(共35张PPT)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.若直线过点(1,2)，(4,2＋
)，则此直线的倾斜角是
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
√
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2.已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们之间的距离是
，则m＋n等于
A.0
B.1
C.－1
D.2
√
解析 由题意，所给两条直线平行，∴n＝－2.
由两条平行直线间的距离公式，
解得m＝2或m＝－8(舍去)，
∴m＋n＝0.
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解析 由题意得a＝5，b＝3，c＝4，
∴A和C为椭圆的两焦点，
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4.已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，过点A(－4，－1)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于
√
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，其圆心C的坐标为(2,1)，
∵AB是一条切线且切点为B，
则△ABC为直角三角形，角B为直角，
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且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，
6.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为
，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|等于
A.3
B.6
C.9
D.12
√
所以c＝2，a＝4，b2＝a2－c2＝12，
解得y＝±3，所以|AB|＝6.
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∴3＋a－2＝0，解得a＝－1；
故选A.
8.如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为
√
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于
A.2
B.－3
C.－2
D.3
√
√
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，
当m＝0时，不符合题意，
故m＝2或－3.
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10.已知圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为
A.2
B.5
C.－2
D.－5
√
√
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解析 圆C1的圆心(m，－2)，圆C2的圆心(－1，m)，
11.椭圆
＝1的焦距等于2，则m的值为
A.14
B.16
C.13
D.15
√
√
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解析 由m－15＝±1得m＝16或14.
12.已知斜率为
的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是
A.
B.|AF|＝6
C.|BD|＝2|BF|
D.F为AD中点
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√
√
√
解析 根据题意作出其图像，过A，B分别作准线的垂线，
垂足分别为A1，B1，如图所示，
则∠FDA1＝30°，设|BD|＝x，
解得x＝4，所以|BF|＝2，|AF|＝6，所以B正确；
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所以|BD|＝4，满足|BD|＝4＝2|BF|，所以C正确；
而|DF|＝|BD|＋|BF|＝4＋2＝6＝|AF|，所以D正确.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知两条直线l1：ax＋8y＋b＝0和l2：2x＋ay－1＝0(b<0)，若l1⊥l2且直线l1的纵截距为1，则a＝____，b＝_____.(本题第一空2分，第二空3分)
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0
－8
再由l1⊥l2，可得当a＝0时满足条件；
当a≠0时，不满足.
3x－2y－16＝0
即3x－2y－16＝0，经验证符合题意.
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15.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝______.
6
解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.
16.已知在平面直角坐标系xOy中，过点(1,0)的直线l与直线x－y＋1＝0垂直，且l与圆C：x2＋y2＝－2y＋3交于A，B两点，则△OAB的面积为_____.
1
解析 ∵直线l与直线x－y＋1＝0垂直，且过点(1,0)，
∴直线l的方程为x＋y－1＝0，
又由圆C：x2＋y2＝－2y＋3，得x2＋(y＋1)2＝4，
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四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2,3).
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
解 设BC边上的高所在直线为l，
又点A(－1,4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－(x＋1)，
即x＋y－3＝0，即BC边上的高所在直线的方程为x＋y－3＝0.
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(2)求△ABC的面积S.
解 BC边所在直线的方程为y＋1＝x＋2，
即x－y＋1＝0.
18.(12分)过原点O的圆C，与x轴相交于点A(4,0)，与y轴相交于点B(0,2).
(1)求圆C的标准方程；
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解 设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
分别代入原点和A(4,0)，B(0,2)，
则圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
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(2)过点B的直线l与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式.
由于直线l过点B与圆C相切，
设直线l：y＝kx＋2，
由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d＝r，
故直线l：y＝2x＋2，即2x－y＋2＝0.
19.(12分)已知过抛物线y2＝8x的焦点，斜率为
的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求线段AB的长度；
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解 直线AB的方程是y＝
(x－2)，与y2＝8x联立
，消去y得x2－5x＋4＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝5，
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9.
解 由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
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(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18).
因为直线l与椭圆有公共点，
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(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值.
解 设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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21.(12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
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解 由方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，
得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∵方程表示圆，∴5－m>0，即m<5.
