB，则tan
∠CFB的值等于(C)
A．
B．
C．
D．5
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tan
B＝____．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos
B＝，则a∶b＝__2∶__．
11.
(2019·乐山)如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cos
C＝.则AB边的长为____．
12．(双峰县期末)如图，修建的二滩水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6
m，坝髙23
m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，则坝底宽AD＝132.5m.
　　　
13．学校校园内有块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园以美化环境，预计花园每平方米的造价为30元，则学校建这个花园至少需要投资__6_750__元．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE＝1，连接BE，则tan
E＝____．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕．若AE＝3，则sin
∠BFD的值为____．
16．在△ABC中，已知AC＝1，AB与BC所在直线所成的角中锐角为45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为(即cos
C＝)，则BC边的长是__或__．
三、解答题(共72分)
17．(8分)计算：
(1)cos245°＋tan30°·sin
60°；　　　　　(2)4sin
30°－cos
45°＋tan
60°；
解：原式＝1;
解：原式＝1＋3；
(3)＋2cos230°；
(4)－＋tan
45°.
解：原式＝；
解：原式＝＋.
18．(6分)在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin
B＝，AD＝1.求BC的长．
解：在Rt△ABD中，∵sin
B＝＝，又∵AD＝1，∴AB＝3.∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝＝2.在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1.∴BC＝BD＋DC＝2＋1.
19．(7分)如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝6，M为BC的中点，DE⊥AM于点E，求∠ADE的正切值．
解：易知△ABM∽△DEA，∴＝，又AB＝4
cm，BM＝3
cm，
∴tan
∠ADE＝＝＝.
20．(7分)(三明中考)如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin
20°≈0.34，cos
20°≈0.94，tan
20°≈0.36)
解：Rt△ACB中，AB＝6米，∠A＝20°，∴AC＝AB·cos
∠A≈6×0.94＝5.64米．∵5.64米在5.3～5.7米范围内，∴小明种植的这两棵树符合要求．
21．(9分)已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tan
A)2＋|sin
B－|＝0.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求(1＋sin
A)2－2－(3＋tan
C)0的值．
解：(1)∵(1－tan
A)2＋|sin
B－|＝0，∴tan
A＝1，sin
B＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．
(2)∵∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴原式＝(1＋)2－2×－1＝.
22．(8分)为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24
m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数)
(参考数据：≈1.41，sin
66.5°≈0.92，cos
66.5°≈0.40，tan
66.5°≈2.30)
解：过B点作BD⊥AC于D.∵∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°.∴在Rt△ADB中，AD＝.在Rt△CDB中，CD＝BD，∵AC＝AD＋CD＝24
m，∴＋BD＝24，解得BD≈17
m．又∵sin
∠BAC＝，∴AB＝≈18
m．故这棵古杉树AB的长度大约为18
m．
23．(9分)(连云港中考)如图①，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3
m，背水坡AD的坡度i(即tan
∠DAB)为1∶0.5，坝底AB＝14
m.
(1)求坝高；
(2)如图②，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．(参考数据：sin
37°≈，cos
37°≈，tan
37°≈)
解：(1)作DM⊥AB于点M，CN⊥AB于点N.由题意得tan
∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x.∵四边形DMNC是矩形，∴DM＝CN＝2x.在Rt△NBC中，tan
37°＝＝＝，∴BN＝x.∵x＋3＋x＝14，∴x＝3，∴DM＝6，答：坝高为6
m.
(2)作FH⊥AB于点H.设DF＝y，则AE＝2y，EH＝2y＋3－y＝3＋y，BH＝14＋2y－(3＋y)＝11＋y.由FH⊥AB，EF⊥BF可得△EFH∽△FBH，所以＝，即＝，解得y＝－7＋2或－7－2(舍弃)，∴DF＝2－7，答：DF的长为(2－7)m.
24．(9分)马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．(参考数据：sin
36.5°≈0.6，cos
36.5°≈0.8，tan
36.5°≈0.75)
(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；
(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．
解：(1)过点P作PE⊥AB于点E，由题意得，∠PAE＝36.5°，∠PBA＝45°，设PE为x海里，则BE＝PE＝x海里，∵AB＝140海里，∴AE＝(140－x)海里，在Rt△PAE中，＝tan
∠PAE，即＝0.75，解得：x＝60海里，∴可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离为60海里；(2)在Rt△PBE中，PE＝60海里，∠PBE＝45°，则BP＝PE＝60≈84.8海里，B船到达P处需要的时间为≈2.83小时．在Rt△PAE中，＝sin
∠PAE，∴AP＝PE÷sin
∠PAE＝60÷0.6＝100海里，∴A船到达P处需要的时间为100÷40＝2.5小时．∵2.83＞2.5，∴A船先到达P处.
25．(10分)如图①所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图②，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20
cm，且AH＝DE＝EG＝20
cm.
(1)当∠CED＝60°时，求C，D两点间的距离；
(2)当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？(结果精确到0.1
cm)
(3)设DG＝x
cm，当∠CED的变化范围为60°～120°(包括端点值)时，求x的取值范围．(结果精确到0.1
cm)(参考数据≈1.732，可使用科学计算器)
解：(1)连接CD.∵CE＝DE，∠CED＝60°，∴△CED是等边三角形，∴CD＝DE＝20
cm；(2)根据题意得：AB＝BC＝CD，当∠CED＝60°时，AD＝3CD＝60
cm，当∠CED＝120°时，过点E作EH⊥CD于H，则∠CEH＝60°，CH＝HD.在直角△CHE中，sin
∠CEH＝，∴CH＝20·sin60°＝20×＝10(cm)，∴CD＝20
cm，∴AD＝3×20＝60≈103.9(cm)，即点A向左移动了103.9－60＝43.9
cm；(3)当∠CED＝120°时，∠DEG＝60°，∵DE＝EG，∴△DEG是等边三角形，∴DG＝DE＝20
cm，当∠CED＝60°时，则有∠DEG＝120°，过点E作EI⊥DG于点I，∵DE＝EG，∴∠DEI＝∠GEI＝60°，DI＝IG，在直角△DIE中，sin
∠DEI＝，∴DI＝DE·sin
∠DEI＝20×sin
60°＝20×＝10cm.∴DG＝2DI＝20≈34.6
cm.故x的范围是20
cm≤x≤34.6
cm.
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