(共61张PPT)
1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).
2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 双曲线的几何性质
1.双曲线的几何性质
标准方程
图形
?
?
性质
焦点
____________________
____________________
焦距
__________
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
|F1F2|=2c
性质
范围
____________________
y≥a或y≤-a,x∈R
对称性
对称轴:
,对称中心:_________
顶点
____________________
____________________
轴长
实轴长=
,虚轴长=___
离心率
__________
渐近线
________
________
x≥a或x≤-a,y∈R
x轴、y轴
坐标原点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
2a
2b
2.等轴双曲线
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,它的渐近线方程是
,离心率为
.
思考 能否用a,b表示双曲线的离心率?
y=±x
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
一、由双曲线的方程研究其几何性质
例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),
实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,
延伸探究 把本例中的双曲线方程改为9y2-4x2=36,再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
所以顶点坐标为(0,-2),(0,2),
反思感悟
由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤
跟踪训练1 (1)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于
√
解析 双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(±1,0),渐近线为y=±x,
所以x±y=0,
(2)已知F1,F2分别是双曲线的左,右焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为
√
解析 不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a.
因为△PF1F2是等腰直角三角形,所以只能是∠PF2F1=90°,
所以|PF2|=|F1F2|=2c,
所以|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c,
所以(2a+2c)2=2·(2c)2,
即c2-2ac-a2=0,两边同除以a2,
得e2-2e-1=0.
二、由双曲线的几何性质确定标准方程
例2
求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)一个焦点为(0,13),且离心率为
;
∴a=5,b2=c2-a2=144,
①
②
由①②联立,无解.
③
④
由③④联立,解得a2=8,b2=32.
∵A(2,-3)在双曲线上,
(3)过点(2,1)的等轴双曲线.
解 设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0),
代入点(2,1),则λ=3,
反思感悟
由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法,当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可;当焦点位置不明确时,应注意分类讨论,也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn<0),从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为y=
时,可以将方程设为
=λ(λ≠0).
∵点M(3,-2)在双曲线上,
∴a2=3b2.
①
又∵直线AB的方程为bx-ay-ab=0,
②
解①②组成的方程组,得a2=3,b2=1.
三、双曲线的几何性质的应用
例3 (1)已知F为双曲线C:x2-my2=4m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为
A.2
B.4
C.2m
D.4m
√
即双曲线的焦点到渐近线的距离为半虚轴长b,
∴b2=4,∴b=2.
√
(3)已知F1,F2是双曲线
=1(a>0,b>0)的两个焦点,以线段F1F2为边
作正△MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率e=_______.
解析 方法一 以线段F1F2为边作正△MF1F2,则M在y轴上,
方法二 如图所示,
点A为MF1的中点,点A在双曲线上,连接AF2,
△MF1F2为等边三角形,
∵△AF1F2为直角三角形,∠AF2F1=30°,
反思感悟
双曲线的渐近线、离心率的应用
依据条件建立参数a,b,c的关系,利用a,b,c的关系式c2=a2+b2,求离心率问题可消去b,找a与c的关系,求渐近线可消去c,找a与b的关系,掌握一些常用结论,例如焦点到准线为距离为b等等.
跟踪训练3 (1)双曲线
=1(a>0,b>0),F1,F2为左、右焦点,直线l过F2交双曲线于A,B两点,且AB⊥F1F2,若△ABO为等腰直角三角形,则离心
率为________.
故c2-ac-a2=0,
(2)双曲线
=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的
直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=____.
2
解析 设B为双曲线的右焦点,如图所示.
∵四边形OABC为正方形且边长为2,
又∵a2+b2=c2=8,∴a=2.
3
随堂演练
PART
THREE
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1.设双曲线
=1的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为
A.-4
B.-3
C.2
D.1
√
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√
√
解析 由题意知2c=8,所以c=4.
又a2+b2=c2,所以a2+3a2=16,
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√
由b2=c2-a2=k2知b=k.
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5.如图,在平面直角坐标系xOy中,以正方形ABCD的两个顶点A,B为焦点,且过点C,D的双曲线的离心率是________.
可得e4-6e2+1=0,
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5
1.知识清单:
(1)双曲线的几何性质.
(2)等轴双曲线.
(3)由双曲线的几何性质确定标准方程.
(4)双曲线的几何性质的应用.
2.方法归纳:数形结合、分类讨论.
3.常见误区:P为双曲线上一点,F1,F2为两焦点,由|PF1|求|PF2|,易忽视检验增根.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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1.下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是
√
解析 由双曲线的几何性质知,双曲线x2-
=1的渐近线方程为y=±2x,故选A.
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√
√
又a2+b2=c2=25,解得b2=5,a2=20,故选A.
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4.在平面直角坐标系xOy中,双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的离心率为
√
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5.(多选)已知曲线C:
=1,下列说法不正确的是
A.m<2时该曲线为双曲线
B.m=1是曲线C为等轴双曲线的充要条件
C.若曲线C为双曲线,则该双曲线的焦点一定在x轴上
√
√
则m2=2-m,解得m=1或m=-2,故B不正确;
∵m2>0,故C正确;
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6.(多选)已知在等边三角形ABC中,D,E分别是CA,CB的中点,以A,B为焦点且过D,E的椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则下列关于e1,e2的关系式正确的是
A.e2+e1=2
B.e2-e1=2
C.e1e2=2
D.
>2
√
√
√
解析 设△ABC的边长为2,
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7.焦点为(0,6),且与双曲线
-y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是____________.
所以-λ-2λ=36,所以λ=-12.
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8.若F1,F2是双曲线C:x2-
=1(y≠0)的左、右焦点,点P是双曲线C上一点,
若|PF1|=6,则|PF2|=____,△PF1F2的面积
=_____.
8
24
解析 根据双曲线的定义,若|PF1|=6,
则||PF1|-|PF2||=2a=2?|PF2|=4或8,
因为y≠0,而只有当P点落在x轴上时才会有|PF2|=4,故舍掉.
所以|PF2|=8.
因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
所以三角形PF1F2是直角三角形,
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9.已知双曲线的一条渐近线为x+
=0,且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.
①当双曲线的焦点在x轴上时,
②当双曲线的焦点在y轴上时,
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10.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x-5)2+y2=16相切.
(1)求双曲线的离心率.
解 设经过第一、三象限的渐近线的方程为y=kx,
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(2)P(3,-4)是渐近线上一点,F1,F2是双曲线的左、右焦点,若PF1⊥PF2,求双曲线的方程.
解 由题意设F1(-c,0),F2(c,0),
所以(3+c)(3-c)+16=0,解得c=5,
所以a=3,b=4,
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综合运用
11.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是
√
因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c,
由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,
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13.已知P为双曲线
-x2=1上任意一点,过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线,垂足分别为A,B,则|PA|·|PB|的值为
A.4
B.5
C.
D.与点P的位置有关
√
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拓广探究
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解析 椭圆,双曲线都关于x轴、y轴对称,所以只需考虑第一象限内的情况.
记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P,椭圆左焦点为Q,右焦点为F,连接PQ,
所以离心率为2.
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16.双曲线
=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-
,求双曲线的离心率.
所以(a2+b2)(3b2-a2)=4a2b2,
所以3b4-2a2b2-a4=0,
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