第2课时 直线的方向向量与法向量
学习目标 1.理解直线的方向向量、法向量的概念.2.会求直线的方向向量和法向量.3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用．
知识点一 直线的方向向量
定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.
(1)a＝(1,0)表示所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量．
b＝(0,1)表示所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量．
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线．
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量．
(4)如果直线l的倾斜角为θ，则a＝(cos
θ，sin
θ)为直线l的一个方向向量．
如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量．
(5)如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则
当u＝0时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
当u≠0时，直线的斜率存在，且k＝tan
θ＝.
知识点二 直线的法向量
定义：一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.
(1)一条直线的方向向量与法向量互相垂直．
(2)当x0，y0不全为0时，若a＝(x0，y0)为直线l的方向向量，则v＝(y0，－x0)为直线l的法向量；若v＝(x0，y0)为直线l的法向量，则a＝(y0，－x0)为直线l的方向向量．
1．一条直线有无数个方向向量．( √ )
2．一条直线的所有方向向量都共线．( √ )
3．如果a为直线l的法向量，则λa(λ≠0)也是直线l的法向量．( √ )
4．直线l的一个方向向量为a＝(2，－1)，则v＝(2,1)为直线l的一个法向量．( × )
一、直线的方向向量
例1 (1)直线l过点P(1，－3)，Q(4，－3)，求直线l的一个方向向量、斜率和倾斜角．
解 方法一 ＝(4，－3)－(1，－3)＝(3，)．
∴＝(3，)为直线l的一个方向向量，
∴k＝，∴tan
θ＝，θ＝30°.
故该直线的斜率为，倾斜角为30°.
方法二 kPQ＝＝，
∴tan
θ＝，∴θ＝30°.
直线l的一个方向向量a＝(1，k)＝.
(2)平面内点A(－1，－5)，B(2,1)，C(4,5)，证明：A，B，C三点共线．
解 方法一 kAB＝＝＝2，
kAC＝＝＝2.
∵kAB＝kAC，∴A，B，C三点共线．
方法二 ＝(2,1)－(－1，－5)＝(3,6)，
＝(4,5)－(－1，－5)＝(5,10)＝.
∴∥，
又与有公共点A，
∴A，B，C三点共线．
反思感悟 直线的方向向量的求法
(1)在直线上任找两点P，Q，则()为直线l的一个方向向量．
(2)已知直线的斜率为k，则a＝(1，k)为直线的一个方向向量．
(3)a＝(t,0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量．
跟踪训练1 (1)直线l的倾斜角为150°，则该直线的斜率为________，一个方向向量为________．
答案 －
解析 ∵θ＝150°，∴k＝tan
150°＝－.
∴a＝为直线的一个方向向量．
(2)直线l过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l的方向向量为a＝(m，n)，则mn＝________.
答案 0
解析 依题意，直线l垂直于x轴，∴m＝0，n为任意非零实数，∴mn＝0.
二、直线的法向量
例2 (1)直线l过点A(－1,3)和B(3,2)，则直线l的法向量为( )
A．(－1,4)
B．(2,5)
C．(5，－2)
D．(－1，－4)
答案 D
解析 ＝(3,2)－(－1,3)＝(4，－1)为直线l的一个方向向量，
∴直线l的法向量v＝(－1，－4)．
(2)直线l的法向量为v＝(，－3)，则直线l的斜率为________，倾斜角为________．
答案 30°
解析 v＝(，－3)为直线l的法向量，
则a＝(－3，－)为直线l的方向向量．
∴k＝＝，
∴tan
θ＝，θ＝30°.
∴直线l的斜率为，倾斜角为30°
反思感悟 直线的法向量的求法
若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可．
跟踪训练2 直线PQ的斜率为－，则直线PQ的法向量所在直线的倾斜角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案 A
解析 kPQ＝－，∴PQ的倾斜角为120°，
又直线PQ的法向量与直线PQ垂直，
故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°.
三、直线的方向向量和法向量的应用
例3 (1)直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角的取值范围是________________．
答案 ∪
解析 ∵α≠＋kπ，k∈Z，∴cos
α≠0，sin
α≠±1.
令直线l的倾斜角为θ，
∴tan
θ＝＝sin
α.
∵sin
α∈(－1,1)，
∴tan
α∈(－，)，
∴又θ∈[0，π)，
故θ∈∪.
(2)直线l上两点A(－2,3)，B(4，m)，若直线l的法向量为v＝(2，－3)，则m＝________.
