(共55张PPT)
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 双曲线的定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个
，且2a
|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝
的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的
，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的
.
思考 在双曲线的定义中，如果2a≥|F1F2|，点P的轨迹是什么？若把||PF1|－|PF2||＝2a中的绝对值去掉后，点P的轨迹又是什么？
答案 ①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；
②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.
③若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支.
正常数
<
2a
焦点
焦距
知识点二 双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
?
?
标准方程
____________________
____________________
焦点
_______________
_______________
a，b，c的关系
c2＝_______
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a2＋b2
思考 由双曲线的标准方程怎样确定焦点位置？
答案 若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同.( )
2.点A(1,0)，B(－1,0)，若|CA|－|CB|＝2，则点C的轨迹是双曲线.( )
3.双曲线
＝1的焦点在x轴上，且a>b.( )
4.双曲线
＝1的焦点坐标为(±5,0).( )
×
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、双曲线的定义
例1 如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，
圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
反思感悟
(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.
二、求双曲线的标准方程
方法二 设双曲线的方程为my2－nx2＝1(mn>0)，
(2)焦距为26，且经过点M(0,12).
解 ∵双曲线经过点M(0,12)，
∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，
故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
反思感悟
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法.
跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)双曲线一个焦点坐标是(
，0)，经过点(－5,2)；
∵双曲线经过点(－5,2)，
解得a2＝5或a2＝30(舍去).
三、双曲线定义及标准方程的应用
例3 (1)若F1，F2是双曲线
＝1的两个焦点.如图，若P是双曲线左支
上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，则△F1PF2的面积为_____.
16
将|PF2|－|PF1|＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
则|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，
所以∠F1PF2＝90°，
(2)已知方程
＝1表示双曲线，则k的取值范围是_________.
(－1,1)
则(1＋k)(1－k)>0，
所以(k＋1)(k－1)<0，
所以－1延伸探究
将本例(1)中的条件“|PF1|·|PF2|＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积.
由双曲线的定义和余弦定理得|PF2|－|PF1|＝6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
反思感悟
(1)求双曲线中焦点三角形面积的方法
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式
＝
×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积.
(2)由双曲线的方程求参数的值或范围的关键是将方程化为标准方程，找到a，b，c，利用a，b，c的关系即可解决问题.
跟踪训练3 (1)若双曲线2x2－y2＝k的焦距为6，则k的值为_____.
±6
综上所述，k＝－6或6.
(2)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为______.
解析 不妨设点P在双曲线的右支上，
因为PF1⊥PF2，
又|PF1|－|PF2|＝2，所以(|PF1|－|PF2|)2＝4，
可得2|PF1|·|PF2|＝4，
则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12，
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
√
解析 由题意知，34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.
∴n＝±3.
2.若双曲线E：
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且
|PF1|＝3，则|PF2|等于
A.11
B.9
C.5
D.3
√
1
2
3
4
5
解析 由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.
√
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，
1
2
3
4
5
4.已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为
√
解析 |PM|－|PN|＝|BM|－|BN|＝2<6＝|MN|，
所以P点的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支(除去点(1,0)).
1
2
3
4
5
解析 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上.
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)双曲线的定义.
(2)双曲线的标准方程.
(3)双曲线定义及标准方程的应用.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：双曲线有两支，定义中若没有绝对值，则只能取一支.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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√
解析 由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.
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2.已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是
A.|PF1|－|PF2|＝±3
B.|PF1|－|PF2|＝±4
C.|PF1|－|PF2|＝±5
D.|PF1|2－|PF2|2＝±4
√
解析 当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以P点的轨迹是双曲线.
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√
解析 由焦点坐标知，焦点在y轴上，∴m<0，
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
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解析 方法一 因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A，D；
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5.(多选)若方程“
＝1”表示双曲线，则k的取值范围是
A.k>5
B.2C.k<2
D.2√
√
解析 依题意有(k－5)(k－2)>0，
即k>5或k<2，
故选AC.
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√
√
∴当双曲线的焦点在x轴时，c＝4，
又2a＝4，∴a＝2，
∴b2＝c2－a2＝12，
又a＝2，∴b2＝c2－a2＝8，
故选AD.
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解析 设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
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8.已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的
轨迹方程是_________________.
解析 由|MA|－|MB|＝6，且6<|AB|＝10，
故其轨迹为以A，B为焦点的双曲线的右支.
得a＝3，c＝5，b2＝c2－a2＝16.
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9.动圆M的半径为r，与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解 ∵圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切，
∴|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1，
∴|MC1|－|MC2|＝4，
∴点M的轨迹是以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点的双曲线的右支，
10.已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
解得a2＝3，b2＝2，
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(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，试求△MF1F2的面积.
解 因为点M在双曲线上，且|MF1|＝2|MF2|，
所以点M在双曲线的右支上，
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综合运用
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√
解析 由题意可得双曲线中a2＝m2＋12，b2＝4－m2，
√
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解析 据已知条件得焦点在x轴上，
则a2＋b2＝5.
①
∵线段PF1的中点的坐标为(0,2)，
②
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13.在△ABC中，|AB|＝4，△ABC的内切圆切AB于点D，且|AD|－|BD|＝
，则顶点C的轨迹为
A.椭圆
B.圆
C.双曲线
D.双曲线的一部分
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√
解析 如图，△ABC的内切圆与边BC，AC的切点分别为E，F，
∴|AD|＝|AF|，|BD|＝|BE|，|CE|＝|CF|，
且|AD|－|BD|＝
，∵|CA|＝|CF|＋|AF|，|CB|＝|CE|＋|BE|，
∴|CA|－|CB|＝|AF|－|BE|＝|AD|－|BD|＝
<|AB|＝4且|CA|>|CB|，
所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支，除去与AB的交点，故选D.
14.焦点在x轴上的双曲线经过点P(
，－3)，且Q(0,5)与两焦点的连线互相
垂直，则此双曲线的标准方程为___________.
解析 设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)，
则由QF1⊥QF2，得
＝－1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9，
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拓广探究
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15.已知双曲线
＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A，B两点，
且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为
A.8
B.9
C.16
D.20
√
解析 △ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，
∵|AB|＝4，∴|AF2|＋|BF2|＝16.
根据双曲线定义知，2a＝|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|，
∴4a＝(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝16－4＝12，
∴a＝3，∴m＝a2＝9.故选B.
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16.“神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点.某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角.
解 因为|PC|＝|PB|，
所以P在线段BC的垂直平分线上.
又因为|PB|－|PA|＝4<6＝|AB|，
所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上.
以线段AB的中点为坐标原点，AB的垂直平分线所在直线为y轴，正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.
①
②
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所以P点在A点的北偏东30°方向.