∴m的取值范围为(－∞，5).
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
解 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2.
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.
①
则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，
得5y2－16y＋m＋8＝0，
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(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.
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解 以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0，
22.(12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于
，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上.
(1)求椭圆C的标准方程；
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，∴b＝2，
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(2)如图，点P(2，
)，Q(2，－
)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.
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解 斜率为定值.理由如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵∠APQ＝∠BPQ，∴直线PA，PB的斜率互为相反数，
可设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，
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22章末检测试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案 A
解析 设θ为直线的倾斜角，利用斜率公式k＝＝＝tan
θ，可得倾斜角为30°.
2．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们之间的距离是，则m＋n等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
答案 A
解析 由题意，所给两条直线平行，∴n＝－2.
由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，
解得m＝2或m＝－8(舍去)，
∴m＋n＝0.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则等于( )
A.
B.
C．5
D.
答案 A
解析 由题意得a＝5，b＝3，c＝4，
∴A和C为椭圆的两焦点，
＝
＝＝＝.
4．已知圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，过点A(－4，－1)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A．2
B．6
C．4
D．2
答案 B
解析 圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，其圆心C的坐标为(2,1)，
∵AB是一条切线且切点为B，则△ABC为直角三角形，角B为直角，
∴|AB|＝，
∵|AC|＝＝，
∴|AB|＝＝6.
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )
A.－y2＝1
B.－＝1
C．x2－＝1
D.－＝1
答案 C
解析 由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，
可得解得
∴双曲线C的标准方程是x2－＝1.
6．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|等于( )
A．3
B．6
C．9
D．12
答案 B
解析 设椭圆E的方程为＋＝1，
因为e＝＝，y2＝8x的焦点为(2,0)，
所以c＝2，a＝4，b2＝a2－c2＝12，
故椭圆E的方程为＋＝1，将x＝－2代入椭圆方程，
解得y＝±3，所以|AB|＝6.
7．过点A(，1)的直线l1：x＋ay－2＝0与过点B(，4)的直线l2交于点C，若△ABC是以AB为底边的等腰三角形，则l2的方程为( )
A.x＋y－7＝0
B.x－y＋7＝0
C．x＋y－7＝0
D．x－y－7＝0
答案 A
解析 ∵直线l1过点A(，1)，
∴3＋a－2＝0，解得a＝－1；
∴直线l1的斜率为；
∵△ABC是以AB为底边的等腰三角形，且AB在直线x＝上，
∴直线l2的斜率为－；
∴直线l2的方程为y－4＝－(x－)，
化为一般式为x＋y－7＝0.
故选A.
8.如图，已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为( )
A.－1
B．2－
C.
D.
答案 A
解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线，
∴∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c，∵|F1F2|＝2c，
∴|MF1|＝c，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝c＋c＝2a，
∴椭圆离心率e＝＝－1.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A．2
B．－3
C．－2
D．3
答案 AB
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，当m＝0时，不符合题意，当m≠0时，则有＝≠，
故m＝2或－3.
10．已知圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2
B．5
C．－2
D．－5
答案 AD
解析 圆C1的圆心(m，－2)，圆C2的圆心(－1，m)，
则|C1C2|＝＝3＋2，得m＝2或－5.
11．椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值为( )
A．14
B．16
C．13
D．15
答案 AB
解析 由m－15＝±1得m＝16或14.