答案 7
解析 ＝(4，m)－(－2,3)＝(6，m－3)，
∴为直线l的一个方向向量．
∴⊥v，
∴6×2＋(－3)·(m－3)＝0，
∴m＝7.
反思感悟 直线的方向向量与法向量的关系
一条直线有无数个方向向量和无数个法向量，任意两个方向向量是共线的，任意两个法向量也是共线的，任意一个方向向量和任意一个法向量是相互垂直的．
跟踪训练3 已知a>0，b>0，且向量u＝(a,3)和v＝(1－b,2)都是直线l的法向量．求＋的最小值．
解 ∵u，v都是直线l的法向量，则u∥v，
∴2a－3(1－b)＝0，
即2a＋3b＝3，
∴(2a＋3b)＝1，且a>0，b>0.
∴＋＝·(2a＋3b)
＝＝＋2≥＋2×2＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．
∴当a＝b＝时，＋最小为.
1．直线过点(－3,0)，(－2，)，则该直线的一个方向向量为( )
A．(－1，)
B．(1，－)
C．(1，)
D．(5，)
答案 C
解析 直线的方向向量为a＝(－2，)－(－3,0)＝(1，)．
2．直线AB的方向向量a＝(3，－)，则该直线的倾斜角为( )
A．45°
B．60°
C．120°
D．150°
答案 D
解析 a＝(3，－)＝3，
∴k＝－，
∴tan
θ＝－，又0°≤θ＜180°，∴θ＝150°.
3．直线l1与l2的法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝(3，－1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为( )
A．k1>k2
B．k1＝k2
C．k1D．不确定
答案 C
解析 v1＝(2，－3)，则l1的方向向量a1＝(－3，－2)，
∴斜率k1＝＝.
v2＝(3，－1)，则l2的方向向量a2＝(－1，－3)，
∴斜率k2＝＝3，∴k2>k1.
4．已知直线的倾斜角为120°，一个方向向量为a＝(4，m)，则m的值为( )
A.
B．－4
C．4
D．－
答案 B
解析 θ＝120°，∴k＝tan
120°＝－.
∴直线的一个方向向量为a0＝(1，－)，
∵a∥a0，
∴1×m－4×(－)＝0，∴m＝－4.
5．已知向量m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，则m与n共线，则直线AB的斜率的取值范围是________________．
答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析 ∵m∥n，∴m＝(a，a2＋1)为直线AB的一个方向向量，
∴kAB＝＝a＋.
①当a>0时，a＋≥2，当且仅当a＝1时取等号，所以a＋∈[2，＋∞)．
②当a<0时，a＋＝－≤－2，当且仅当(－a)＝，即a＝－1时取等号，
所以a＋∈(－∞，－2]．
综上有k∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
1．知识清单：
(1)直线的方向向量．
(2)直线的法向量．
(3)直线的方向向量和法向量的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆．
1．直线AB的方向向量为a＝(－1,2)，则直线AB的斜率为( )
A.＋1
B.－1
C.
D.
答案 A
解析 a＝(－1,2)，
∴k＝＝＋1.
2．过点A(，3)，B(0，－2)的直线的一个法向量为( )
A．(－5，－)
B．(－，－5)
C．(－5，)
D．(5，)
答案 C
解析 ＝(0，－2)－(，3)＝(－，－5)为直线的一个方向向量，
所以该直线的一个法向量v＝(－5，)．
3．直线的倾斜角为120°，一个法向量为v＝(m，m＋1)，则m的值为( )
A．1－
B.＋1
C.
D．－
答案 D
解析 k＝tan
120°＝－，
∴直线的一个方向向量为a＝(1，－)．
∴a⊥v，又v＝(m，m＋1)，
∴m－(m＋1)＝0，
解得m＝－.
4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在的直线的方向向量为a＝(－，0)，则AC与AB所在直线的斜率之和为( )
A．－2
B．0
C.
D．2
答案 B
解析 a＝(－，0)，∴BC所在直线的斜率为0.
又△ABC为等边三角形，
∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°，
∴kAB＋kAC＝tan
60°＋tan
120°＝0.
5．(多选)已知直线l过点A(4,2)，B(－1,2＋)，则直线l的方向向量可以是( )
A．(－5，)
B．(5，－)
C．(，5)
D．(5，－3)
答案 ABD
解析 直线l的一个方向向量为＝(－1,2＋)－(4,2)＝(－5，)，
所以与共线的向量都能作为直线的方向向量，
故选ABD.
