(共51张PPT)
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
?
?
?
?
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
准线方程
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
知识点二 焦点弦
如图，抛物线y2＝2px(p>0)，焦点为F，直线l过焦点F，与抛物线交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
①AB⊥x轴时，弦AB称为通径，通径长＝|AB|＝
；
②|AF|＝
；
③|AB|＝
.
2p
x1＋x2＋p
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.抛物线关于顶点对称.( )
2.拋物线只有一条对称轴，没有对称中心.( )
3.抛物线的离心率都相同.( )
4.拋物线的开口大小由p决定.( )
×
√
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、由抛物线的几何性质求标准方程
例1 (1)抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点(－5，m)到焦点的距离是6，则抛物线的方程是
A.y2＝－2x
B.y2＝－4x
C.y2＝2x
D.y2＝－4x或y2＝－36x
√
解析 因为抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点(－5，m)到焦点的距离是6，
那么由抛物线定义知(－5，m)到焦点的距离是6，
即(－5，m)到准线的距离是6，
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝
，求抛物线方程.
解 由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
得x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
反思感悟
用待定系数法求抛物线方程的步骤
跟踪训练1 设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a<0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为
A.y2＝－16x
B.y2＝－2x
C.y2＝－4x
D.y2＝－8x
√
解得a＝－8或a＝8(舍去)，故选D.
二、由抛物线方程研究其几何性质
例2 已知抛物线y2＝8x.
(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
解 抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.
(2)P是抛物线上一点，点Q(4,0)，求|PQ|的取值范围；
当且仅当x0＝0时，|PQ|min＝4，
∴|PQ|的取值范围是[4，＋∞).
(3)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
解 如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，
又焦点F是△OAB的重心，
所以M(3,0).
故设A(3，m)，
代入y2＝8x得m2＝24；
反思感悟
把握三个要点确定抛物线的几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练2 (1)已知椭圆E的中心为坐标原点，长轴长为8，椭圆E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，抛物线C的准线与椭圆E交于A，B两点，则|AB|等于
A.12
B.9
C.6
D.3
√
解析 由题意知，2a＝8，故a＝4，
抛物线C：y2＝8x的焦点为(2,0)，准线为x＝－2，
故c＝2，b2＝12，
解得x＝－2，y＝±3.
故A(－2,3)，B(－2，－3)，所以|AB|＝6.
(2)已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是
A.x＝－1
B.y＝－1
C.x＝－2
D.y＝－2
√
解析 如图所示，过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，
由题意，得∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，点A到准线的距离为d＝|AB|＋|BC|＝2＋p＝4，
解得p＝2，则抛物线的准线方程是x＝－1，故选A.
三、抛物线的焦点弦
例3 (1)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，若|BC|＝
|BF|，且|AF|＝4＋2
，则p的值为
√
解析 过B作准线的垂线BB′，垂足为B′，
得直线l的倾斜角为45°.
(2)(多选)经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是
A.当AB与x轴垂直时，|AB|最小
B.
C.以弦AB为直径的圆与直线x＝
相离
D.y1y2＝－p2
√
√
√
解析 过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦AB有下列性质：①最短弦长为2p，此时AB⊥x轴；
③以AB为直径的圆与准线相切；
反思感悟
(2)过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可.
跟踪训练3 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1等于
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
√
解析 如图，由抛物线的定义，知|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，
所以∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.
又AA1∥Ox∥B1B，所以∠A1FO＝∠AA1F，∠B1FO＝∠FB1B，
3
随堂演练
PART
THREE
1.顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是
A.x2＝16y
B.x2＝8y
C.x2＝±8y
D.x2＝±16y
√
1
2
3
4
5
解析 设抛物线的方程为x2＝2py(p≠0)，
依题意顶点到准线的距离为
＝4，
∴p＝±8，故所求抛物线方程为x2＝±16y.
2.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为
√
所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，
1
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4
5
3.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,4)，过抛物线的焦点F且与x轴垂直的直线交该抛物线于M，N两点，则|MN|等于
A.4
B.
