(共14张PPT)
离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在近几年的高考中频繁出现.在求离心率的值或范围时常涉及平面几何、不等式、方程等知识，综合性强，且方法灵活.
一、由双曲线的渐近线求离心率
例1 已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为_________.
解析 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时，
若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；
若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示，
反思感悟
双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助
＝
进行互求.一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论.
二、利用焦点三角形求离心率
√
解析 如图，设PF1的中点为M，连接PF2.
因为O为F1F2的中点，
所以OM为△PF1F2的中位线.
所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
因为∠PF1F2＝30°，
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，
(2)如图，F1和F2分别是双曲线
＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.
解析 如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.
易知△AF1F2为直角三角形，
反思感悟
涉及到焦点三角形的题目一般都是利用圆锥曲线的定义，找a，b，c的关系，求解.
三、利用齐次方程求离心率
例3 已知双曲线E：
＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，
AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是_____.
2
|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，
即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，
两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，
解得e＝2(负值舍去).
反思感悟
求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得.但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得
的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解.
四、求离心率的取值范围
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
(2)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为坐标原点，焦点在x轴上，左、右焦点F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形.若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，求椭圆的离心率的取值范围.
解 设椭圆的半长轴长、半焦距分别为a1，c，双曲线的半实轴长、半焦距分别为a2，c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，
反思感悟
求圆锥曲线离心率的取值范围的常用方法
(1)通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离心率的取值范围.
(2)利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求得离心率的范围.微专题2 椭圆、双曲线的离心率
离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在近几年的高考中频繁出现．在求离心率的值或范围时常涉及平面几何、不等式、方程等知识，综合性强，且方法灵活．
一、由双曲线的渐近线求离心率
例1 已知双曲线两渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．
答案 2或
解析 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．
当双曲线的焦点在x轴上时，
若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；
若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示，
所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝，
即＝或.
又b2＝c2－a2，所以＝3或，
所以e2＝4或，所以e＝2或.
同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则有＝或，
所以＝或，亦可得到e＝或2.
综上可得，双曲线的离心率为2或.
反思感悟 双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助＝进行互求．一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况)，不能忘记分类讨论．
二、利用焦点三角形求离心率
例2 (1)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图，设PF1的中点为M，连接PF2.
因为O为F1F2的中点，
所以OM为△PF1F2的中位线．
所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.
因为∠PF1F2＝30°，
所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|.
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，
即a＝，
2c＝|F1F2|＝|PF2|，即c＝，
则e＝＝·＝.
(2)如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
答案 ＋1
解析 如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.
易知△AF1F2为直角三角形，
则|AF1|＝|F1F2|＝c，
|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，
从而双曲线的离心率e＝＝1＋.
反思感悟 涉及到焦点三角形的题目一般都是利用圆锥曲线的定义，找a，b，c的关系，求解．
三、利用齐次方程求离心率
例3 已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
答案 2
解析 如图，由题意知|AB|＝，
|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×＝3×2c，
即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，
两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，
解得e＝2(负值舍去)．
反思感悟 求圆锥曲线的离心率，就是求a和c的值或a和c的关系，然后根据离心率的定义求得．但在多数情况下，由于受到题目已知条件的限制，很难或不可能求出a和c的值，只能将条件整理成关于a和c的关系式，进而求得的值，其关键是善于利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．
四、求离心率的取值范围
例4 (1)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
答案
解析 设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，
将y2＝b2－x2代入上式，
解得x2＝＝.
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
(2)已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为坐标原点，焦点在x轴上，左、右焦点F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，求椭圆的离心率的取值范围．
解 设椭圆的半长轴长、半焦距分别为a1，c，双曲线的半实轴长、半焦距分别为a2，c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则?
由1<<2，知<<1，即<<2，
因此<＋1<3，即<<3，
所以<<.
故椭圆离心率的取值范围为.
反思感悟 求圆锥曲线离心率的取值范围的常用方法
(1)通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离心率的取值范围．
(2)利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求得离心率的范围．