6．(多选)下列说法正确的是( )
A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为(0,1)
B．若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝
C．若直线的法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方向向量
D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的
答案 ACD
解析 由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，
选项B中当a＝0时，不成立，故选ACD.
7．直线l的一个法向量为u＝(3，－)，则直线l的倾斜角为________．
答案
解析 直线l的法向量为u＝(3，－)，
则直线l的一个方向向量a＝(－，－3)，
则斜率k＝＝.
∴tan
θ＝，且θ∈[0，π)，
故θ＝.
8．直线l过点A(2，a)，B(3,1)，C(b，－2)，则＋＝________；若直线l的一个方向向量为m＝(2，－3)，则
a＋b＝________.
答案 1
解析 ＝(1,1－a)，
＝(b－3，－3)，
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∴－3－(1－a)(b－3)＝0，
即(a－1)(b－3)－3＝0.
∴ab－3a－b＝0.
∴3a＋b＝ab，同除以ab得＋＝1，
若m＝(2，－3)为直线l的一个方向向量，
则m∥，m∥
∴
解得
∴a＋b＝.
9．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(2m－1,1)．
(1)当m为何值时，直线的倾斜角为锐角；
(2)若直线的方向向量为a＝(0，－2
020)，求m的值．
解 (1)倾斜角θ为锐角，则k＝tan
θ>0，
又k＝＝>0，
即(m＋2)(m－4)<0，
解得－2(2)直线的方向向量为a＝(0，－2
020)，
∴直线的斜率不存在．
故M，N两点的直线垂直于x轴．
∴m＋3＝2m－1，即m＝4.
10．已知菱形四边形ABCD中，点A(－1，－2)，B(2,1)，直线BC的方向向量为a＝(3,6)，BD的法向量为v＝(－2，－3)，求点C的坐标．
解 设点C的坐标为(x0，y0)，＝(x0－2，y0－1)．
∴∥a，∴(x0－2)×6－3(y0－1)＝0，
即2x0－y0－3＝0.①
又＝(x0＋1，y0＋2)，四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴为BD的一个法向量，
∴∥v，
－2(y0＋2)＋3(x0＋1)＝0，
即3x0－2y0－1＝0.②
由①②解得
∴点C的坐标为(5,7)．
11．已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P逆时针旋转120°，所得直线的一个方向向量为( )
A．(－，1)
B．(，－1)
C．(－1，)
D．(－，－3)
答案 D
解析 kPQ＝－，
∴PQ的倾斜角为120°.
绕点P逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，
∴k＝tan
60°＝.
∴所得直线的一个方向向量为a＝(1，)，
所以与a共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.
12．将直线l沿y轴负方向平移a(a>0)个单位长度，再沿x轴正方向平移(a＋1)个单位长度，得到直线l′，此时直线l′与l重合，若直线l的方向向量为a＝(2，－1)，则a的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
答案 B
解析 设直线l上一点为A(m，n)，
则平移后的坐标为A′(m＋a＋1，n－a)．
∵A与A′都在直线l上，
∴＝(m＋a＋1，n－a)－(m，n)＝(a＋1，－a)为直线l的一个方向向量．
∴∥a，
∴－2a＋(a＋1)＝0，∴a＝1.
13．直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，
∴方向向量a＝(a2＋1，－1)，
k＝＝－.
又∵a2＋1≥1，
∴0<≤1.
∴k∈[－1,0)，
∴tan
θ∈[－1,0)，且θ∈[0，π)，
∴θ∈.
14．已知点A(－3，－1)，B(1，a)，C(5，a2＋1)，若A，B，C不能构成一个三角形，则a的值为________．
答案 0或2
解析 ∵A，B，C不能构成一个三角形，
∴A，B，C三点共线．
＝(4，a＋1)，＝(8，a2＋2)，
∴∥，
4(a2＋2)－8(a＋1)＝0，
即a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当a＝0或a＝2时，A，B，C三点共线，不能构成三角形．
15．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，若直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，则直线l的斜率的取值范围为____________．
答案 [－3，－1]
解析 直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，
则k＝＝－·，
∵＝＝－2＋，
又∵2≤x≤3，∴≤≤4，
∴≤≤2，
∴－3≤－·≤－1，
即k∈[－3，－1]．
16．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图像上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.
证明 ∵A，B，C三点共线，
∴与共线，
＝(x2－x1，y2－y1)，＝(x3－x1，y3－y1)，
∴(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，
即(x2－x1)(x－x)－(x3－x1)(x－x)＝0.
