(共14张PPT)
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1 已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB
∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，
反思感悟
本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角或夹角的补角即可．
二、利用线面垂直关系
解 过点B作BP垂直BB1交C1C于点P，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BP，AB⊥BB1，
以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz.
又BP⊥BB1，BB1∩AB＝B，
且BB1，AB?平面ABB1A1，所以BP⊥平面ABB1A1，
反思感悟
空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口．
三、利用面面垂直关系
例3 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．
解 取AE的中点M，连接BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，平面BAE∩平面AEC＝AE，BM?平面BAE，
所以BM⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x轴，
y轴，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
取y＝1，得m＝(0,1,1)，
所以平面ABE与平面BCD所成的锐二面角为45°.
反思感悟
本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐二面角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．
四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系
例4 已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h.
(1)求∠DEB的余弦值；
解 如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.
由AB＝2a，OV＝h，知B(a，a,0)，C(－a，a,0)，
(2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．
反思感悟
以正四棱锥底面中心为原点，高所在直线为z轴，便可建立空间直角坐标系．微专题1 空间直角坐标系的构建策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如．
一、利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1 已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．
解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0)．
所以cos〈，〉＝＝.
故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为.
反思感悟 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着手，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角或夹角的补角即可．
二、利用线面垂直关系
例2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．
解 过点B作BP垂直BB1交C1C于点P，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BP，AB⊥BB1，
以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz.
又BP⊥BB1，BB1∩AB＝B，
且BB1，AB?平面ABB1A1，所以BP⊥平面ABB1A1，
因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，
所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为
B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，
C1，E，A1(0,2，)，P.
反思感悟 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口．
三、利用面面垂直关系
例3 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连接BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．
解 取AE的中点M，连接BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，平面BAE∩平面AEC＝AE，BM?平面BAE，所以BM⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为坐标原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Mxyz，如图，
则B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，M(0,0,0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，
－)，＝(0，，0)，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
由
取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因平面ABE的一个法向量＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面ABE与平面BCD所成的锐二面角为45°.
反思感悟 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐二面角的大小．用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．
四、利用底面的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系
例4 已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h.
(1)求∠DEB的余弦值；
(2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．
解 (1)如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB.由AB＝2a，OV＝h，知B(a，a,0)，C(－a，a,0)，
D(－a，－a,0)，V(0,0，h)，
E.
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝＝.
即cos∠DEB＝.
(2)∵BE⊥VC，∴·＝0，即·(－a，a，－h)＝0，∴a2－－＝0，∴h＝a.
此时cos〈，〉＝＝－，
即cos∠DEB＝－.
反思感悟 以正四棱锥底面中心为原点，高所在直线为z轴，便可建立空间直角坐标系．
