(共51张PPT)
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.掌握抛物线的标准方程及其推导.
3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准
方程的问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 抛物线的定义
一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离
的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的
，定直线l称为抛物线的
.
思考 定义中为什么要求定直线l不经过点F?
答案 当定直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线，而不是抛物线.
相等
焦点
准线
知识点二 抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
?
y2＝2px(p>0)
?
y2＝－2px(p>0)
?
x2＝2py(p>0)
?
x2＝－2py(p>0)
思考 二次函数的图像也是抛物线，与本节所学的抛物线相同吗？
答案 不完全相同，当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图像，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图像.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.( )
2.拋物线标准方程中的p表示焦点到准线的距离.( )
3.拋物线的方程都是二次函数.( )
4.抛物线的开口方向由一次项确定.( )
×
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、求抛物线的标准方程
例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)经过点(－3，－1)；
解 因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
解 对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；
令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
反思感悟
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数.
跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝
；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.
解 已知抛物线的焦点在y轴上，
可设方程为x2＝2my(m≠0)，
由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，
所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
二、抛物线的定义
例2 已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等.
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
反思感悟
解决轨迹为抛物线问题的方法
找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.
跟踪训练2 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|，
于是动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0).
方法二 由于点F(1,0)到y轴的距离为1，
所以当x<0时，直线y＝0上的点满足题意；
当x≥0时，已知条件等价于点P到点F(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，
所以点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，方程y2＝4x，
于是动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0).
三、抛物线定义的应用
例3 (1)已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P(1，y)在抛物线C上，则|PF|等于
√
又点P(1，y)在抛物线C上，所以y＝2.
故选C.
(2)如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.
由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为(2,2).
反思感悟
抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.
跟踪训练3 (1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点.若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为
A.6
B.9
C.12
D.14
√
解析 如图所示，过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M′，D，
由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，
∵M为AB的中点，且|MM′|＝6，
∴|AC|＋|BD|＝12，
即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12.
(2)已知抛物线y2＝2x，焦点为F，点P是抛物线上一动点，点A(0,2)，求点P到点A的距离与P到抛物线准线的距离之和的最小值.
解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离.
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是
A.射线
B.直线
C.抛物线
D.椭圆
√
1
2
3
4
5
解析 因为动圆M过点F，且动圆M与直线l相切，
所以圆心M到直线l的距离等于圆的半径|MF|，
即动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，且定点F不在定直线l上，
所以由抛物线的定义，可知圆心M的轨迹是抛物线.
2.已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为
1
2
3
4
5
√
解析 由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，
3.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是
1
2
3
4
5
√
解析 点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离.
故选C.
1
2
3
4
5
4.(多选)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值可以为
A.4
B.－2
C.－4
D.2
√
√
解析 由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
∴p＝4，∴x2＝－8y.
将点P的坐标代入x2＝－8y，
得m＝±4.
5.已知抛物线过点M(－6,6)，则抛物线的标准方程为___________________，焦点到准线的距离为_____.
y2＝－6x或x2＝6y
3
解析 由于点M(－6,6)在第二象限，
所以过M的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左，则焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2p1x(p1>0)，
将点M(－6,6)代入，
可得36＝－2p1×(－6)，所以p1＝3.
所以抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，则焦点在y轴上，设其方程为x2＝2p2y(p2>0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p2×6，所以p2＝3，
所以抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
所以焦点到准线的距离为p＝3.
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程及图形.
(3)抛物线定义的应用，求距离、最值等.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：抛物线的标准方程有四种情况，解题要分清焦点位置，必要时要讨论焦点的位置.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为
A.
B.1
C.2
D.4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.已知动点M的坐标满足方程5
＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
√
它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，
由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线，故选C.
4.已知抛物线y2＝2px(p>0)上点M(1，m)到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为
A.x＝4
B.x＝2
C.x＝－1
D.x＝－2
√
解析 因为抛物线方程为y2＝2px，
又因为点M(1，m)到其焦点的距离为3，
所以p＝4，所以准线方程为x＝－2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.(多选)以双曲线16x2－9y2＝144的顶点为焦点的抛物线的标准方程为
A.y2＝12x
B.x2＝16y
C.y2＝－12x
D.x2＝－16y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
顶点坐标为(±3,0)，
∴抛物线的标准方程为y2＝±12x.
6.(多选)已知拋物线的顶点在原点，焦点在y轴上，拋物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，则m的值为
√
√
解析 设所求拋物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵M(m，－3)在拋物线上，且|MF|＝5，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为_____.
由于点M到焦点的距离为1，
所以M到准线的距离也为1，
8.若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为
________.
解析 设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为O′(3,0)，
要求|PQ|的最小值，只需求|PO′|的最小值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P，求点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值.