∴(x2－x1)(x3－x1)(x＋x3x1＋x)－(x3－x1)(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＝0，
即(x2－x1)(x3－x1)[(x＋x3x1＋x)－(x＋x2x1＋x)]＝0，
即(x2－x1)(x3－x1)(x＋x3x1－x－x2x1)＝0.
又A，B，C三点不共点，∴x1≠x2，x1≠x3，x2≠x3，
∴x＋x3x1－x－x2x1＝0，
即(x3－x2)(x3＋x2)＋x1(x3－x2)＝0，
即(x3－x2)(x3＋x2＋x1)＝0，
∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0，
即证原等式成立．(共49张PPT)
1.理解直线的方向向量、法向量的概念.
2.会求直线的方向向量和法向量.
3.理解直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系并会简单应用.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 直线的方向向量
定义：一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l_____
，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作
.
(1)a＝
表示所有倾斜角为0°(即与y轴垂直)的直线的一个方向向量.
b＝
表示所有倾斜角为90°(即与x轴垂直)的直线的一个方向向量.
(2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量
都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定
.
(3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则
＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.
平行
或重合
a∥l
(1,0)
(0,1)
λa
共线
(4)如果直线l的倾斜角为θ，则a＝
为直线l的一个方向向量.
如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)为直线l的一个方向向量.
(5)如果a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则
当u＝0时，直线的斜率
，倾斜角为
；
当u≠0时，直线的斜率存在，且k＝tan
θ＝
.
(cos
θ，sin
θ)
不存在
90°
知识点二 直线的法向量
定义：一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l
，则称向量v为直线l的一个法向量，记作
.
(1)一条直线的方向向量与法向量
.
(2)当x0，y0不全为0时，若a＝(x0，y0)为直线l的方向向量，则v＝_________
为直线l的法向量；若v＝(x0，y0)为直线l的法向量，则a＝
为直线l的方向向量.
垂直
v⊥l
互相垂直
(y0，－x0)
(y0，－x0)
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.一条直线有无数个方向向量.( )
2.一条直线的所有方向向量都共线.( )
3.如果a为直线l的法向量，则λa(λ≠0)也是直线l的法向量.( )
4.直线l的一个方向向量为a＝(2，－1)，则v＝(2,1)为直线l的一个法向量.
( )
√
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
一、直线的方向向量
例1 (1)直线l过点P(1，－3)，Q(4，
－3)，求直线l的一个方向向量、斜率和倾斜角.
(2)平面内点A(－1，－5)，B(2,1)，C(4,5)，证明：A，B，C三点共线.
∵kAB＝kAC，∴A，B，C三点共线.
∴A，B，C三点共线.
反思感悟
直线的方向向量的求法
(1)在直线上任找两点P，Q，则
为直线l的一个方向向量.
(2)已知直线的斜率为k，则a＝(1，k)为直线的一个方向向量.
(3)a＝(t,0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量.
跟踪训练1 (1)直线l的倾斜角为150°，则该直线的斜率为______，一个方向
向量为___________.
(2)直线l过点(－1，－2)，(－1,2)且直线l的方向向量为a＝(m，n)，则mn＝___.
0
解析 依题意，直线l垂直于x轴，
∴m＝0，n为任意非零实数，
∴mn＝0.
二、直线的法向量
例2 (1)直线l过点A(－1,3)和B(3,2)，则直线l的法向量为
A.(－1,4)
B.(2,5)
C.(5，－2)
D.(－1，－4)
√
∴直线l的法向量v＝(－1，－4).
(2)直线l的法向量为v＝(
，－3)，则直线l的斜率为_____，倾斜角为_____.
30°
反思感悟
直线的法向量的求法
若直线的方向向量为a＝(x0，y0)，则直线的法向量v＝(y0，－x0)，即要求直线的法向量，只需先求直线的方向向量即可.
跟踪训练2 直线PQ的斜率为
，则直线PQ的法向量所在直线的倾斜角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
√
又直线PQ的法向量与直线PQ垂直，
故PQ的法向量所在直线的倾斜角为30°.
三、直线的方向向量和法向量的应用
令直线l的倾斜角为θ，
∵sin
α∈(－1,1)，
∴又θ∈[0，π)，
(2)直线l上两点A(－2,3)，B(4，m)，若直线l的法向量为v＝(2，－3)，则m＝_____.
7
∴6×2＋(－3)·(m－3)＝0，
∴m＝7.
