(共55张PPT)
1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线
的位置关系.
2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系
联立直线方程与圆锥曲线方程，消去y得ax2＋bx＋c＝0，则直线与圆锥曲线的位置关系如下表
?
方程特征
交点个数
位置关系
直线与椭圆
a≠0，Δ>0
__
_____
a≠0，Δ＝0
__
_____
a≠0，Δ<0
__
_____
直线与双曲线
a＝0
__
直线与双曲线的渐近线平行
a≠0，Δ>0
__
_____
a≠0，Δ＝0
__
_____
a≠0，Δ<0
__
_____
2
相交
1
相切
0
相离
1
2
相交
1
相切
0
相离
直线与抛物线
a＝0
__
直线与抛物线的对称轴重合或平行
a≠0，Δ>0
__
_____
a≠0，Δ＝0
__
_____
a≠0，Δ<0
__
_____
1
2
1
0
相交
相切
相离
知识点二 弦长公式
特别地，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦长|AB|＝
.
x1＋x2＋p
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.直线与圆锥曲线有且只有一个公共点时，直线与圆锥曲线相切.( )
2.直线与圆锥曲线交点的个数就是它们的方程联立方程组的解的个数.
( )
3.直线与圆锥曲线相交，则一定有2个交点.( )
4.斜率为k的直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
|x1－x2|.
( )
×
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系
一、直线与圆锥曲线的位置关系
例1 已知双曲线C：x2－
＝1，直线l的斜率为k且直线l过点P(1,1)，当k为何值时，直线l与双曲线C：(1)有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)无公共点.
解 设直线l：y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋(1－k).
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0.
(
)
当k2－2≠0时，Δ＝24－16k，
反思感悟
在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，要先讨论得到的方程二次项系数为零的情况，再考虑Δ的情况，而且不要忽略直线斜率不存在的情形.
跟踪训练1 (1)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，
)且斜率为k的直线l
与椭圆
＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围为______________
_____________.
(2)已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
(
)
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，(
)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.
二、弦长问题
(1)试求动点P的轨迹方程C；
解 设动点P的坐标是(x，y)，
(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|＝
时，求直线l的方程.
解 设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
Δ＝16k2－4(1＋2k2)＝8k2－4>0，
整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍).
∴k＝±1，经检验符合题意.
∴直线l的方程是y＝±x＋1，
即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
反思感悟
直线与圆锥曲线相交弦长的求法
(1)直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.
提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.
跟踪训练2 已知抛物线y2＝4x，直线l过点M(2,0)且与抛物线交于A，B两点，若△AOB的面积为
，求直线l的方程.
解 方法一 当直线l的斜率不存在时，
设直线l方程：y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
整理得k2x2－4(k2＋1)x＋4k2＝0，
Δ＝16(k2＋1)2－16k4＝32k2＋16>0，
∴k＝±1，
即直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0，
方法二 设直线l的方程为x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
整理得y2－4ty－8＝0.
∴Δ＝16t2＋32>0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－8，
即直线l的方程为x＋y－2＝0或x－y－2＝0.
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
√
解析 当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；
当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.
2.若直线y＝kx＋1与椭圆
＝1总有公共点，则m的取值范围是
A.m>1
B.m≥1或0C.0D.m≥1且m≠5
√
1
2
3
4
5
解析 ∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，
若5∴m≥1且m≠5.
3.抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为
A.(1,2)
B.(0,0)
C.
D.(1,4)
√
解析 因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，
设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.
设此直线与抛物线相切，有Δ＝0，
即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.
1
2
3
4
5
4.已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是_______________________.
(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 设点A(x，y)，依题意，得点A在以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，
该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1,0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1).
当k≠0时，依题意，得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，
化简得k2－1＞0，解得k＞1或k<－1，
因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
当k＝0时，显然不符合题意；
1
2
3
4
5
5.已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线截直线x－2y－1＝0所得的弦长为
，则此抛物线的方程为___________________.
1
2
3
4
5
x2＝－4y或x2＝12y
解析 设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0，即a<0或a>8.
设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
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5
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2
3
4
5
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，
∴所求抛物线的方程为x2＝－4y或x2＝12y.
1.知识清单：
(1)直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.
