(共35张PPT)
基础巩固
1.
对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下列三个命题：
①a∥b?
②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；
③a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
其中真命题的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
√
②显然错误；
③是正确的.
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解析 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
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设点O为坐标原点，
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4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD与平面A1C1D所成角的正弦值是
√
设正方体的棱长为2，则A1(2,0,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，B(2,2,2)，
且n＝(1,1,1)是平面A1C1D的一个法向量，
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5.(多选)已知直线l1的方向向量是a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2).若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是
A.－3
B.3
C.－1
D.1
√
√
由a·b＝4＋4y＋2x＝0，得x＝－2y－2.
当x＝4时，y＝－3，所以x＋y＝1.
当x＝－4时，y＝1，所以x＋y＝－3.
综上，x＋y＝－3或1.
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6.(多选)二面角α－l－β，其中α，β的法向量分别为n1＝(1,2，－1)，n2＝(－1,1，－1)，则二面角α－l－β的正切值为
√
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7.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角为______.
45°
解析 以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，C(0,1,0)，
∴异面直线EF和CD所成的角是45°.
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设平面DBM的法向量为n＝(x，y，z)，
所以n＝(2,0,1).
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9.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点.
(1)求证：CE∥平面C1E1F.
证明 以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z).
取n＝(1,2,1).
又因为CE?平面C1E1F，
所以CE∥平面C1E1F.
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(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.
证明 设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，
取m＝(－1,0,1).
因为m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，
所以平面C1E1F⊥平面CEF.
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10.如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为正方形，SD⊥平面ABCD，点E，F分别是AB，SC的中点.
(1)求证：EF∥平面SAD；
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证明 方法一 以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设AB＝2a，SD＝2b，
则D(0,0,0)，E(2a，a,0)，C(0,2a,0)，F(0，a，b)，
所以EF∥平面SAD.
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方法二 如图，取SD的中点G，连接GF，GA.
因为G，F分别是SD，SC的中点，
又四边形ABCD为正方形，且E是AB的中点，
于是AE∥GF，且AE＝GF，
所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG.
又EF?平面SAD，AG?平面SAD，
故EF∥平面SAD.
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(2)设SD＝2DA，求二面角A－EF－D的余弦值.
解 方法一 设DC＝2，则SD＝2DC＝4，D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,1,0)，F(0,1,2)，
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
令x＝1，得n＝(1，－2,1).
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同理可得平面AEF的一个法向量为m＝(1,0,1)，
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方法二 如图，分别取AG，EF的中点M，N，
连接DM，MN，DN.
由SD＝2DA＝2DG，得DA＝DG.
又M是AG的中点，所以DM⊥AG.
又SD⊥平面ABCD，所以SD⊥AB，
由四边形ABCD为正方形，可得AB⊥AD.
而SD∩AD＝D，SD，AD?平面SAD，所以AB⊥平面SAD.
又M，N分别为AG，EF的中点，
则MN∥AB，所以MN⊥平面SAD.
又AG?平面SAD，所以MN⊥AG.
由于DM∩MN＝M，DM，MN?平面MND，
所以AG⊥平面MND.
又由(1)，知EF∥AG，故EF⊥平面MND，
因此∠MND是二面角A－EF－D的平面角.
又MN⊥平面SAD，DM?平面SAD，得MN⊥DM，
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11.把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
综合运用
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∴∠EOF＝120°.
12.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝
BB1，则AB1与C1B所成角的大小为
A.60°
B.75°
C.105°
D.90°
√
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，
即AB1与C1B所成角的大小为90°.
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13.把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A－BD－C后，若AB＝1，AD＝
，
AC＝
，则平面ABD与平面BCD所成角的大小为
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
√
解析 过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F(图略)，
所以平面ABD与平面BCD所成角为60°.
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14.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝
，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与
平面PCO所成角的正弦值是________.
解析 如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系.
设平面PCO的法向量为n＝(x，y，z)，
取n＝(2,1,0).
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拓广探究
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根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，
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16.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝
，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.
(1)求证：AD⊥平面BFED.
