(共21张PPT)
直线与圆锥曲线的综合问题是圆锥曲线的难点问题，解决此类问题最大的思维难点是转化，用代数方法研究几何问题，即几何条件代数式，常见的题型有定点、定值、最值、范围等问题.
一、最值问题
例1 已知椭圆C：4x2＋y2＝1.
设直线y＝x＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程.
将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，
反思感悟
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
二、范围问题
例2 从椭圆
＝1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左
焦点F1，且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.
(1)求椭圆的离心率；
解 依题意知点F1的坐标为(－c,0)，
设点M的坐标为(－c，y)(y>0).
若点A的坐标为(－a,0)，则点B的坐标为(0，－b)，
①
②
(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求∠F1QF2的取值范围.
解 ①当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F1QF2＝0.
②当点Q与椭圆长轴的端点不重合时，
设|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，
故当点Q与椭圆长轴的端点不重合时，
当且仅当m＝n时，等号成立，
则m＋n＝2a，|F1F2|＝2c.
反思感悟
解决圆锥曲线中的范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
三、定点问题
例3 已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切.设动圆圆心P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
所以E的方程为x2＝8y.
(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且
＝－16，求证：直线AB恒过定点.
证明 易知直线AB的斜率存在，
设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2).
将直线AB的方程代入x2＝8y中，
得x2－8kx－8b＝0，
所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.
＝－8b＋b2＝－16?b＝4，
所以直线AB恒过定点(0,4).
反思感悟
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
四、定值问题
例4 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.
证明 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，∴AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程的解.
设C(xC，yC)，
∴直线BC的斜率为定值.
反思感悟
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)代数式为定值问题：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.
(2)点到直线的距离为定值问题：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.
(3)某线段长度为定值问题：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
五、探索性问题
例5 平面直角坐标系中，抛物线C：x2＝4y与直线l：y＝kx＋1交于M，N两点，在y轴上是否存在点P，使当k任意变化时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
解 假设存在点P(0，t)使得∠OPM＝∠OPN，
∵∠OPM＝∠OPN，
∴直线PM与PN的斜率互为相反数，
即kPM＋kPN＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
Δ＝16k2＋16>0，
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
＝2k＋(1－t)(－k)＝k(t＋1)＝0，
∵k是变化的，∴t＋1＝0，∴t＝－1，
∴存在点P(0，－1)满足条件.
反思感悟
解决探索性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取合适的方法解题.微专题3 圆锥曲线的综合问题
直线与圆锥曲线的综合问题是圆锥曲线的难点问题，解决此类问题最大的思维难点是转化，用代数方法研究几何问题，即几何条件代数式，常见的题型有定点、定值、最值、范围等问题．
一、最值问题
例1 已知椭圆C：4x2＋y2＝1.
设直线y＝x＋m与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．
解 可求得原点O到直线AB的距离d＝，
将y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，
消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
|AB|＝·
＝·＝，
Δ＝(2m)2－4×5(m2－1)＝20－16m2>0，
－所以S△AOB＝|AB|·d
＝×·
＝
≤·＝.
当且仅当－m2＝m2时，上式取“＝”．
此时m＝±∈.
所以△AOB面积的最大值为，
面积最大时直线方程为x－y±＝0.
反思感悟 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
二、范围问题
例2 从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设Q是椭圆上任一点，F2是椭圆的右焦点，求∠F1QF2的取值范围．
解 (1)依题意知点F1的坐标为(－c,0)，
设点M的坐标为(－c，y)(y>0)．
若点A的坐标为(－a,0)，则点B的坐标为(0，－b)，
则直线AB的斜率k＝.
则有＝，∴y＝.①
又∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.②
由①②得＝，∴＝，即椭圆的离心率为.
(2)①当点Q与椭圆长轴的端点重合时，∠F1QF2＝0.
②当点Q与椭圆长轴的端点不重合时，
设|QF1|＝m，|QF2|＝n，∠F1QF2＝θ，
则m＋n＝2a，|F1F2|＝2c.
在△F1QF2中，cos
θ＝
＝＝－1≥－1＝0.
故当点Q与椭圆长轴的端点不重合时，
当且仅当m＝n时，等号成立，
∴0≤cos
θ≤1，又∵θ∈(0，π)，∴θ∈.
综上，可知∠F1QF2的取值范围是.
反思感悟 解决圆锥曲线中的范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
三、定点问题
例3 已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且·＝－16，求证：直线AB恒过定点．
(1)解 设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1，x2＝8y.
所以E的方程为x2＝8y.
(2)证明 易知直线AB的斜率存在，
设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将直线AB的方程代入x2＝8y中，
得x2－8kx－8b＝0，
所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.
·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋
＝－8b＋b2＝－16?b＝4，
所以直线AB恒过定点(0,4)．
反思感悟 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
四、定值问题
例4 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
证明 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，∴AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程的解．
∴4·xB＝，即xB＝，
设C(xC，yC)，
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
∴直线BC的斜率为定值．
反思感悟 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)代数式为定值问题：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
(2)点到直线的距离为定值问题：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
(3)某线段长度为定值问题：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
五、探索性问题
例5 平面直角坐标系中，抛物线C：x2＝4y与直线l：y＝kx＋1交于M，N两点，在y轴上是否存在点P，使当k任意变化时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
解 假设存在点P(0，t)使得∠OPM＝∠OPN，
∵∠OPM＝∠OPN，
∴直线PM与PN的斜率互为相反数，
即kPM＋kPN＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由得x2－4kx－4＝0，
Δ＝16k2＋16>0，
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
kPM＋kPN＝＋
＝＋
＝2k＋(1－t)
＝2k＋(1－t)
＝2k＋(1－t)(－k)＝k(t＋1)＝0，
∵k是变化的，∴t＋1＝0，∴t＝－1，
∴存在点P(0，－1)满足条件．
反思感悟 解决探索性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取合适的方法解题．
