章末检测试卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若a，b，c构成空间的一个基底，则( )
A．b＋c，b－c，a不共面
B．b＋c，b－c，2b不共面
C．b＋c，a，a＋b＋c不共面
D．a＋c，a－2c，3c不共面
答案 A
解析 ∵2b＝(b＋c)＋(b－c)，∴b＋c，b－c,2b共面，排除B；a＋b＋c＝(b＋c)＋a，∴b＋c，a，a＋b＋c共面，排除C；∵a＋c＝(a－2c)＋3c，∴a＋c，a－2c,3c共面，排除D.
2．设直线l的方向向量为u＝(－2,2，t)，平面α的法向量为v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于( )
A．4
B．－4
C．2
D．－2
答案 B
解析 由题意得，u∥v，∴＝，即t＝－4.
3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CC1D1D的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为( )
A.，－
B．－，－
C．－，
D.，
答案 A
解析 由题意知，＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－.
4．平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．不能确定
答案 C
解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直．
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
答案 C
解析 建系如图，设AB＝1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)．
所以＝(－1,0,1)，＝(0,1,1)，
所以cos〈，〉＝＝＝.
所以〈，〉＝60°，
即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.
6．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案 A
解析 取AC的中点E，连接BE，
则BE⊥AC，如图，建立空间直角坐标系Bxyz，
则A，D(0,0,1)，
则＝.
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE?平面ABC，
∴BE⊥平面AA1C1C，
∴＝为平面AA1C1C的一个法向量．
设AD与平面AA1C1C所成的角为α，
则sin
α＝|cos
〈，〉|＝.
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若棱长AB＝3，则点B到平面ACD1的距离为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题意，知B(3,3,0)，A(3,0,0)，C(0,3,0)，C1(0,3,3)，D1(0,0,3)．
∴＝(－3,3,0)，＝(－3,0,3)，＝(0,3,0)．
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，可得n＝(1,1,1)，
∴点B到平面ACD1的距离为＝.
8．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上的一点，当二面角P－EC－D的大小为时，AE等于( )
A．1
B.
C．2－
D．2－
答案 D
解析 设AE＝a(0≤a≤2)，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，
则＝(1，a，－1)，＝(0,2，－1)．
设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，
则m＝(2－a,1,2)，
易知平面DEC的一个法向量为＝(0,0,1)，
则|cos〈m，〉|＝＝，解得a＝2－或a＝2＋(舍去)，
所以AE＝2－.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题中错误的是( )
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0
B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
C．若，共线，则AB∥CD
D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
答案 BCD
解析 显然A正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|
－|b||，故B错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故C错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误．
10．已知直线l过点P(1,0，－1)，且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是( )
A．(1，－4,2)
B.
C.
D．(0，－1,1)
答案 ABC
解析 因为＝(0,2,4)，直线l平行于向量a，
若n是平面α的法向量，则必须满足
把各选项代入验证，只有选项D不满足，故选ABC.
11．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案 AB
解析 令n1＝(0，－1,3)，n2＝(2,2,4)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝，
令二面角的大小为θ，∴θ＝π－〈n1，n2〉或θ＝〈n1，n2〉，
∴这个二面角的余弦值为或－.
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．向量与的夹角为60°
答案 ABC
解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，所以＝(－1,0,0)，＝(－1，－1,0)，＝(－1,1,1)，＝(0，－1,1)，＝(－1，－1,0)，＝(1,0,1)，对于选项A，由＝知结论正确；对于选项B，由·＝0知结论正确；对于选项C，由·＝0，·＝0，且B1D1∩CB1＝B1，知结论正确；对于选项D，由cos〈，〉＝＝－，知结论不正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量a＝(2,3，－2)，b＝(2，－m，－1)，且a⊥b，则|b|＝________.
答案 3
解析 由a⊥b，得a·b＝0，
即2×2－3m＋2＝0，解得m＝2，
所以b＝(2，－2，－1)，
得|b|＝＝3.
14．已知点A(1,0,2)，B(3，－1,5)，C(2,4，－1)，D(7，－3，λ)．若A，B，D三点共线，则λ＝________.若A，B，C，D四点共面，则λ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
答案 11 11
解析 ＝(2，－1,3)，＝(1,4，－3)，＝(6，－3，λ－2)．
若A，B，D三点共线，
则＝＝，解得λ＝11.
若A，B，C，D四点共面，
则，，三向量共面，
∴存在m，n∈R，使＝m＋n，
∵(6，－3，λ－2)＝m(2，－1,3)＋n(1,4，－3)
＝(2m＋n，－m＋4n,3m－3n)
则解得
15．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝______________.
