模块综合试卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若直线l的一个方向向量为a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量为b＝(1，1，－1)，则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l?α
D．A，C都有可能
答案 B
解析 ∵直线的一个方向向量为a＝(2，2，－2)，平面α的一个法向量为b＝(1，1，－1)，
则a＝2b，∴l⊥α，故选B.
2．若双曲线－＝1(a>0)的实轴长为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±2x
D．y＝±x
答案 D
解析 ∵2a＝2，∴a＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x.
故选D.
3．已知直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量，，下列关系中一定能表示l∥α的是( )
A．a＝
B．a＝k
C．a＝p＋λ
D．以上均不能
答案 D
解析 A，B，C中均能推出l∥α，或l?α，但不能确定一定能表示为l∥α.
4．已知两条直线l1：(m＋3)x＋4y＋3m－5＝0，l2：2x＋(m＋5)y－8＝0，l1∥l2，则直线l1的一个方向向量是( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为l1∥l2，所以＝≠(m≠－5)，
解得m＝－7或m＝－1(舍)，
所以直线l1为－4x＋4y－26＝0，即2x－2y＋13＝0，
则该直线的一个方向向量为(－1，－1).
故选B.
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝a，则异面直线AC1与CD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意A(a，0，0)，C(0，a，0)，C1(0，a，a)，D1(0，0，a)，所以＝(－a，a，a)，＝(0，－a，a)，设异面直线AC1与CD1所成角为θ，则cos
θ＝＝＝.
故选C.
6．若过点(1，－3)有两条直线与圆x2＋y2－x＋2y＋m＋1＝0相切，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－1)
B.(－4，＋∞)
C.
D.(－1，1)
答案 C
解析 因为x2＋y2－x＋2y＋m＋1＝0表示圆的方程，
所以(－1)2＋22－4(m＋1)>0，即m<，
又过点(1，－3)有两条直线与圆x2＋y2－x＋2y＋m＋1＝0相切，
所以点(1，－3)在圆x2＋y2－x＋2y＋m＋1＝0外，
因此12＋(－3)2－1＋2×(－3)＋m＋1>0，即m>－4；
综上，－47．如图，已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若＝6，＝，则此双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为2c＝|AB|＝6，所以c＝3.
因为＝|BC|＝，所以5a＝2b2.
又c2＝a2＋b2，所以9＝a2＋，解得a＝2或a＝－(舍去)．
故该双曲线的离心率e＝＝.
8．已知抛物线C：y2＝4x的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若＝3，则|QF|的值为( )
A.
B.
C．2
D．3
答案 A
解析 根据题意，如图，y2＝4x的焦点F(1,0)，准线l：x＝－1，
过点Q作准线l的垂线，并交准线l于点M，
＝3?＝3?＝，
由相似得，＝，因为|FN|＝2，
所以|MQ|＝，
又|MQ|＝|FQ|，所以|FQ|＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为( )
A．y2＝x
B．y2＝8x
C．y2＝－8x
D．x2＝－8y
答案 AD
解析 因为点P在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．
当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，
则(－2)2＝8p1，所以p1＝，
所以抛物线方程为y2＝x.
当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，
则42＝4p2，p2＝4，
所以抛物线方程为x2＝－8y.综上，y2＝x或x2＝－8y.
10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的值可以是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 AB
解析 ∵x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，
过P所作的圆的两条切线相互垂直，
∴P，圆心C，两切点构成正方形，
|PC|＝2，设P(x，y)，即(x－2)2＋y2＝8，
P在直线y＝k(x＋1)上，圆心距d＝≤2
，
计算得到－2≤k≤2.
11．已知双曲线C：x2－＝1，则( )
A．双曲线C的离心率等于半焦距的长
B．双曲线y2－＝1与双曲线C有相同的渐近线
C．双曲线C的一条准线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为
D．直线y＝kx＋b(k，b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2
答案 ACD
解析 双曲线x2－＝1的焦点在x轴上，且a＝1，b＝2，c＝，渐近线为y＝±2x，准线方程为x＝±＝±.