12．已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是( )
A.＋＝1
B．|AF|＝6
C．|BD|＝2|BF|
D．F为AD中点
答案 BCD
解析 根据题意作出其图像，过A，B分别作准线的垂线，
垂足分别为A1，B1，如图所示，
直线l的斜率为，即∠xFA＝60°，
则∠FDA1＝30°，设|BD|＝x，
则Rt△DBB1，Rt△DAA1中，可得|BB1|＝，
|AA1|＝4＋，
所以|BB1|＝|BF|＝，|AA1|＝|AF|＝4＋，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＋＝4＋x＝8，
解得x＝4，所以|BF|＝2，|AF|＝6，所以B正确；
所以＋＝＋≠1，所以A不正确；
所以|BD|＝4，满足|BD|＝4＝2|BF|，所以C正确；
而|DF|＝|BD|＋|BF|＝4＋2＝6＝|AF|，所以D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知两条直线l1：ax＋8y＋b＝0和l2：2x＋ay－1＝0(b<0)，若l1⊥l2且直线l1的纵截距为1，则a＝________，b＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
答案 0 －8
解析 由题意知，－＝1，则b＝－8，
再由l1⊥l2，可得当a＝0时满足条件；
当a≠0时，不满足．
14．过点A(6,1)作直线l与双曲线－＝1相交于两点B，C，且A为线段BC的中点，则直线l的方程为________________．
答案 3x－2y－16＝0
解析 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则
∴－＝0.∴＝＝＝.
即kBC＝，∴直线l的方程是y－1＝(x－6)．
即3x－2y－16＝0，经验证符合题意．
15．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
答案 6
解析 如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，
∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.
16．已知在平面直角坐标系xOy中，过点(1,0)的直线l与直线x－y＋1＝0垂直，且l与圆C：x2＋y2＝－2y＋3交于A，B两点，则△OAB的面积为________．
答案 1
解析 ∵直线l与直线x－y＋1＝0垂直，且过点(1,0)，
∴直线l的方程为x＋y－1＝0，
又由圆C：x2＋y2＝－2y＋3，得x2＋(y＋1)2＝4，
圆心C(0，－1)到l的距离为d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2，
又原点O到l的距离为＝，
∴S△OAB＝××2＝1.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知△ABC的三个顶点是A(－1,4)，B(－2，－1)，C(2,3)．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积S.
解 (1)设BC边上的高所在直线为l，
由题意知kBC＝＝1，
则kl＝＝－1.
又点A(－1,4)在直线l上，
所以直线l的方程为y－4＝－(x＋1)，
即x＋y－3＝0，即BC边上的高所在直线的方程为x＋y－3＝0.
(2)BC边所在直线的方程为y＋1＝x＋2，
即x－y＋1＝0.
点A(－1,4)到直线BC的距离d＝＝2.
又|BC|＝＝4，
所以S△ABC＝·|BC|·d＝×4×2＝8.
18．(12分)过原点O的圆C，与x轴相交于点A(4,0)，与y轴相交于点B(0,2)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点B的直线l与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式．
解 (1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
分别代入原点和A(4,0)，B(0,2)，得
解得
则圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)由(1)得圆心C(2,1)，半径r＝，
由于直线l过点B与圆C相切，
设直线l：y＝kx＋2，
由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d＝r，
即有＝，解得k＝2，
故直线l：y＝2x＋2，即2x－y＋2＝0.
19．(12分)已知过抛物线y2＝8x的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求线段AB的长度；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
解 (1)直线AB的方程是y＝2(x－2)，与y2＝8x联立
，消去y得x2－5x＋4＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝5，
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9.
(2)由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，
从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)
＝(4λ＋1,4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
20．(12分)已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m.
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
解 (1)由消去y，并整理得
9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．
因为直线l与椭圆有公共点，
所以Δ≥0，据此可解得－3≤m≤3.
故所求实数m的取值范围为[－3，3]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得，x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝·
＝·
＝·，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.
21．(12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解 (1)由方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，
得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
∵方程表示圆，∴5－m>0，即m<5.
∴m的取值范围为(－∞，5)．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，
得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2.
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，
∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.①
由
得5y2－16y＋m＋8＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
代入①，得m＝.
(3)以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0，
∵x1＋x2＝8－2(y1＋y2)＝，y1＋y2＝，
∴所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0.
22．(12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，点P(2，)，Q(2，－)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
解 (1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，∴b＝2，
又＝，a2＝b2＋c2，
∴a＝4，c＝2，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)斜率为定值．理由如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵∠APQ＝∠BPQ，∴直线PA，PB的斜率互为相反数，
可设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，
直线PA的方程为y－＝k(x－2)，
联立
消去y，得(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，
∴x1＋2＝，
同理可得x2＋2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝，
∴kAB＝＝＝，
即直线AB的斜率为定值.