答案
解析 ∵⊥，∴·＝0，∴3＋5－2z＝0，∴z＝4.
∵＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，
∴即
解得故＝.
16.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60°时，线段PM的长度是________．
答案
解析 以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题意，知A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，
∴＝(－2,0,2)．
∵E是棱PB的中点，
∴点E的坐标为(1,1,1)．
设M(0,2－m，m)(0≤m≤2)，则＝(－1,1－m，m－1)，
∴|cos〈，〉|＝
＝＝，
解得m＝，
∴M，
∴PM＝＝＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直．
解 2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)
＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．
3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)
＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．
a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.
∵|a|＝＝5，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∵λa＋μb与z轴垂直，
∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa＋μb与z轴垂直．
18．(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，都垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
解 (1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴cos∠BAC＝＝＝，
又∵0°≤∠BAC≤180°，
∴∠BAC＝60°，∴S＝||||sin
60°＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，
由a⊥，得－2x－y＋3z＝0，
由a⊥，得x－3y＋2z＝0，
由|a|＝，得x2＋y2＋z2＝3，
∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
19．(12分)如图所示，已知几何体ABCD－A1B1C1D1是平行六面体．
(1)化简＋＋，并在图上标出结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N＝C1B，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
解 (1)取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，
则＋＋＝＋＋＝.
(2)＝＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＋，
所以α＝，β＝，γ＝.
20．(12分)如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解 (1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则D(0,0,0)，P(0,0,1)，
E，F，
所以＝，＝，＝，
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
所以
令x＝2，则y＝2，z＝3，
所以n＝(2,2,3)为平面PEF的一个法向量，
所以点D到平面PEF的距离为＝＝.
(2)由(1)，知A(1,0,0)，所以＝.
点A到平面PEF的距离为＝＝.
因为AC∥平面PEF，所以直线AC到平面PEF的距离为.
21．(12分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝，AB＝2AD.
(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE.
(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值．
(1)证明 在△ABD中，∠ABD＝，AB＝2AD，
由余弦定理，得BD＝AD，
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，
所以△ABD为直角三角形且∠ADB＝.
因为DE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以DE⊥BD.
又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.
因为BD?平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.
(2)解 由(1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝，BD＝AD，又由ED＝BD，
设AD＝1，则BD＝ED＝.
因为DE⊥平面ABCD，BD⊥AD，
所以以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(1,0,0)，C(－1，，0)，E(0,0，)，F(0，，)，
所以＝(－1,0，)，＝(－2，，0)．
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得n＝(，2,1)为平面AEC的一个法向量．
因为＝(－1，，)，
所以cos〈n，〉＝＝，
所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.
22．(12分)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
(1)求证：MN∥平面ABCD；
(2)求平面ACD1与平面ACB1所成角的正弦值；
(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为，求线段A1E的长．
(1)证明 如图，以A为原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0，0)，B(0,1,0)，C(2，0,0)，D(1，－2，0)，A1(0,0,2)，
B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，－2，2)，又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，
得M，N(1，－2,1)．
可得n＝(0,0,1)为平面ABCD的法向量，＝，由此可得·n＝0，又因为直线MN?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.
(2)解 ＝(1，－2,2)，＝(2,0,0)，设n1＝(x，y，z)为平面ACD1的法向量，则
即
不妨设z＝1，可得n1＝(0,1,1)．
又＝(0,1,2)，
设n2＝(x′，y′，z′)为平面ACB1的法向量，则
得不妨设z′＝1，可得n2＝(0，－2,1)．
因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，
于是sin〈n1，n2〉＝.
所以，平面ACD1与平面ACB1的夹角的正弦值为.
(3)解 依题意，可设＝λ，其中λ∈[0,1]，
则E(0，λ，2)，从而＝(－1，λ＋2,1)，又n＝(0,0,1)为平面ABCD的法向量，
由已知，得cos〈，n〉＝
＝＝，
整理得λ2＋4λ－3＝0，
又因为λ∈[0,1]，解得λ＝－2，
所以，线段A1E的长为－2.(共45张PPT)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.若a，b，c构成空间的一个基底，则
A.b＋c，b－c，a不共面
B.b＋c，b－c，2b不共面
C.b＋c，a，a＋b＋c不共面
D.a＋c，a－2c，3c不共面
√
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解析 ∵2b＝(b＋c)＋(b－c)，∴b＋c，b－c,2b共面，排除B；
a＋b＋c＝(b＋c)＋a，∴b＋c，a，a＋b＋c共面，排除C；
∵a＋c＝(a－2c)＋3c，∴a＋c，a－2c,3c共面，排除D.
