(共42张PPT)
内
容
索
引
知识网络
考点突破
真题体验
1
知识网络
PART
ONE
2
考点突破
PART
TWO
一、空间向量及其运算
1.空间向量的运算主要包括空间向量的加减、数乘运算以及坐标运算，一般与共面定理，共线定理以及空间向量基本定理综合考查.
2.掌握基本的运算及共面、共线定理以及空间向量基本定理，重点提升数学运算和直观想象素养.
例1 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：
③④
又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，
其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
反思感悟
向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.
由已知四边形ABCD是平行四边形，
二、利用空间向量解决位置关系问题
1.主要考查利用直线的方向向量与平面的法向量，判定、证明空间中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直.
2.掌握直线的方向向量与平面的法向量，理解并记忆判定平行与垂直的公式，提升逻辑推理和直观想象素养.
例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD；
证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，
(2)平面PBC⊥平面PCD.
设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
反思感悟
(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.
(2)证明线面平行的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.
(3)证明面面平行的方法
①转化为线线平行、线面平行处理.
②证明这两个平面的法向量是共线向量.
(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.
(5)证明线面垂直的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.
②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.
(6)证明面面垂直的方法
①转化为证明线面垂直.
②证明两个平面的法向量互相垂直.
跟踪训练2 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz.
设正方体棱长为1，
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的法向量，
令y1＝1，得m＝(0,1，－2).
令z2＝1，得n＝(0,2,1).
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，∴平面AED⊥平面A1FD1.
三、利用空间向量求角
1.主要考查利用直线的方向向量与平面的法向量，求直线与直线所成的角，直线与平面的夹角，平面与平面所成的角.
2.掌握并理解利用直线的方向向量与平面法向量求角的公式，提升逻辑推理和直观想象素养.
例3 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.
(1)求点C到平面A1ABB1的距离；
解 由AC＝BC，D为AB的中点，
得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AA1∩AB＝A，
故CD⊥平面A1ABB1，
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值.
解 如图，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.
设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
取x2＝1，得n＝(1,0,0)，
反思感悟
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦值cos〈n，a〉，再利用公式sin
θ＝|cos〈n，a〉|，求θ.
(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.
跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证：GF∥平面ADE；
证明 方法一 如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
又G是BE的中点，
又F是CD的中点，
由四边形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
方法二 如图，取AB的中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.
又AD?平面ADE，MF?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.
(2)求平面AEF与平面BEC所成角的余弦值.
解 方法一 如图，在平面BEC内，
过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
以B为原点，分别以BE，BQ，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).
设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.
取z＝2，得n＝(2，－1,2).
方法二 同方法一.
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真题体验
PART
THREE
1.(2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
(1)证明：MN∥平面C1DE；
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证明 如图，连接B1C，ME.
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
由题设知A1B1∥DC且A1B1＝DC，
可得B1C∥A1D且B1C＝A1D，
故ME∥ND且ME＝ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.
又MN?平面C1DE，ED?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
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(2)求二面角A－MA1－N的正弦值.
设m＝(x，y，z)为平面A1MA的一个法向量，
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设n＝(p，q，r)为平面A1MN的一个法向量，
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2.(2019·全国Ⅲ)图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②.
(1)证明：图②中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
证明 由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，
BE，BC?平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.
又因为AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
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(2)求图②中的二面角B－CG－A的大小.
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解 作EH⊥BC，垂足为H.
因为EH?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，平面BCGE∩平面ABC＝BC，
所以EH⊥平面ABC.
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，
建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz，
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设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，
又平面BCGE的法向量可取为m＝(0,1,0)，
因此二面角B－CG－A的大小为30°.
