湘教版九年级数学上册第3章图形的相似单元测试（word版含答案）

检测内容：第3章
得分________　卷后分________　评价________
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．如图，DE∥BC，则下列比例式错误的是(
)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
　　　　　　　　　　
2．如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，P是位似中心，且2PA＝3PA1，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比等于(
)
A．
B．
C．
D．
3．如图，D，E分别是AB，AC上的点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是(
)
A．∠B＝∠C
B．∠ADC＝∠AEB
C．BD＝CE，AB＝AC
D．AD∶AB＝AE∶AD
4．已知＝＝(a≠0)，那么(a＋2b＋3c)∶a等于(
)
A．8
B．9
C．10
D．11
5．如图是一个测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12
cm，AC被分为60等份，如果小玻璃管口DE正好对着量具的20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE为(
)
A．8
cm
B．10
cm
C．20
cm
D．60
cm
　　　　　　
6．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于(
)
A．
B．
C．
D．
7．(常德期末)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，连接BE、DF交于点G，连接DE.若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是(
)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
8．如图，已知△ABC的面积是12，BC＝6，点E，I分别在边AB，AC上，在BC边上依次做了5个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．若线段a＝3
cm，b＝6
cm，c＝5
cm，且a，b，c，d是成比例线段，则d＝(
)cm.
10．若＝，则的值为(
)．
11．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2
m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6
m，与树相距15
m，则树的高度为(
)m.
　　　　　　　
12．如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝2，AD＝1，则DB＝(
)．
13．(辽阳期末)如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，已知S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝(
)
14．如图，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是(
)．
　　　　　　　　
15．如图所示，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，当DM＝(
)时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E点，且BE⊥CD，CE∶ED＝2∶1.如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是(
)．
三、解答题(共72分)
17．(6分)如图，两平行线交∠A的一边于B，C两点，交∠A的另一边于D，M两点，已知AC＋AB＝14，且AM∶AD＝4∶3，求AB的长．
18．(6分)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
19．(6分)如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：＝.
20．(8分)(巴中中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即SA1B1C1∶SA2B2C2＝(
)
(不写解答过程，直接写出结果).
21．(8分)如图，马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
(1)若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
(2)若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移动到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好将公鸡送到吊环上？
22．(8分)已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E点．
(1)求证：△ABE∽△DBC；
(2)求线段AE的长．
23．(10分)如图，在△ABC中，点D，E分别在BC和AC边上，点G是BE上的一点，且∠BAD＝∠BGD＝∠C，连接AD，AG，DG.求证：
(1)BD·BC＝BG·BE；
(2)∠BGA＝∠BAC.
24．(10分)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．
(1)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的“完美分割线”，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
(2)如图②，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的“完美分割线”，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求“完美分割线”CD的长．
25．(10分)如图，在△ABC中，BA＝BC＝20
cm，AC＝30
cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4
cm的速度向B点运动，同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3
cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒.
(1)x为何值时，PQ∥BC?
(2)是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；
(3)当＝时，求的值．
检测内容：第3章（答案版）
得分________　卷后分________　评价________
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．如图，DE∥BC，则下列比例式错误的是(A)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
　　　　　　　　　　
2．如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，点A和点A1是一对对应点，P是位似中心，且2PA＝3PA1，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比等于(B)
A．
B．
C．
D．
3．如图，D，E分别是AB，AC上的点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是(D)
A．∠B＝∠C
B．∠ADC＝∠AEB
C．BD＝CE，AB＝AC
D．AD∶AB＝AE∶AD
4．已知＝＝(a≠0)，那么(a＋2b＋3c)∶a等于(C)
A．8
B．9
C．10
D．11
5．如图是一个测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12
cm，AC被分为60等份，如果小玻璃管口DE正好对着量具的20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE为(A)
A．8
cm
B．10
cm
C．20
cm
D．60
cm
　　　　　　
6．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于(A)
A．
B．
C．
D．
7．(常德期末)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，连接BE、DF交于点G，连接DE.若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是(D)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
8．如图，已知△ABC的面积是12，BC＝6，点E，I分别在边AB，AC上，在BC边上依次做了5个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为(D)
A．
B．
C．
D．
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．若线段a＝3
cm，b＝6
cm，c＝5
cm，且a，b，c，d是成比例线段，则d＝__10__cm.
10．若＝，则的值为____．
11．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2
m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6
m，与树相距15
m，则树的高度为__7__m.