反思感悟
直线的方向向量与法向量的关系
一条直线有无数个方向向量和无数个法向量，任意两个方向向量是共线的，任意两个法向量也是共线的，任意一个方向向量和任意一个法向量是相互垂直的.
跟踪训练3 已知a>0，b>0，且向量u＝(a,3)和v＝(1－b,2)都是直线l的法向量.求
的最小值.
解 ∵u，v都是直线l的法向量，则u∥v，
即2a＋3b＝3，
∴2a－3(1－b)＝0，
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
√
2.直线AB的方向向量a＝(3，－
)，则该直线的倾斜角为
A.45°
B.60°
C.120°
D.150°
1
2
3
4
5
√
3.直线l1与l2的法向量分别为v1＝(2，－3)，v2＝(3，－1)，则直线l1与l2的斜率k1，k2的大小关系为
A.k1>k2
B.k1＝k2
C.k1D.不确定
√
解析 v1＝(2，－3)，则l1的方向向量a1＝(－3，－2)，
v2＝(3，－1)，则l2的方向向量a2＝(－1，－3)，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4.已知直线的倾斜角为120°，一个方向向量为a＝(4，m)，则m的值为
√
∵a∥a0，
5.已知向量m＝(a，a2＋1)(a≠0)，直线AB的一个方向向量为n，则m与n共线，则直线AB的斜率的取值范围是_______________________.
(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析 ∵m∥n，∴m＝(a，a2＋1)为直线AB的一个方向向量，
综上有k∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)直线的方向向量.
(2)直线的法向量.
(3)直线的方向向量和法向量的应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：斜率不存在、斜率为0的直线的方向向量，法向量易混淆.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
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4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
√
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√
3.直线的倾斜角为120°，一个法向量为v＝(m，m＋1)，则m的值为
√
∴a⊥v，又v＝(m，m＋1)，
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√
又△ABC为等边三角形，
∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°，
∴kAB＋kAC＝tan
60°＋tan
120°＝0.
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√
√
√
故选ABD.
6.(多选)下列说法正确的是
A.若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为(0,1)
B.若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝
C.若直线的法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方向
向量
D.任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的
√
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√
√
解析 由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，
选项B中当a＝0时，不成立，故选ACD.
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7.直线l的一个法向量为u＝(3，－
)，则直线l的倾斜角为____.
8.直线l过点A(2，a)，B(3,1)，C(b，－2)，则
＝_____；若直线l的一个
方向向量为m＝(2，－3)，则a＋b＝_____.
1
∴－3－(1－a)(b－3)＝0，
即(a－1)(b－3)－3＝0.
∴ab－3a－b＝0.
若m＝(2，－3)为直线l的一个方向向量，
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9.已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(2m－1,1).
(1)当m为何值时，直线的倾斜角为锐角；
解 倾斜角θ为锐角，则k＝tan
θ>0，
即(m＋2)(m－4)<0，
解得－21
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(2)若直线的方向向量为a＝(0，－2
020)，求m的值.
解 直线的方向向量为a＝(0，－2
020)，
∴直线的斜率不存在.
故M，N两点的直线垂直于x轴.
∴m＋3＝2m－1，即m＝4.
10.已知菱形四边形ABCD中，点A(－1，－2)，B(2,1)，直线BC的方向向量为a＝(3,6)，BD的法向量为v＝(－2，－3)，求点C的坐标.
即2x0－y0－3＝0.
①
∴AC⊥BD，
－2(y0＋2)＋3(x0＋1)＝0，
即3x0－2y0－1＝0.
②
∴点C的坐标为(5,7).
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综合运用
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∴PQ的倾斜角为120°.
绕点P逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，
所以与a共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.
12.将直线l沿y轴负方向平移a(a>0)个单位长度，再沿x轴正方向平移(a＋1)个单位长度，得到直线l′，此时直线l′与l重合，若直线l的方向向量为a＝(2，－1)，则a的值为
A.
B.1
C.2
D.4
√
解析 设直线l上一点为A(m，n)，
则平移后的坐标为A′(m＋a＋1，n－a).
∵A与A′都在直线l上，
∴－2a＋(a＋1)＝0，∴a＝1.
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13.直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，则直线l的倾斜角的取值范围为
√
解析 直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，
∴方向向量a＝(a2＋1，－1)，
又∵a2＋1≥1，
∴k∈[－1,0)，
∴tan
θ∈[－1,0)，且θ∈[0，π)，
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14.已知点A(－3，－1)，B(1，a)，C(5，a2＋1)，若A，B，C不能构成一个三角形，则a的值为________.