解 易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示.
动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
其中F(1，0)为抛物线y2＝4x的焦点，
由图可知，距离和的最小值，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高为0.75
m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2
m时，小船开始不能通航.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，等轴双曲线C与抛物线y2＝8x的准线交于A，B两点，且|AB|＝2
，则等轴双曲线C的实轴长为
A.1
B.2
C.4
D.8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 设等轴双曲线C的方程为x2－y2＝λ，
①
所以抛物线的准线方程为x＝－2，
设等轴双曲线与抛物线的准线x＝－2有两个交点A(－2，y)，B(－2，－y)(y>0)，
所以λ＝1，所以等轴双曲线C的方程为x2－y2＝1，
所以等轴双曲线C的实轴长为2.
12.已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为
A.7
B.8
C.9
D.10
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，
根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝
－1＝10－1＝9.
当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，则抛物线的标准方程为____________________.
y2＝±2x或y2＝±18x
解析 设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹方程是_________.
y2＝8x
解析 由题意得，点P到x＋2＝0的距离和它到点M(2,0)的距离相等.
故点P的轨迹为焦点为M，准线为x＋2＝0的抛物线，
∴p＝4，方程为y2＝8x.
拓广探究
15.如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于
A.n＋10
B.n＋20
C.2n＋10
D.2n＋20
√
解析 由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，
由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，
所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切.
(1)求抛物线C的方程；
∵准线l与圆x2＋y2＝1相切，
解得p＝2.
故抛物线C的方程为x2＝4y.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意得F(0,1)，
∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16§2.7 抛物线及其方程
2.7.1 抛物线的标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导.
3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题．
知识点一 抛物线的定义
一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
思考 定义中为什么要求定直线l不经过点F?
答案 当定直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线，而不是抛物线．
知识点二 抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
x＝
x2＝2py(p>0)
y＝－
x2＝－2py(p>0)
y＝
思考 二次函数的图像也是抛物线，与本节所学的抛物线相同吗？
答案 不完全相同，当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图像，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图像．
1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．( × )
2．拋物线标准方程中的p表示焦点到准线的距离．( √ )
3．拋物线的方程都是二次函数．( × )
4．抛物线的开口方向由一次项确定．( √ )
一、求抛物线的标准方程
例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)经过点(－3，－1)；
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．
解 (1)因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为
y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.
故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.
(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．
跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝；
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.
解 (1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
二、抛物线的定义
例2 已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法
找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．
跟踪训练2 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
解 方法一 设点P的坐标为(x，y)，则＝|x|＋1，
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|，
所以y2＝
于是动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．
方法二 由于点F(1,0)到y轴的距离为1，
所以当x<0时，直线y＝0上的点满足题意；
当x≥0时，已知条件等价于点P到点F(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，所以点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，方程y2＝4x，于是动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．
三、抛物线定义的应用
例3 (1)已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，点P(1，y)在抛物线C上，则|PF|等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由y＝2x2，得x2＝，则p＝.
又点P(1，y)在抛物线C上，所以y＝2.
由抛物线的定义，知|PF|＝2＋＝2＋＝.
故选C.
(2)如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．
解 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，
由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为.
即|PA|＋|PF|的最小值为，
此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为(2,2)．
反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
跟踪训练3 (1)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为( )
A．6
B．9
C．12
D．14
答案 C
解析 如图所示，过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M′，D，
由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，
∵M为AB的中点，且|MM′|＝6，
∴|AC|＋|BD|＝12，
即|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝12.
(2)已知抛物线y2＝2x，焦点为F，点P是抛物线上一动点，点A(0,2)，求点P到点A的距离与P到抛物线准线的距离之和的最小值．
解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．
由图可知，点P，点A和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝.
1．已知定点F和定直线l，点F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切，则动圆圆心M的轨迹是( )
A．射线
B．直线
C．抛物线
D．椭圆
答案 C
解析 因为动圆M过点F，且动圆M与直线l相切，所以圆心M到直线l的距离等于圆的半径|MF|，即动点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，且定点F不在定直线l上，所以由抛物线的定义，可知圆心M的轨迹是抛物线．
2．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(1,0)
B.
C.
D．(0,1)
答案 C
解析 由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝y，
则焦点坐标为，故选C.
3．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )
A．5
B.
C.－1
D.＋1
答案 C
解析 点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1，这个值即为所求．故选C.
4．(多选)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值可以为( )
A．4
B．－2
C．－4
D．2
答案 AC
解析 由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，
∴p＝4，∴x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，
得m＝±4.
5．已知抛物线过点M(－6,6)，则抛物线的标准方程为________________，焦点到准线的距离为________．
答案 y2＝－6x或x2＝6y 3
解析 由于点M(－6,6)在第二象限，
所以过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，则焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2p1x(p1>0)，
将点M(－6,6)代入，
可得36＝－2p1×(－6)，所以p1＝3.