对于A选项，双曲线C的离心率为＝＝c，所以A选项正确．
对于B选项，双曲线y2－＝1的渐近线为y＝±x，与曲线C的渐近线不相同，故B选项错误．
对于C选项，双曲线C的一条准线方程为x＝代入x2＋y2＝1，解得y＝±，所以弦长为×2＝，所以C选项正确．
对于D选项，直线y＝kx＋b与双曲线C的公共点个数可能为0,1,2，故D选项正确．
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1和C1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A．A1C1∥平面CEF
B．B1D⊥平面CEF
C.＝＋－
D．点D与点B1到平面CEF的距离相等
答案 AC
解析 对A，因为E，F分别是A1D1和C1D1的中点，故EF∥A1C1，故A1C1∥平面CEF成立．
对B，建立如图空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1边长为2则＝(－2，－2，－2)，＝(0，1，－2).故·＝0－2＋4＝2≠0.故，不互相垂直．又CF?平面CEF.故B1D⊥平面CEF不成立．
对C，同B，空间直角坐标系有＝(1，－2，2)，＋－＝(2，0，0)＋(0，0，2)－(0，2，0)＝(1，－2，2).故＝＋－成立．
对D,
点D与点B1到平面CEF的距离相等，则点D与点B1中点O在平面CEF上．连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又点D与点B1中点O在A1ACC1上，故点O不在平面CEF上．故D不成立．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知向量m＝(1－λ，1，1)，n＝(2－λ，2，3)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.
答案 7
解析 向量m＝(1－λ，1，1)，n＝(2－λ，2，3)，
则m＋n＝(3－2λ，3，4)，m－n＝(－1，－1，－2)，
因为(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝0，代入可得(3－2λ，3，4)·(－1，－1，－2)＝0，
即2λ－3－3－8＝0，解得λ＝7.
14．已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为________．
答案
解析 以C为原点，CB，CD，CG所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)．
则C(0,0,0)，G(0,0,2)，E(4,2,0)，F(2,4,0)，
＝(4,2，－2)，＝(2,4，－2)，＝(0,0,2)，
设平面GEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则·n＝0，·n＝0，
即
取x＝1，则n＝(1,1,3)，
所以点C到平面GEF的距离为＝.
15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.
答案 2
解析 由e＝＝2，得c＝2a，b＝a，∴双曲线的渐近线为y＝±x.又抛物线的准线方程为x＝－，联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得A，B.在△AOB中，|AB|＝p，O到AB的距离为.∵S△AOB＝，∴·p·＝，p＝2.
16．已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－4)
2＋(y－3)2＝r2(r>0)外切，则r的值为________，若点A(x0，y0)在圆C1上，则x＋y－4x0的最大值为_____．(本题第一空2分，第二空3分)
答案 4 5
解析 由于两圆外切，所以＝r＋1，所以r＝4.
点A(x0，y0)在圆C1上，所以x＋y＝1，
所以x＋y－4x0＝1－4x0，因为－1≤x0≤1，
所以x＋y－4x0的最大值为5.
此时x0＝－1.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在平面直角坐标系xOy中，①已知点M(2,0)，N(5,0)，P(x，y)为曲线C上任一点，P到点M的距离和到点N的距离的比值为2；②圆C经过A(4,0)，B(6,2)，且圆心在直线x－y－6＝0上．从①②中任选一个条件．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线x＝ay＋4被曲线C截得弦长为2，求a的值．
解 (1)选择条件①
则＝2，即＝2，
所以＝4，整理得x2＋y2－12x＋32＝0，即(x－6)2＋y2＝4.
选择条件②，
A(4,0)，B(6,2)的中点为E(5,1)，kAB＝＝1，
所以AB的垂直平分线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0，
所以解得圆心C(6,0)．
r＝|CA|＝2，所以曲线C的方程为(x－6)2＋y2＝4.
(2)直线x＝ay＋4被曲线C截得弦长为2，圆心到直线的距离d＝＝.
由点到直线的距离公式＝，
解得a＝±.
18．(12分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解 (1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．
所以kCD＝－1.
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
所以直线CD的方程为x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
19．(12分)如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD，BE⊥DF.
(1)若M为EA的中点，求证：AC∥平面MDF；
(2)求平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小．
(1)证明 设EC与DF交于点N，连接MN，在矩形CDEF中，点N为EC的中点，
如图，
∵M为EA的中点，
∴MN∥AC，
又∵AC?平面MDF，MN?平面MDF，
∴AC∥平面MDF.
(2)解 ∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，DE?平面CDEF，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD，
以D为坐标原点，
其中DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图，
设DA＝a，DE＝b，B(a，a,0)，E(0,0，b)，C(0,2a,0)，
F(0,2a，b)，
可得＝(－a，－a，b)，＝(0,2a，b)，＝(－a，a,0)，
∵BE⊥DF，
∴·＝(－a，－a，b)·(0,2a，b)＝b2－2a2＝0，b＝a，
设平面EBC的法向量为m＝(x，y，z)，
由
可令x＝1得到m的一个解为m＝(1,1，)，
注意到平面EAD的法向量为n＝(0，1，0)，
而cos
〈m，n〉＝＝，
∴平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小为60°.
20．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆上，求直线l的斜率k.