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0或2
解析 ∵A，B，C不能构成一个三角形，
∴A，B，C三点共线.
4(a2＋2)－8(a＋1)＝0，
即a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当a＝0或a＝2时，A，B，C三点共线，不能构成三角形.
拓广探究
15.已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，若直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，则直线l的斜率的取值范围为____________.
[－3，－1]
解析 直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，
即k∈[－3，－1].
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16.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图像上任意三个不同的点.求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.
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证明 ∵A，B，C三点共线，
∴(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，
又A，B，C三点不共点，∴x1≠x2，x1≠x3，x2≠x3，
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即(x3－x2)(x3＋x2)＋x1(x3－x2)＝0，
即(x3－x2)(x3＋x2＋x1)＝0，
∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0，
即证原等式成立.(共49张PPT)
1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.
2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 直线的倾斜角
定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的
按
方向旋转到与直线重合时所转的
记为θ，则称θ为这条直线的
.
(1)倾斜角θ的取值范围是
.
(2)直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为
；直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为
.
(3)每一条直线都有
的倾斜角.
交点
逆时针
最小正角
倾斜角
0°~180°
0°
90°
唯一
思考 当直线的倾斜角为锐角时，直线一定经过哪些象限？当直线的倾斜角为钝角时，直线一定经过哪些象限？
答案 当直线的倾斜角为锐角时，直线一定经过一、三象限，当直线的倾斜角为钝角时，直线一定经过二、四象限.
知识点二 直线的斜率
1.定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝
为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率
.
2.两点的斜率公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的
斜率为k＝
，当x1＝x2时，直线l的斜率
；当y1＝y2时，直线l的斜率为
.
tan
θ
不存在
不存在
0
思考 每一条直线都有倾斜角和斜率吗？
答案 每一条直线都有唯一确定的倾斜角，但并不是所有直线都有斜率，垂直于x轴的直线，倾斜角为90°，斜率不存在，其它直线既有倾斜角，又有斜率.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
2.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大.( )
3.若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan
α.( )
4.任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )
×
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、直线的倾斜角
例1 (1)已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为
A.25°≤θ<155°
B.－25°≤θ<155°
C.0°≤θ<180°
D.25°≤θ<205°
√
解析 因为直线l的倾斜角为θ－25°，
所以0°≤θ－25°<180°，
所以25°≤θ<205°.
(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是
A.0°≤α<90°
B.90°≤α<180°
C.90°<α<180°
D.0°<α<180°
√
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
反思感悟
(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答.
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
跟踪训练1 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为
.
60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，
即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，
即直线l的倾斜角为120°.
二、直线的斜率
例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
即tan
α＝－1，又0°≤α<180°，
所以倾斜角α＝135°.
(3)P(－3,1)，Q(－3,10).
解 不存在.因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，
所以倾斜角α＝90°.
反思感悟
(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为
√
(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为
.
0
三、直线的倾斜角、斜率的应用
例3 (1)如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，则m＝
.
－6
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
(2)已知直线l的斜率为k，倾斜角为α，若45°<α<135°，则k的取值范围为
A.(－1,1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.[－1,1]
D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
√
解析 ∵k＝tan
α，45°<α<135°，
由正切函数图像知当45°<α<135°时，tan
α∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
∴k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
反思感悟
(1)斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因.
(2)由k＝tan
α可知直线的倾斜角与斜率，知一求一.由一个的范围，求另一个的范围时应画出正切函数的图像，注意倾斜角的范围.
跟踪训练3 已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角θ的取值范围是
A.0°≤θ≤45°
B.0°<θ<180°
C.0°≤θ≤45°或90°<θ<180°
D.0°≤θ≤45°或135°≤θ<180°
√
由正切函数y＝tan
x的图像知，
当tan
θ∈(－∞，1)时，0°≤θ≤45°或90°<θ<180°，
故选C.
核心素养之直观想象
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
数形结合法求倾斜角或斜率范围
典例 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，
)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.
解 如图所示.
设直线l的斜率为k，倾斜角为α，
∴45°≤α≤120°.
素养提升
(1)已知两点求斜率，由斜率公式k＝
(x1≠x2)求得；由倾斜角(范围)求斜率(范围)利用定义式k＝tan
α(α≠90°)解决.