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∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE?平面BFED，DE⊥DB，
∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，DE，BD?平面BFED，
∴AD⊥平面BFED.
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(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成角为θ，试求θ的最小值.
解 由(1)可建立以点D为坐标原点，分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示.
设n1＝(x，y，z)为平面PAB的一个法向量，
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∵n2＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，
又∵θ为锐角，
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16再练一课(范围：1.2.1～1.2.4)
1.
对于任意空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下列三个命题：
①a∥b?＝＝；
②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量；
③a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案 B
解析 由＝＝?a∥b，反之不一定成立，故①不正确；②显然错误；③是正确的．
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(1,1，)，D1(0,0，)，
所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，
所以cos〈，〉＝＝＝.
3．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则C的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 因为C为线段AB上一点，所以＝t，
又因为||＝||，所以t＝，
设点O为坐标原点，
所以＝＋t＝(4,1,3)＋(－2，－6，－2)＝.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD与平面A1C1D所成角的正弦值是( )
A.
B.
C.
D．1
答案 B
解析 以D1为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)．
设正方体的棱长为2，则A1(2,0,0)，C1(0,2,0)，D(0,0,2)，B(2,2,2)，
且n＝(1,1,1)是平面A1C1D的一个法向量，
因为＝(2,2,0)，
所以cos〈n，〉＝＝＝.
设DB与平面A1C1D所成的角为θ，则sin
θ＝cos〈n，〉＝.
5．(多选)已知直线l1的方向向量是a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)．若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是( )
A．－3
B．3
C．－1
D．1
答案 AD
解析 由题意知|a|＝＝6，解得x＝±4，
由a·b＝4＋4y＋2x＝0，得x＝－2y－2.
当x＝4时，y＝－3，所以x＋y＝1.
当x＝－4时，y＝1，所以x＋y＝－3.
综上，x＋y＝－3或1.
6．(多选)二面角α－l－β，其中α，β的法向量分别为n1＝(1,2，－1)，n2＝(－1,1，－1)，则二面角α－l－β的正切值为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案 CD
解析 cos〈n1，n2〉＝＝＝＝.
令二面角α－l－β的大小为θ，则cos
θ＝±，
∴sin
θ＝＝，
∴tan
θ＝±＝±.
7.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角为________．
答案 45°
解析 以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，C(0,1,0)，
E，F，
＝，＝(0,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴〈，〉＝135°，
∴异面直线EF和CD所成的角是45°.
8.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面ABCD.设点M满足＝λ(λ>0)，当λ＝时，直线PA与平面BDM所成角的正弦值是________．
答案
解析 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则＝(4,0，－4)，＝(0,6,0)，＝(－4,3,0)．
当λ＝时，得M，
所以＝.
设平面DBM的法向量为n＝(x，y，z)，
则解得y＝0，令x＝2，则z＝1，
所以n＝(2,0,1)．
因为cos〈，n〉＝＝＝，
所以直线PA与平面BDM所成角的正弦值为.
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．
(1)求证：CE∥平面C1E1F.
(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.
证明 以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.
(1)设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．
因为＝，＝(－1，0,1)，
所以即
取n＝(1,2,1)．
因为＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，
所以⊥n.
又因为CE?平面C1E1F，
所以CE∥平面C1E1F.
(2)设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)，
由＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，
所以即
取m＝(－1,0,1)．
因为m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0，
所以平面C1E1F⊥平面CEF.
10.如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为正方形，SD⊥平面ABCD，点E，F分别是AB，SC的中点．
(1)求证：EF∥平面SAD；
(2)设SD＝2DA，求二面角A－EF－D的余弦值．
方法一 以D为坐标原点，DA，DC，DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
(1)证明 设AB＝2a，SD＝2b，
则D(0,0,0)，E(2a，a,0)，C(0,2a,0)，F(0，a，b)，
故＝(－2a,0，b)，＝(0,2a,0)，
于是·＝(－2a,0，b)·(0,2a,0)＝0，
则⊥.
又易知是平面SAD的一个法向量，且EF?平面SAD，
所以EF∥平面SAD.