(2)直线与圆锥曲线相交的弦长.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：直线与双曲线只有一个交点除相切外，还包含直线与双曲线的渐近线平行，直线与抛物线只有一个交点除相切外，还包含直线与对称轴平行或重合.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
√
可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，
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2.已知F是椭圆
＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为
A.6
B.15
C.20
D.12
√
解析 设A，B两点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
√
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4.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为
A.48
B.56
C.64
D.72
√
设|AP|＝10，|BQ|＝2，又|PQ|＝8，
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√
√
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6.(多选)过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程为
A.x＝0
B.y＝1
C.y＝x＋1
D.y＝
＋1
√
√
√
解析 如图所示，若直线的斜率不存在，
则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，
即直线x＝0与抛物线只有一个公共点.
若直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋1，
当k＝0时，解得y＝1，
即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；
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当k≠0时，Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，
7.过椭圆
＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，
O为坐标原点，则△OAB的面积为____.
解析 由已知可得直线方程为y＝2x－2，|OF|＝1，
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8.已知双曲线
＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是____________.
[2，＋∞)
故离心率e的取值范围是[2，＋∞).
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9.已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝－x交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为
，求直线l的方程.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得
化简整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由题意知k≠0，
即x＋6y＋1＝0或x－6y＋1＝0.
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10.已知椭圆
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与
椭圆交于A，B两点.
(1)求△ABF2的周长；
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由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
解 由(1)可得F1(－1,0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故直线AB的方程为y＝x＋1，
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综合运用
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11.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于a2＋2a＋5(a∈R)，则这样的直线
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.有1条或2条
D.不存在
√
解析 |AB|＝xA＋xB＋p＝a2＋2a＋7＝(a＋1)2＋6>4，
而通径的长为4，
所以有且仅有两条.
12.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝
交于A，B两点，若|AB|＝
，则该双曲线的方程为
A.x2－y2＝6
B.x2－y2＝9
C.x2－y2＝16
D.x2－y2＝25
√
解析 设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，
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13.以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是
√
得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，
则b2＝4时，e取最大值，故选C.
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14.斜率为1的直线l与椭圆
＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为_____.
解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，
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拓广探究
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√
∴a＝2b.
∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.
∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，
∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.
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16.如图，抛物线的顶点在坐标原点，圆x2＋y2＝4x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点且斜率为2，直线l交抛物线和圆依次于A，B，C，D四点.
(1)求抛物线的方程；
解 由圆的方程x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，
可知圆心为F(2,0)，半径为2，
又由抛物线的焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F(2,0)，
故抛物线方程为y2＝8x.
(2)求|AB|＋|CD|的值.
解 |AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|，
∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|＝4，
则|AB|＋|CD|＝|AD|－4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AD|＝|AF|＋|FD|，而A，D在抛物线上，
由已知可得直线l的方程为y＝2(x－2)，
得x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6，
∴|AD|＝6＋4＝10，
∴|AB|＋|CD|＝10－4＝6.
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16(共60张PPT)
内
容
索
引
题型探究
随堂演练
课时对点练
题型探究
1
PART
ONE
一、中点弦问题
例1 已知椭圆
＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程.
解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法
由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).
将其代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，
又M为线段AB的中点，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二 点差法
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.
∵M(2,1)为线段AB的中点，
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法三 对称点法(或共线法)
设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，
由于点M(2,1)为线段AB的中点，
则另一个交点为B(4－x,2－y).
∵A，B两点都在椭圆上，
①－②，得x＋2y－4＝0.
即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，
而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
反思感悟
解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆
＝1(a>b>0)上的两个
不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
跟踪训练1 (1)直线l的斜率为4，过点M(4,1)且与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，若点M恰好为AB的中点，则抛物线方程为__________.
y2＝8x
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，
(2)已知双曲线的方程为x2－
＝1，是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果
存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，请说明理由.
解 方法一 由题意知直线的斜率存在，设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程x2－
＝1，
得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，
∴Δ＝[－2k(k－1)]2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，
方法二 设弦的两端点为A(x1，y1)，C(x2，y2)，
∴B(1,1)为AC的中点，
即kAC＝2，
∴直线AC的方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
整理有2x2－4x＋3＝0，
Δ＝16－4×2×3＝－8<0，
故y＝2x－1与双曲线无交点，
∴不存在被点B(1,1)平分的弦.
二、平面向量在圆锥曲线中的应用
解析 如图所示，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1,0)，
∴(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)，
∴y1＝－2y2，
①
设AB方程为x＝ty＋1，
∵y1＋y2＝4t，
②
y1y2＝－4，
③
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线l的方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，
即17x2＋32x＋16－4b2＝0.