解 (1)由题意可得
解得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，直线的斜率存在，设过M(0，2)的直线方程为y＝kx＋2，
联立消去y，整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
∵直线y＝kx＋2与椭圆有两个交点，
∴Δ＝(16k)2－4×12×(1＋4k2)＝16(4k2－3)>0，
解得k>或k<－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
∵以线段AB为直径的圆过坐标原点O，
∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
∴(kx1＋2)(kx2＋2)＋x1x2＝0，
∴(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，
∴(k2＋1)＋2k＋4＝0，
∴k2＝4，解得k＝±2满足条件，
故k＝±2.
21．(12分)如图，在三棱锥A－BCD中，BD⊥CD，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF，AE⊥平面BCD.
(1)求证：平面AEF⊥平面ACD；
(2)若BD＝CD＝AD＝2，E为BC的中点，求直线AF与平面ABD所成角的正弦值．
(1)证明 因为BD∥平面AEF，平面BCD∩平面AEF＝EF，BD?平面BCD，
所以BD∥EF，因为BD⊥CD，所以CD⊥EF.
又因为AE⊥平面BCD，CD?平面BCD，
所以CD⊥AE，而EF∩AE＝E，EF，AE?平面AEF，
所以CD⊥平面AEF，又CD?平面ACD，
所以平面AEF⊥平面ACD.
(2)解 设直线AF与平面ABD所成角为θ.
连接DE，在△BCD中，BD＝CD＝2，BE＝EC，
BD⊥CD，所以DE⊥BC，且BC＝2，DE＝，
又因为AE⊥平面BCD，DE?平面BCD，BC?平面BCD，
所以AE⊥DE，AE⊥BC.在Rt△ADE中，DE＝，AD＝2，所以AE＝.
如图，以点E为坐标原点，分别以EC，ED，EA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，)，
B(－，0,0)，D(0，，0)，C(，0,0)，
因为BD∥EF，E为BC的中点，
所以F为CD的中点，即F，
设平面ABD的法向量为m＝(x，y，z)，
＝(，0，)，＝(，，0)，
由即
整理得令z＝－1，得x＝1，y＝－1，
则m＝(1，－1，－1)．
因为＝，
设直线AF与平面ABD所成角为θ，
所以sin
θ＝＝，
故直线AF与平面ABD所成角的正弦值为.
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1，0)，过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点M(－4，0)，过F作直线l交椭圆于A，B两点，证明：∠FMA＝∠FMB.
(1)解 由题意得
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明 当l与x轴重合时，∠FMA＝∠FMB＝0°；
当l与x轴垂直时，直线MF恰好平分∠AMB，则∠FMA＝∠FMB；
当l与x轴不重合也不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0).
代入椭圆方程可得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
直线MA，MB的斜率之和为kAM＋kBM＝＋＝
＝
＝，
因为2·＋5＋8
＝＝0，
所以kAM＋kBM＝0.
故直线MA，MB的倾斜角互补，所以∠FMA＝∠FMB.
综上，∠FMA＝∠FMB.(共45张PPT)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.若点(
，2)在直线l：ax＋y＋1＝0上，则直线l的倾斜角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
√
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据此可得，直线l的倾斜角为60°.
√
解析 连接ON(图略)，在△OMN中，P是MN的中点，则由平行四边形法则得，
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3.已知直线经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量v＝(－3,2)，则直线l的方程是
A.－3x＋2y＋1＝0
B.3x－2y＋1＝0
C.2x＋3y－5＝0
D.2x－3y＋1＝0
√
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4.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且BE＝B1E，C1F＝
CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为
√
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解析 以C
为原点，CA
为x
轴，在平面ABC
中过C作AC
的垂线为y
轴，CC1为z
轴，建立空间直角坐标系，
∵在三棱柱ABC－A1B1C1
中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB＝4，AA1＝6，
设异面直线A1E与AF所成角为θ，
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5.经过原点并且与直线x＋y－2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是
A.(x－1)
2＋(y＋1)2＝2
B.(x＋1)
2＋(y－1)2＝2
C.(x－1)
2＋(y＋1)2＝4
D.(x＋1)
2＋(y－1)2＝4
√
解析 设圆心的坐标为(a，b)，
则a2＋b2＝r2，
①
(a－2)2＋b2＝r2，
②
③
由①②③组成方程组，解得a＝1，b＝－1，r2＝2，
故所求圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
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22
①
②
又c2＝a2＋b2，
③
由①②③解得a2＝2，b2＝18，c2＝20，
7.如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论错误的是
A.平面D1A1P⊥平面A1AP
B.∠APD1的取值范围是
C.三棱锥B1－D1PC的体积为定值
D.DC1⊥D1P
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解析 ∵D1A1⊥平面A1AP，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，A正确；
若P是A1B上靠近A1的一个四等分点，可证此时∠APD1为钝角，B错；
由于BP∥CD1，则BP∥平面B1D1C，因此P－B1D1C的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C正确；
D1P在平面CC1D1D上的射影是直线D1C，而D1C⊥DC1，因此DC1⊥D1P，D正确.故选B.