C.2
D.1
√
解析 因为点(－1,4)在抛物线y2＝2px的准线上，
则抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)，
当x＝1时，y＝±2，
则M(1,2)，N(1，－2)，所以|MN|＝4.
1
2
3
4
5
4.已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，该抛物线上的点A到焦点F的距离为5，则直线AF的方程为_____________________________.
4x＋3y－4＝0或4x－3y－4＝0
解析 设A(x0，y0)，
∴y0＝±4，
故点A的坐标为(4,4)或(4，－4).
即4x－3y－4＝0.
即4x＋3y－4＝0.
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2
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4
5
5.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝_____.
2
解析 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
易知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，
得y2－2py－p2＝0，
∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.
即(2p)2－4×(－p2)＝32.
又p>0，∴p＝2.
1
2
3
4
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1.知识清单：
(1)抛物线的几何性质.
(2)抛物线的焦点弦.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：距离不能合理转化，焦点弦的长度求法不当.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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1.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为
，则点P到抛物线的焦点F的距离为
A.4
B.5
C.6
D.7
√
解析 由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
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2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为
√
解析 曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，
3.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为
√
解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，
因此点P在线段OF的垂直平分线上，
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4.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其上的三个点A，B，C的横坐标之比为3∶4∶5，则以|FA|，|FB|，|FC|为边长的三角形
A.不存在
B.必是锐角三角形
C.必是钝角三角形
D.必是直角三角形
√
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解析 设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，
易知三者能构成三角形，|FC|所对角为最大角，
由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形.
5.(多选)以x轴为对称轴的拋物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若拋物线的顶点在坐标原点，则其方程为
A.y2＝8x
B.y2＝－8x
C.y2＝16x
D.y2＝－16x
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√
√
解析 设拋物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
由题意知p＝4，
∴拋物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
6.(多选)已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB的中点到直线x＝
的距离为1，则p的值为
A.1
B.2
C.3
D.6
√
√
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7.抛物线y2＝12x上到焦点的距离等于6的点的坐标是________________.
(3,6)或(3，－6)
解析 抛物线y2＝12x的准线方程为x＝－3，
因为抛物线y2＝12x上的点到焦点的距离等于6，
所以根据抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，
设所求点的横坐标为x，
则x＋3＝6，可得x＝3，代入抛物线方程，
可得y2＝36，所以y＝±6，
即所求点的坐标为(3,6)或(3，－6).
8.设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝______.
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90°
解析 由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，
在△AOB中，|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
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9.已知抛物线y2＝4x，焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线AB的方程.
解 ∵p＝2，焦点F(1,0)，
当直线AB的斜率不存在时，|AB|＝2p＝4≠8，不合题意，
故直线AB的斜率一定存在.
设直线AB的斜率为k且k≠0，
∴AB的方程为y＝k(x－1)，
即k2＝1，∴k＝±1，
∴直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
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10.求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.
证明 如图，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，M为AB的中点，作MM′⊥l于点M′，
则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
在直角梯形BB′A′A中，
即|MM′|等于以AB为直径的圆的半径.
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
综合运用
√
解析 由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，
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12.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是
A.8p2
B.4p2
C.2p2
D.p2
√
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，
所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，
从而直线OA与x轴的夹角为45°.
所以A，B两点的坐标分别为(2p,2p)，(2p，－2p).
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13.抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p等于
A.2
B.4
C.6
D.8
√
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
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14.已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则
取得最小值时的点P的坐标是_______.
(0,0)
当且仅当y＝0时取等号，此时点P的坐标为(0,0).
拓广探究
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解析 设抛物线准线交x轴于点F′，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A′，B′，直线l交准线于点C，如图所示，
则|AA′|＝|AF|＝3，|BB′|＝|BF|＝1，|AB|＝4，|FF′|＝p，
所以抛物线方程为y2＝3x.
16.已知抛物线y2＝2x.
(1)设点A的坐标为
，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离
|PA|；
解 设抛物线上任一点P(x，y)，
x≥0，且在此区间上函数单调递增，
故距离点A最近的点P的坐标为(0,0).
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(2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值.
解 设点M(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则M到直线x－y＋3＝0的距离为
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