所以抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，则焦点在y轴上，设其方程为x2＝2p2y(p2>0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p2×6，所以p2＝3，
所以抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
所以焦点到准线的距离为p＝3.
1．知识清单：
(1)抛物线的定义．
(2)抛物线的标准方程及图形．
(3)抛物线定义的应用，求距离、最值等．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：抛物线的标准方程有四种情况，解题要分清焦点位置，必要时要讨论焦点的位置．
1．关于抛物线x＝4y2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点坐标为(0,1)
B．开口向上，焦点坐标为
C．开口向右，焦点坐标为(1,0)
D．开口向右，焦点坐标为
答案 D
解析 由x＝4y2得y2＝x，∴开口向右，焦点坐标为.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
答案 C
解析 抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，它与圆相切，所以必有3－＝4，p＝2.
3．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
答案 C
解析 方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线，故选C.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)上点M(1，m)到其焦点的距离为3，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝4
B．x＝2
C．x＝－1
D．x＝－2
答案 D
解析 因为抛物线方程为y2＝2px，
所以抛物线焦点为F，准线方程为x＝－，
又因为点M(1，m)到其焦点的距离为3，
因为p>0，根据抛物线的定义，得1＋＝3，
所以p＝4，所以准线方程为x＝－2.
5．(多选)以双曲线16x2－9y2＝144的顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝12x
B．x2＝16y
C．y2＝－12x
D．x2＝－16y
答案 AC
解析 双曲线方程可化为－＝1，a＝3，b＝4，c＝5，
顶点坐标为(±3,0)，∴抛物线的标准方程为y2＝±12x.
6．(多选)已知拋物线的顶点在原点，焦点在y轴上，拋物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，则m的值为( )
A．2
B．－2
C．2
D．－2
答案 CD
解析 设所求拋物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则焦点为F.
∵M(m，－3)在拋物线上，且|MF|＝5，
∴解得
∴m＝±2.
7．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为________．
答案
解析 抛物线方程化为x2＝y，准线为y＝－，由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1－＝.
8．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．
答案 －1
解析 设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为O′(3,0)，
要求|PQ|的最小值，只需求|PO′|的最小值．
设点P坐标为(y，y0)，
则|PO′|＝＝
＝，
∴|PO′|的最小值为，
从而|PQ|的最小值为－1.
9．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P，求点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．
解 易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，如图所示．
动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，其中F(1，0)为抛物线y2＝4x的焦点，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离d＝＝2.
10．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高为0.75
m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
故p＝，得x2＝－y.
当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2
m时，小船开始不能通航．
11．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，等轴双曲线C与抛物线y2＝8x的准线交于A，B两点，且|AB|＝2，则等轴双曲线C的实轴长为( )
A．1
B．2
C．4
D．8
答案 B
解析 设等轴双曲线C的方程为x2－y2＝λ，①
因为抛物线y2＝8x,2p＝8，p＝4，所以＝2，
所以抛物线的准线方程为x＝－2，
设等轴双曲线与抛物线的准线x＝－2有两个交点A(－2，y)，B(－2，－y)(y>0)，
则|AB|＝|y－(－y)|＝2y＝2，所以y＝，
将x＝－2，y＝代入①，得(－2)2－()2＝λ，
所以λ＝1，所以等轴双曲线C的方程为x2－y2＝1，
所以等轴双曲线C的实轴长为2.
12．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
答案 C
解析 抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
∴|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝－1＝10－1＝9.
当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|＋|PQ|的最小值为9.
13．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，则抛物线的标准方程为____________．
答案 y2＝±2x或y2＝±18x
解析 设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线的定义，得5＝|AF|＝，
又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
14．动点P到直线x＋4＝0的距离比它到点M(2,0)的距离大2，则点P的轨迹方程是____________．
答案 y2＝8x
解析 由题意得，点P到x＋2＝0的距离和它到点M(2,0)的距离相等．故点P的轨迹为焦点为M，准线为x＋2＝0的抛物线，∴p＝4，方程为y2＝8x.
15．如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|等于( )
A．n＋10
B．n＋20
C．2n＋10
D．2n＋20
答案 A
解析 由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10.
16.如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，求点A的坐标．
解 (1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－.
∵准线l与圆x2＋y2＝1相切，
∴圆心(0,0)到准线l的距离d＝0－＝1，
解得p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由题意得F(0,1)，
∴＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)，
∵＝2，
∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)，
即代入②得4x＝8y1＋4，
即x＝2y1＋1，
又x＝4y1，所以4y1＝2y1＋1，
解得y1＝，x1＝±，
即点A的坐标为或.