　　　　　　　
12．如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝2，AD＝1，则DB＝__3__．
13．(辽阳期末)如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，已知S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝2∶3．
14．如图，把△ABC沿AB平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是__－1__．
　　　　　　　　
15．如图所示，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的端点M，N分别在CD，AD上滑动，当DM＝__或__时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似．
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E点，且BE⊥CD，CE∶ED＝2∶1.如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是____．
三、解答题(共72分)
17．(6分)如图，两平行线交∠A的一边于B，C两点，交∠A的另一边于D，M两点，已知AC＋AB＝14，且AM∶AD＝4∶3，求AB的长．
解：∵AM∶AD＝4∶3，又BD∥CM，∴＝＝.设AB＝3x，AC＝4x，又AC＋AB＝14，∴4x＋3x＝14，解得x＝2，∴AB＝3×2＝6.
18．(6分)如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.
证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.又EF∥AB，∴∠B＝∠CFE，∴∠ADE＝∠CFE，又∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC.
19．(6分)如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：＝.
证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D＝∠E＝90°，∵∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝.
20．(8分)(巴中中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即SA1B1C1∶SA2B2C2＝__1∶4__(不写解答过程，直接写出结果).
解：(1)略；(2)略．
21．(8分)如图，马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱AB的高度为1.2米．
(1)若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？
(2)若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移动到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好将公鸡送到吊环上？
解：(1)狮子能将公鸡送到吊环上．理由如下：过点Q作QH⊥PC，可证△PAB∽△PQH，得＝＝，∴QH＝2AB＝2×1.2＝2.4
m>2
m，因此狮子能将公鸡送到吊环上；(2)由(1)可知＝＝，∴＝，即当支点A移到跷跷板PQ靠近点P的处时，狮子刚好将公鸡送到吊环上．
22．(8分)已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E点．
(1)求证：△ABE∽△DBC；
(2)求线段AE的长．
解：(1)证明：∵AB＝AD＝25，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠C＝90°，∴△ABE∽△DBC；(2)∵AB＝AD，又AE⊥BD，∴BE＝DE，∴BD＝2BE，由△ABE∽△DBC，得＝，∵AB＝AD＝25，BC＝32，∴＝，∴BE＝20(舍负值)，∴AE＝＝＝15.
23．(10分)如图，在△ABC中，点D，E分别在BC和AC边上，点G是BE上的一点，且∠BAD＝∠BGD＝∠C，连接AD，AG，DG.求证：
(1)BD·BC＝BG·BE；
(2)∠BGA＝∠BAC.
证明：(1)∵∠BGD＝∠C，∠GBD＝∠CBE，∴△BDG∽△BEC，∴＝，∴BD·BC＝BG·BE；
(2)∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BD·BC.又由(1)知BD·BC＝BG·BE，∴AB2＝BG·BE，∴＝.又∵∠GBA＝∠ABE，∴△GBA∽△ABE，∴∠BGA＝∠BAC.
24．(10分)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的“完美分割线”．
(1)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的“完美分割线”，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；
(2)如图②，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的“完美分割线”，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求“完美分割线”CD的长．
解：(1)∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°.①当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°；②当AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°；③当AC＝CD时，∠ADC＝∠A＝48°＝∠BCD，这与∠ADC＝∠BCD＋∠B相矛盾，舍去．∴∠ACB＝96°或114°；
(2)由已知可知AC＝AD＝2，∵△BCD∽△BAC，∴＝＝.∴BC2＝BD·BA.设BD＝x，∴()2＝x(x＋2)，解得x＝－1或x＝－－1(舍去).∴＝，∴CD＝×2＝－.
25．(10分)如图，在△ABC中，BA＝BC＝20
cm，AC＝30
cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4
cm的速度向B点运动，同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3
cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒.
(1)x为何值时，PQ∥BC?
(2)是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；
(3)当＝时，求的值．
解：(1)由题意知AP＝4x，CQ＝3x，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，∴＝，∵AB＝BC＝20，AC＝30，∴AQ＝30－3x，∵＝，∴x＝，∴当x＝时，PQ∥BC；(2)存在．理由如下：∵△APQ∽△CQB，则＝，∴＝，∴9x2－10x＝0，∴x1＝0(舍去)，x2＝.∴当AP长为时，△APQ∽△CQB；(3)∵＝，∴＝，又AC＝30，∴CQ＝10，即3x＝10，解得x＝，此时，AP＝4x＝，∴＝＝.∴＝＝.
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