2.设直线l的方向向量为u＝(－2,2，t)，平面α的法向量为v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于
A.4
B.－4
C.2
D.－2
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解析 由题意得，u∥v，
即t＝－4.
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4.平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是
A.平行
B.相交但不垂直
C.垂直
D.不能确定
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解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直.
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
√
解析 建系如图，设AB＝1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1).
即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.
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6.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为
√
解析 取AC的中点E，连接BE，
则BE⊥AC，如图，建立空间直角坐标系Bxyz，
∵平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE?平面ABC，
∴BE⊥平面AA1C1C，
设AD与平面AA1C1C所成的角为α，
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7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若棱长AB＝3，则点B到平面ACD1的距离为
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解析 以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题意，知B(3,3,0)，A(3,0,0)，C(0,3,0)，C1(0,3,3)，D1(0,0,3).
设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，
取x＝1，可得n＝(1,1,1)，
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8.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上的一点，当二面角P－EC－D的大小为
时，AE等于
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则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，
设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，
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令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，
则m＝(2－a,1,2)，
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9.下列命题中错误的是
√
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解析 显然A正确；
若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|
－|b||，故B错误；
只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D错误.
10.已知直线l过点P(1,0，－1)，且平行于向量a＝(2,1,1)，平面α过直线l与点M(1,2,3)，则平面α的法向量可能是
√
√
√
把各选项代入验证，只有选项D不满足，故选ABC.
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11.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为
√
√
解析 令n1＝(0，－1,3)，n2＝(2,2,4)，
令二面角的大小为θ，∴θ＝π－〈n1，n2〉或θ＝〈n1，n2〉，
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12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.向量
的夹角为60°
√
√
√
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解析 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，
则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量a＝(2,3，－2)，b＝(2，－m，－1)，且a⊥b，则|b|＝_____.
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解析 由a⊥b，得a·b＝0，
即2×2－3m＋2＝0，解得m＝2，
所以b＝(2，－2，－1)，
14.已知点A(1,0,2)，B(3，－1,5)，C(2,4，－1)，D(7，－3，λ).若A，B，D三点共线，则λ＝_____.若A，B，C，D四点共面，则λ＝_____.(本题第一空2分，第二空3分)
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若A，B，D三点共线，
若A，B，C，D四点共面，
∵(6，－3，λ－2)＝m(2，－1,3)＋n(1,4，－3)
＝(2m＋n，－m＋4n,3m－3n)
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16.如图所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM
所成的角为60°时，线段PM的长度是______.
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解析 以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题意，知A(2,0,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，
∵E是棱PB的中点，
∴点E的坐标为(1,1,1).
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四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa＋μb与z轴垂直.
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解 2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16).
3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28).
a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.
∵λa＋μb与z轴垂直，
∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，
∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa＋μb与z轴垂直.
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18.(12分)已知空间内三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5).
(1)求以向量
为一组邻边的平行四边形的面积S；
又∵0°≤∠BAC≤180°，
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解 设a＝(x，y，z)，
∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1).
19.(12分)如图所示，已知几何体ABCD－A1B1C1D1是平行六面体.
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解 取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，
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20.(12分)如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
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(1)求点D到平面PEF的距离；
解 以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则D(0,0,0)，P(0,0,1)，
设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)，
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令x＝2，则y＝2，z＝3，
所以n＝(2,2,3)为平面PEF的一个法向量，
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(2)求直线AC到平面PEF的距离.
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21.(12分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝
，AB＝2AD.
(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，
因为DE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以DE⊥BD.
又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.
因为BD?平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.
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(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.
因为DE⊥平面ABCD，BD⊥AD，
所以以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
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22.(12分)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝
，且点M和N分别为B1C和D1D的中点.
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(1)求证：MN∥平面ABCD；
证明 如图，以A为原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0，0)，B(0,1,0)，C(2，0,0)，D(1，－2，0)，A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1，－2，2)，
又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，
又因为直线MN?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.
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(2)求平面ACD1与平面ACB1所成角的正弦值；
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设n1＝(x，y，z)为平面ACD1的法向量，
不妨设z＝1，可得n1＝(0,1,1).
设n2＝(x′，y′，z′)为平面ACB1的法向量，
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不妨设z′＝1，可得n2＝(0，－2,1).
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(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为
，求线段A1E的长.
又n＝(0,0,1)为平面ABCD的法向量，
整理得λ2＋4λ－3＝0，
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