(2)解 设DC＝2，则SD＝2DC＝4，D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,1,0)，F(0,1,2)，
故＝(2,1,0)，＝(0,1,2)，＝(0,1,0)，
＝(－2,0,2)．
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令x＝1，得n＝(1，－2,1)．
同理可得平面AEF的一个法向量为m＝(1,0,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝，
故二面角A－EF－D的余弦值为.
方法二 (1)证明 如图，取SD的中点G，连接GF，GA.
因为G，F分别是SD，SC的中点，
所以GF∥DC，且GF＝DC.
又四边形ABCD为正方形，且E是AB的中点，
所以AE∥DC，且AE＝DC.
于是AE∥GF，且AE＝GF，
所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG.
又EF?平面SAD，AG?平面SAD，
故EF∥平面SAD.
(2)解 如图，分别取AG，EF的中点M，N，连接DM，MN，DN.
由SD＝2DA＝2DG，得DA＝DG.
又M是AG的中点，所以DM⊥AG.
又SD⊥平面ABCD，所以SD⊥AB，
由四边形ABCD为正方形，可得AB⊥AD.
而SD∩AD＝D，SD，AD?平面SAD，所以AB⊥平面SAD.
又M，N分别为AG，EF的中点，
则MN∥AB，所以MN⊥平面SAD.
又AG?平面SAD，所以MN⊥AG.
由于DM∩MN＝M，DM，MN?平面MND，所以AG⊥平面MND.
又由(1)，知EF∥AG，故EF⊥平面MND，
因此∠MND是二面角A－EF－D的平面角．
设DA＝2，则DG＝2，DM＝，MN＝AB＝1.
又MN⊥平面SAD，DM?平面SAD，得MN⊥DM，
所以DN＝，
从而cos∠MND＝＝，
故二面角A－EF－D的余弦值为.
11．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案 C
解析 ＝(＋)，＝(＋)，
∴·＝(·＋·＋·＋·)＝－||2.
又||＝||＝||，
∴cos〈，〉＝＝－.
∴∠EOF＝120°.
12．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60°
B．75°
C．105°
D．90°
答案 D
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，
则A(0,0,1)，B1，
C1(0，，0)，B.
∴＝，
＝，
∴·＝－－1＝0，
即AB1与C1B所成角的大小为90°.
13．把矩形ABCD沿对角线BD折成二面角A－BD－C后，若AB＝1，AD＝，AC＝，则平面ABD与平面BCD所成角的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
答案 C
解析 过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F(图略)，
则AE＝CF＝，EF＝1，
所以＝＋＋，
所以()2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·，
即＝＋1＋＋2·，
所以cos〈，〉＝－，
所以平面ABD与平面BCD所成角为60°.
14.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．
答案
解析 如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系．
则B(1,2,0)，C(－1,2,0)，P(0,0,2)，M.
∴＝.
设平面PCO的法向量为n＝(x，y，z)，
则
∴
取n＝(2,1,0)．
因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值是
|cos〈，n〉|＝＝.
15.如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D－AB－F为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos
θ＝，则等于( )
A．1
B.
C.
D.
答案 C
解析 不妨设BC＝1，AB＝λ(λ>0)，则＝λ.
记＝a，＝b，＝c，
则＝b－a，＝c－b，
根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，
∴·＝－b2＝－λ2，
而||＝，||＝，
∴|cos〈，〉|＝
＝＝，
解得λ＝.
16.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.
(1)求证：AD⊥平面BFED.
(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成角为θ，试求θ的最小值．
(1)证明 在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝，
∴AB＝2，∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos?＝3.
∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE?平面BFED，DE⊥DB，
∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，DE，BD?平面BFED，
∴AD⊥平面BFED.
(2)解 由(1)可建立以点D为坐标原点，分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
令EP＝λ(0≤λ≤)，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)，
∴＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1)．
设n1＝(x，y，z)为平面PAB的一个法向量，
由得
取y＝1，得n1＝(，1，－λ)，
∵n2＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，
∴cos
θ＝＝
＝
.
∵0≤λ≤，
∴当λ＝时，cos
θ有最大值，
又∵θ为锐角，
∴θ的最小值为.
