(共48张PPT)
1.理解实数与数轴上的点的对应关系，掌握数轴上两点间的距离公式，
掌握数轴向量加法的坐标运算.
2.理解并掌握平面内两点间的距离公式.
3.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 数轴上的基本公式
如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为
，记作
)，且B(x2).
1.向量
的坐标为
.
2.A，B两点之间的距离为|AB|＝|
|＝
.
3.A，B两点的中点坐标为x＝
.
x1
A(x1)
x2－x1
|x2－x1|
知识点二 平面直角坐标系中的基本公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2).
1.
＝
.
2.两点间的距离公式：|AB|＝|
|＝
.
3.中点坐标公式：若M(x，y)为AB的中点，则x＝
，y＝
.
(x2－x1，y2－y1)
知识点三 坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为
，然后通过
解决问题的方法称为坐标法.
代数问题
代数运算
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.数轴上任意一点都可以表示一个实数.( )
2.数轴上点A(a)一定在点B(－a)右侧.( )
3.点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.( )
4.点P(x1，y1)，关于点M(x0，y0)的对称点为P′(2x0－x1,2y0－y1).( )
√
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、数轴上的基本公式
例1 已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3.
解 ∵点A与原点O的距离为3，
∴点A的坐标为3或－3.
①当点A的坐标为3时，
∵A，B之间的距离为1，
∴点B的坐标为2或4.
②当点A的坐标为－3时，
∵A，B之间的距离为1，
∴点B的坐标为－4或－2.
(2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和.
解 所有满足条件的点B到原点O的距离之和为2＋4＋4＋2＝12.
反思感悟
(1)数轴上的向量的计算策略
①熟练掌握一些条件变换，如－MQ＝QM.
②通过条件变换合理分组，灵活地运用向量的运算法则进行计算.
③熟记公式并正确地理解数学符号的含义.
(2)一个实数的绝对值的几何意义是实数在数轴上的对应点到原点的距离.
跟踪训练1 已知数轴上两点A(a)，B(5).求：当a为何值时，
(1)两点间的距离为5；
解 数轴上两点A，B之间的距离为|AB|＝|a－5|.
根据题意得|a－5|＝5，解得a＝0或a＝10.
(2)两点间的距离大于5；
解 根据题意得|a－5|>5，
即a－5>5或a－5<－5，
解得a>10或a<0.
(3)两点间的距离小于3.
解 根据题意得|a－5|<3，即－3
解得2二、两点间的距离公式与中点坐标公式
例2 (1)若A(－5,6)，B(a，－2)两点的距离为10，则a＝_________.
1或－11
∴a＝1或－11.
(2)已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(－3,4)，求另外两顶点C，D的坐标.
解 设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点，
设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点，
故C点坐标为(－10,6)，D点坐标为(－11,1).
反思感悟
(1)两点间的距离公式应用的两种形式
①在求到某点的距离满足某些条件的点P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可.
②利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形.还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线.
(2)中点坐标公式应用的步骤
①认真审题，提炼题设中的条件.
②将条件转化为与中点有关的问题.
③利用中点坐标公式求解.
④转化为题目要求的结果.
特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，
y3)为顶点的△ABC的重心坐标为
.
跟踪训练2 (1)已知点A(－3,4)，点B(2，
)，试在x轴上找一点P，使得d(P，
A)＝d(P，B)，则d(P，A)＝_______.
解析 设P(x,0)，
(2)点M(4,3)关于点N(5，－3)的对称点的坐标为__________.
(6，－9)
解析 设所求点的坐标为(x，y)，
故所求对称点的坐标为(6，－9).
三、坐标法的应用
例3 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.
证明 如图所示，以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，直角边CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则C(0,0).
所以|OM|＝|BM|＝|MA|.
即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.
反思感悟
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论.
跟踪训练3 如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：|AE|＝|CD|.
证明 令△ABD的边长为a，△BCE的边长为b，
如图以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(－a,0)，C(b,0)，
∴|AE|＝|CD|，即证原等式成立.
3
随堂演练
PART
THREE
1.在数轴上有两点A，B，点A(－1)，|AB|＝6，那么AB的中点C的坐标为
A.2
B.－4
C.3或－3
D.2或－4
√
解析 设B(x1)，C(x0)，
∵|AB|＝|x1－(－1)|＝|x1＋1|＝6，
∴x1＝5或x1＝－7，
又C(x0)为A，B中点，
∴x0＝2或－4.