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√
解析 设抛物线的准线为l，如图所示，作AD⊥l于点D，作BC⊥l于点C，
由抛物线的定义可得，|BC|＝|BF|，|AD|＝|AF|，作BE⊥AD于点E，
1
2
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
√
√
√
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解析 由题意，可得焦点在x轴上，且c＝5；
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10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是
√
√
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解析 以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，
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显然△AA1D
为等边三角形，则∠AA1D＝60°.
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所以D不正确.
11.已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有
A.a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B.2ax1＋2by1＝a2＋b2
C.x1＋x2＝a
D.y1＋y2＝2b
√
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√
√
解析 由题意，由圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，
两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，
分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入可得，2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2，
两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，
所以选项A，B是正确的；
由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，
所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，
所以选项C是正确的，选项D是不正确的.
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12.已知△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，若圆锥曲线E以A，B为焦点，并经过顶点C，则圆锥曲线E的离心率可以是
√
√
√
解析 因为△ABC为等腰直角三角形，其顶点为A，B，C，圆锥曲线E以A，B为焦点，并经过顶点C，
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三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝______.
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14.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则向量a－b与a的夹角为___；若ka＋b与
2a－b互相垂直，则k的值是____.(本题第一空2分，第二空3分)
解析 因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，则a－b＝(2,1，－2)，
又因为向量夹角的取值范围是[0，π]，
因为ka＋b和2a－b垂直，
所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2ka2＋(2－k)a·b－b2＝0，
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解析 因为圆x2＋y2－2ax－2by＝0(a>0，b>0)关于直线x＋2y－2＝0对称，
所以圆心(a，b)在直线x＋2y－2＝0上，故有a＋2b－2＝0，即a＋2b＝2，
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16.如图，等边三角形OAB的边长为
，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上，则抛物线E的标准方程为________.
x2＝4y
故抛物线E的标准方程为x2＝4y.
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四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)如图，在△ABC中，A(5，－2)，B(7,4)，且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上.
(1)求点C的坐标；
解 由题意，设点C(x，y)，根据AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
所以点C的坐标是(－5，－4).
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(2)求△ABC的面积.
又由直线AB的方程为3x－y－17＝0，
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18.(12分)已知圆C经过点A(2，－1)和直线x＋y－1＝0相切，且圆心在直线y＝－2x上.
(1)求圆C的方程；
解 因为圆心在直线y＝－2x上，
设圆心为C(a，－2a)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2(r>0)，
又圆C与x＋y－1＝0相切，
因为圆C过点A(2，－1)，
解得a＝1，
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
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(2)若直线y＝2x－2与圆C交于A，B两点，求弦AB的长.
解 设AB的中点为D，圆心为C，连接CD，AC(图略)，
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19.(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是
AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝
AB.
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
证明 连接AC1，交A1C于点O，连接DO，
则O为AC1的中点，
因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，
又因为OD?平面A1CD，
BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
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(2)求直线A1E与平面A1CD所成角的余弦值.
所以AC⊥BC，又因为ABC－A1B1C1为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图，
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设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
解得y＝－x＝z，令x＝1，得平面A1CD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)，
设直线A1E与平面A1CD所成角为θ，
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(1)求椭圆C的方程；
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设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1).
解得k＝±1，经检验Δ>0，所以k＝±1.
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21.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，AB＝2AD＝2CD＝4，PC＝2a，E是PB的中点.
(1)求证：AC⊥平面PBC；
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证明 因为PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以AC⊥PC.
因为AB＝4，AD＝CD＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，
又BC∩PC＝C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
所以AC⊥平面PBC.
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(2)若二面角P－AC－E的余弦值为
，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
解 如图，过点C作CH∥AD，以CH，CD,
CP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(2，2，0)，B(2，－2，0).
设P(0，0，2a)(a>0)，
取m＝(1，－1，0)，
设n＝(x，y，z)为平面EAC的法向量，
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则n＝(a，－a，－2)，
则a＝2.
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
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22.(12分)已知抛物线C的顶点是原点O，对称轴是x轴，且过点(3，2
).
(1)求抛物线C的方程；
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解 根据题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)已知斜率为k的直线l交y轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥x轴，P关于点B的对称点为Q，判断点A，Q，O是否共线，并说明理由.
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解 点A，Q，O共线，理由如下：
得k2x2＋(2mk－4)x＋m2＝0，
(
)
由Δ＝(2mk－4)2－4m2k2＝16(1－mk)＝0，
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所以kOA＝kOQ＝2k，即点A，Q，O共线.