(2)涉及直线与线段的交点问题常利用数形结合及公式求解，培养学生直观想象的数学核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1.(多选)给出下列四个选项，其中正确的是
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
√
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4
5
√
√
2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是
A.(4,2)与(－4,1)
B.(0,3)与(3,0)
C.(3，－1)与(2，－1)
D.(－2,2)与(－2,5)
1
2
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5
√
解析 D项，因为x1＝x2＝－2，
所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
3.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于
A.2
B.1
C.－1
D.－2
√
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为
，倾斜角为
.
150°
∴θ＝150°.
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5
5.已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围为
.
[0,2]
解析 如图所示，直线l过点A且不经过第四象限，
则直线l在l2与l1之间，
∴
≤kl≤
，
又
＝0，
＝2，∴0≤kl≤2.
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4
5
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角.
(2)直线的斜率以及两点的斜率公式.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：垂直于x轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°.
课堂小结
KE
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课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
√
∴θ＝30°.
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2.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为
A.－1
B.1
C.2
D.
√
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3.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
A.k1B.k3C.k3D.k1√
解析 由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的倾斜角大.
∴k14.直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是
A.0°≤α≤90°
B.90°≤α<180°
C.90°≤α<180°或α＝0°
D.90°≤α≤135°
√
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5.(多选)已知直线l的斜率的绝对值为
，则直线l的倾斜角为
A.60°
B.30°
C.120°
D.150°
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√
√
∴直线l的倾斜角为60°或120°.
故选AC.
6.(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为
A.(0,1)
B.(－1,0)
C.(3,0)
D.(0，－3)
√
√
解析 若设点P的坐标为P(x,0)，
∴x＝3，即P(3,0).
若设点P的坐标为P(0，y)，
∴y＝－3，即P(0，－3).故选CD.
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7.已知直线PQ的斜率为
，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是
.
解析 设直线PQ的倾斜角为θ，则0°≤θ<180°，
将直线绕点P顺时针旋转60°，
所得直线的倾斜角为60°，
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8.已知经过坐标平面内两点A(1,2)，B(－2,2m－1)的直线的倾斜角α满足45°<
α<60°，则实数m的取值范围为
.
又kAB＝tan
α且45°＜α＜60°，
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9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时，
(1)直线l与x轴平行？
解 当m＝1时，l与x轴平行.
(2)直线l与y轴平行？
解 当m＝－1时，l与y轴平行.
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(4)倾斜角为锐角？
即(m－1)(m＋1)<0，
解得－1证明 由于A，B，C三点共线，
所以此直线的斜率既可用A，C两点的坐标表示，
也可用B，C两点的坐标表示，
1
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综合运用
11.已知直线l1过点A(－1，－1)和B(1,1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率是
A.1
B.－1
C.2
D.不存在
√
∴l1的倾斜角为45°，
故l2的倾斜角为90°，
故l2的斜率不存在，故选D.
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13.已知直线l1的倾斜角为α(α≠0)，若直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为
，两直线l1与l2的斜率之和为
.
π－α
0
解析 如图，∵l1与l2关于x轴对称，
∴α＝β＝γ.
又θ＋α＋β＝π，
∴θ＋α＝π－β＝π－α.
故l2的倾斜角为π－α.
所以
＋
＝tan
α＋tan
(π－α)＝tan
α－tan
α＝0.
14.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为
.
(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析 ∵直线l与线段AB有公共点，
∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，
当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA.
∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).
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拓广探究
15.若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为
.
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(－∞，1)∪(1，＋∞)
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
故
表示曲线y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)上的点P(x，y)与点Q(－2，－3)连成直线的斜率kPQ.
画出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图像，如图所示.
所以kQA≤kPQ≤kQB.
由已知得A(1,1)，B(－1,5)，
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16§2.2 直线及其方程
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
第1课时 直线的倾斜角与斜率
学习目标 1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系．
知识点一 直线的倾斜角
定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(1)倾斜角θ的取值范围是0°~180°．
(2)直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°.
(3)每一条直线都有唯一的倾斜角．
思考 当直线的倾斜角为锐角时，直线一定经过哪些象限？当直线的倾斜角为钝角时，直线一定经过哪些象限？
答案 当直线的倾斜角为锐角时，直线一定经过一、三象限，当直线的倾斜角为钝角时，直线一定经过二、四象限．
知识点二 直线的斜率
1．定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan
θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在．
2．两点的斜率公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在；当y1＝y2时，直线l的斜率为0.
