1.5 全称量词与存在量词 同步练习（解析版）

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第一章
集合与常用逻辑用语
【1.5
全称量词与存在量词】
基础闯关
务实基础
达标检测
题型一
全称量词和存在量词
1、将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题,下列说法正确的是(　　)
A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy
B.存在x,y∈R,使x2+y2≥2xy
C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy
D.存在x<0,y<0,使x2+y2≥2xy
解析：“任意”为全称量词,选项A正确.
2、下列语句不是全称量词命题的是（
）
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高一(一)班绝大多数同学是团员
D．每一个实数都有大小
解析：A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；
B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；
C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；
D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．
3、已知命题，，则命题的否定是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
解析：命题为特称命题，其否定为，.故选C
4、下列命题中,是全称量词命题的为　　　　;是存在量词命题的为　　　　.(填序号)?
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数;
⑤存在一对实数x,y,使2x+3y+3>0成立.
解析：①中量词“任意一个”省略,是全称量词命题;②的含义是“任何有两个角是45°的三角形均是等腰直角三角形”,含有全称量词,是全称量词命题;③中量词“任意一个”省略,是全称量词命题;④中含有存在量词“至少有一个”,是存在量词命题;⑤中含有存在量词,是存在量词命题.
答案：①②③；④⑤
题型二
全称量词和存在量词的判断
5、指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
（1）?x∈N，2x＋1是奇数；
（2）存在一个x∈R，使＝0；
（3）对任意实数a，|a|＞0；
解析：（1）是全称量词命题.因为?x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题.
（2）是存在量词命题.因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题.
（3）是全称量词命题.因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题.
6、写出下列命题的否定,并判断它们的真假：
(1)，一元二次方程有实根；
(2)每个正方形都是平行四边形；
(3)；
(4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于.
【解析】(1),一元二次方程没有实根,假命题，因为，方程恒有根；
(2)存在一个正方形不是平行四边形,假命题，因为任何正方形都是平行四边形；
(3)，假命题，因为时，；
(4)任意四边形ABCD,其内角和等于,真命题.
7、选择合适的量词(?,?),加在p(x)的前面,使其成为一个真命题.
(1)x>2;
(2)x是偶数;
(3)若x是无理数,则x2是无理数;
解析：(1)?x∈R,x>2.
(2)?x∈Z,x是偶数.
(3)?x∈R,若x是无理数,则x2是无理数.(如x=)
题型三
全称量词和存在量词的应用
8、若一次函数y=kx+2(x∈R)的图象恒过第三象限,则实数k的取值范围为　　　　.?
解析：一次函数y=kx+2的图象过点(0,2),若图象恒过第三象限,则k>0.
9、若命题“使得”为假命题，求实数的取值范围。
【解析】由命题“使得”为假命题，则命题“使得”为真命题.所以.
10、已知命题p:?x∈R,|x|2-2|x|+m=0.若?p是假命题,求实数m的取值范围.
解析：∵?p是假命题,∴p是真命题.
也就是?x∈R,使得|x|2-2|x|=-m,即方程|x|2-2|x|=-m有解.
又|x|2-2|x|=(|x|-1)2-1≥-1,当x=±1时等号成立,因此-m≥-1,即m≤1.
∴实数m的取值范围是{m|m≤1}.
能力提升
思维拓展
探究重点
1、已知命题p:?x∈{x|x>1},x2+16>8x,则命题p的否定为(　　)
A.?p:?x∈{x|x>1},x2+16≤8x
B.?p:?x∈{x|x>1},x2+16<8x
C.?p:?x∈{x|x>1},x2+16≤8x
D.?p:?x∈{x|x>1},x2+16<8x
解析：在?p中，量词“?”改为“?”，结论“x2+16>8x”改为“x2+16≤8x”，故选C.
2、给出下列四个命题:
①有理数是实数;
②有些平行四边形不是菱形;
③?x∈R,x2-2x>0;
④?x∈R,2x+1为奇数.
以上命题的否定为真命题的是（
）　　　
　　　　　
　　　　　
A.①④
B.②④
C.①②③④
D.③
解析：①“有理数是实数”为真命题,则命题的否定是假命题;
②“有些平行四边形不是菱形”为真命题,则命题的否定是假命题;
③当x=0时,不等式x2-2x>0不成立,
∴“?x∈R,x2-2x>0”为假命题,则命题的否定是真命题;
④“?x∈R,2x+1为奇数”为真命题,则命题的否定是假命题.
故满足条件的命题序号是③,故选D.
3、判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（2）至少有一个整数n，使得为奇数；（3）是无理数}，是无理数.
解析：（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；
（2）假命题，因为若为整数，则必为偶数；
（3）真命题，因为是无理数，是无理数.
4、已知命题p:?x∈{x|00},mx2+4x-1≠0.若p是真命题,q是假命题,求实数m的取值范围.
解析：若p是真命题,则x+m-1<0对于0当0若命题q是假命题,则?q:?x∈{x|x>0},mx2+4x-1=0为真命题.
即关于x的方程mx2+4x-1=0有正实数根.
当m=0时,方程为4x-1=0,有正实数根;
当m≠0时,依题意得Δ=16+4m≥0,即m≥-4.设两个实数根分别为x1,x2.
①当方程有两个正实数根时,x1+x2=->0,且x1x2=>0,解得m<0,此时-4≤m<0;
②当方程有一正一负两个实数根时,x1x2=<0,解得m>0,此时m>0.
综上所述,m≥-4.
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