即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，
5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.
反思感悟
平面向量在高中数学中应用广泛，主要可以用来判断平行、垂直，求长度、夹角等问题.
在圆锥曲线中，主要有以下几种用途
跟踪训练2 已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(
，0).
(1)求双曲线C的方程；
由直线l与双曲线交于不同的两点得
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
PART
TWO
随堂演练
√
Δ>0恒成立，
设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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2.已知双曲线x2－
＝1，过点P(2,1)作一直线交双曲线于A，B两点，并使点P
为AB的中点，则直线AB的斜率为
A.3
B.4
C.5
D.6
√
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故所求直线AB的方程为y－1＝6(x－2)，
联立得33x2－132x＋124＝0，
显然，Δ>0，故直线AB的斜率为6.
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5
√
不妨设直线l过右焦点，倾斜角为45°，直线l的方程为y＝x－1.
即3x2－4x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
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3
4
5
A.5
B.6
C.7
D.8
√
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，与抛物线方程联立有
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5.已知椭圆
＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中
点是M(－4,1)，则椭圆的离心率是_____.
解析 设直线x－y＋5＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
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1.知识清单：
(1)圆锥曲线解决中点弦问题.
(2)平面向量在圆锥曲线中的应用.
2.方法归纳：数形结合、转化法.
3.常见误区：在双曲线中，用点差法求直线方程时需检验直线的存在性.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
3
课时对点练
PART
THREE
基础巩固
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1.直线y＝k(x－2)＋1与椭圆
＝1的位置关系是
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法判断
√
解析 直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，
所以P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
2.已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是
A.x＋2y－3＝0
B.2x＋y－3＝0
C.x－2y＋3＝0
D.2x－y＋3＝0
√
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解析 方法一 设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，
即y＝kx＋1－k.
得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，
即x＋2y－3＝0.
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方法二 设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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A.点P(a，b)一定在单位圆内
B.点P(a，b)一定在单位圆上
C.点P(a，b)一定在单位圆外
D.当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上
√
因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.
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√
解析 由题意知，右焦点为F(c,0).
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5.(多选)设A，B是抛物线y2＝2x上异于原点的不同两点，则
的可能取值为
A.1
B.－1
C.－2
D.0
√
√
√
解析 设直线AB的方程为x＝my＋t，代入抛物线y2＝2x，
可得y2－2my－2t＝0，Δ＝4m2＋8t>0，
则y1＋y2＝2m，y1y2＝－2t，
当t＝1时满足Δ>0，
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√
√
√
解析 因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
又因为2c>2a,4a>2a，
所以∠PF1F2＝30°，
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所以∠PF2F1＝90°，
所以|AF2|≠|PF2|，所以∠PAF2≠45°，
所以7y2－16y＋8－2a2＝0，
所以Δ＝162－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，
所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，所以D正确.
故选ABD.
所以C错误.
所以2(2－2y)2－y2＝2a2，
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解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0).
即x1＋x2＋x3＝3，
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8.已知点P(4,2)是直线：x＋2y－8＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的
中点，则该椭圆的离心率为_____.
直线x＋2y－8＝0与椭圆交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值.
解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
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10.已知双曲线C1：x2－
＝1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4，
)的双曲线C2的标准方程；
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解 双曲线C1的渐近线方程为y＝2x，y＝－2x，
设A(x1,2x1)，B(x2，－2x2)，
由Δ＝(－2m)2－4×3×(－m2)＝16m2>0，得m≠0.
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综合运用
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即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
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A.3
B.4
C.5
D.6
√
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线的方程
可得
3x2－10x＋3＝0，
所以由抛物线的定义知|FA|，|FB|的值分别等于A，B到准线的距离，
即λ＝3.
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13.已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积为____.
2
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2).
∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
将其代入y2＝4x，得A(0,0)，B(4,4).
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14.椭圆
＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2
为钝角，则点P的横坐标的取值范围是______________.
解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
即x2－3＋y2<0，
(
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拓广探究
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解析 直线l的方程为y＝x＋2，
①
整理得(b2＋2)y2－4b2y＋2b2＝0，
②
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
③
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(1)求C的方程；
①
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联立①②，可解得a2＝8，b2＝4.
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(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
证明 由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).
得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
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