1
2
3
4
5
2.(多选)下列选项中，正确的是
A.数轴上的向量的坐标一定是一个实数
B.向量的坐标等于向量的长度
C.向量
的长度是一样的
D.如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等
1
2
3
4
5
√
√
√
解析 向量坐标的绝对值等于向量的长度，故B不正确.
3.点P(2，－1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为
A.(1,5)
B.(4,9)
C.(5,3)
D.(9,4)
√
解析 设点Q的坐标为(x，y)，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4.已知A(a,6)，B(－2，b)，C(2,3)，若点C平分线段AB，则a＋b等于
A.6
B.1
C.2
D.－2
√
解析 依题意知点C为AB的中点.
解得a＝6，b＝0，∴a＋b＝6.
1
2
3
4
5
5.已知△ABC的三个顶点的坐标为A(
，2)，B(0,1)，C(0，3)，则此三角形的形状是_____________.
等边三角形
所以|AB|＝|AC|＝|BC|.
所以△ABC为等边三角形.
1.知识清单：
(1)数轴上的基本公式.
(2)平面直角坐标系中的两点间距离公式和中点坐标公式.
(3)坐标法的应用.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：用坐标解决几何问题时，最后需还原到原几何问题.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
1
2
3
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15
16
1.在数轴上从点A(－2)引一线段到点B(1)，再同向延长同样的长度到点C，则点C的坐标为
A.13
B.0
C.4
D.－2
√
解析 如图所示，故C(4)为所求.
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2.若点P(x，y)到两点M(2,3)，N(4,5)的距离相等，则x＋y的值为
A.5
B.6
C.7
D.不确定
√
1
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3.若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为
√
解析 设M(x,0)(x>0)，
则由已知得x2＝52＋32＝34.
4.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于
√
解析 设A(a,0)，B(0，b)，
解得a＝4，b＝－2，
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5.(多选)数轴上一点P，若它到点A(－6)的距离是它到点B(－3)的距离的2倍.则点P的坐标为
A.P(0)
B.P(－3)
C.P(4)
D.P(－4)
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√
√
解析 设所求点P的坐标为x，
则|x－(－6)|＝2|x－(－3)|，
所以x＝0或x＝－4.
所以P(0)或P(－4).
6.(多选)已知△ABC的两个顶点A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则点C的坐标是
A.(－3，－7)
B.(－3，－5)
C.(3，－5)
D.(2，－7)
√
√
解析 设C(x，y)，显然AC，BC的中点不在同一条坐标轴上.
若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，
则有y＋7＝0，－2＋x＝0，即C(2，－7)；
若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，
则有3＋x＝0，5＋y＝0，即C(－3，－5).
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7.已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是_______.
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8.已知数轴上两点A(a)，B(5.5)，并且d(A，B)＝7.5，则a＝________；若
＝7.5，则a＝_____.
－2或13
－2
解析 ∵d(A，B)＝7.5，
∴|5.5－a|＝7.5，
解得a＝－2或a＝13.
解得a＝－2.
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9.已知四边形ABCD的顶点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3，0)，E，F分别为边AB，BC的中点，求CE，DE，AF，DF的长度.
解 设线段AB的中点为E(x，y)，
设线段BC的中点为F(m，n)，
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10.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0).
(1)判断△ABC的形状；
∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形.
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(2)求△ABC的面积.
解 由角A为直角，
综合运用
11.光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射之后经过点B(2,10)，则光线从点A到点B的距离为
√
解析 点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，
由光线反射的对称性可知，从点A到点B的光线距离就是线段AB′的长度.
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12.已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是
√
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√
∴|CA|＝|CB|＋|BA|＝8且A在C右侧，
∴D在A左侧，且|AD|＝2，
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14.等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长BC＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为______.
在Rt△ADB中，
拓广探究
15.已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 若点C在x轴上，设C(x,0)，由∠ACB＝90°，
得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
∴(－1－3)2＋(3－1)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋12，解得x＝0或x＝2.
若点C在y轴上，设C(0，y)，由|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
可得y＝0或y＝4.
∴所得点C共有3个.
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证明 如图所示，位于平面直角坐标系中的四边形OABC是边长为1的正方形.
由于0由平面几何知识，可知|PO|＋|PB|≥|OB|，|PA|＋|PC|≥|AC|，
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