思考 每一条直线都有倾斜角和斜率吗？
答案 每一条直线都有唯一确定的倾斜角，但并不是所有直线都有斜率，垂直于x轴的直线，倾斜角为90°，斜率不存在，其它直线既有倾斜角，又有斜率．
1．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )
2．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大．( × )
3．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan
α.( × )
4．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．( × )
一、直线的倾斜角
例1 (1)已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为( )
A．25°≤θ<155°
B．－25°≤θ<155°
C．0°≤θ<180°
D．25°≤θ<205°
答案 D
解析 因为直线l的倾斜角为θ－25°，
所以0°≤θ－25°<180°，
所以25°≤θ<205°.
(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α<90°
B．90°≤α<180°
C．90°<α<180°
D．0°<α<180°
答案 C
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
反思感悟 (1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答．
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
跟踪训练1 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为
．
答案 60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
二、直线的斜率
例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
解 (1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan
α＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan
α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，所以倾斜角α＝90°.
反思感悟 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角α
0°
30°
45°
60°
120°
135°
150°
斜率k
0
1
－
－1
－
跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案 A
(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为
．
答案 0
三、直线的倾斜角、斜率的应用
例3 (1)如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，则m＝
.
答案 －6
解析 kAB＝＝，kAC＝＝，
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
即＝，∴m＝－6.
(2)已知直线l的斜率为k，倾斜角为α，若45°<α<135°，则k的取值范围为( )
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．[－1,1]
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
答案 B
解析 ∵k＝tan
α，45°<α<135°，
由正切函数图像知当45°<α<135°时，tan
α∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
∴k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
反思感悟 (1)斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．
(2)由k＝tan
α可知直线的倾斜角与斜率，知一求一．由一个的范围，求另一个的范围时应画出正切函数的图像，注意倾斜角的范围．
跟踪训练3 已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角θ的取值范围是( )
A．0°≤θ≤45°
B．0°<θ<180°
C．0°≤θ≤45°或90°<θ<180°
D．0°≤θ≤45°或135°≤θ<180°
答案 C
解析 kAB＝＝－m2＋1≤1，
由正切函数y＝tan
x的图像知，
当tan
θ∈(－∞，1)时，0°≤θ≤45°或90°<θ<180°，
故选C.
数形结合法求倾斜角或斜率范围
典例 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．
解 如图所示．
设直线l的斜率为k，倾斜角为α，
∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，
∴45°≤α≤120°.
[素养提升] (1)已知两点求斜率，由斜率公式k＝(x1≠x2)求得；由倾斜角(范围)求斜率(范围)利用定义式k＝tan
α(α≠90°)解决．
(2)涉及直线与线段的交点问题常利用数形结合及公式求解，培养学生直观想象的数学核心素养．
1．(多选)给出下列四个选项，其中正确的是( )
A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B．若k是直线的斜率，则k∈R
C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
答案 ABC
2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,2)与(－4,1)
B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1)
D．(－2,2)与(－2,5)
答案 D
解析 D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在．
3．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A．2
B．1
C．－1
D．－2
答案 A
解析 由tan
45°＝＝1，得m＝2.
4．已知直线l过点A(3－，6－)，B(3＋2，3－)，则直线l的斜率为
，倾斜角为
．
答案 － 150°
解析 kAB＝＝＝－，
设倾斜角为θ，又0°≤θ＜180°，且tan
θ＝－.
∴θ＝150°.
5．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围为
．
答案 [0,2]
解析 如图所示，直线l过点A且不经过第四象限，则直线l在l2与l1之间，∴≤kl≤，
又＝0，＝2，∴0≤kl≤2.
1．知识清单：
(1)直线的倾斜角．
(2)直线的斜率以及两点的斜率公式．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：垂直于x轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°.
1．已知点A(，1)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角是( )
A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
答案 B
解析 kAB＝＝，
∴tan
θ＝且0°≤θ＜180°，
∴θ＝30°.
2．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为( )
A．－1
B．1
C．2
D.
答案 D
解析 由＝2，得m＝.
3.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1B．k3C．k3D．k1答案 D
解析 由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的倾斜角大．∴k14．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α≤90°
B．90°≤α<180°
C．90°≤α<180°或α＝0°
D．90°≤α≤135°
答案 C
5．(多选)已知直线l的斜率的绝对值为，则直线l的倾斜角为( )
A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
答案 AC
解析 由题意知|tan
α|＝，即tan
α＝或tan
α＝－，
∴直线l的倾斜角为60°或120°.
故选AC.
6．(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为( )
A．(0,1)
B．(－1,0)
C．(3,0)
D．(0，－3)
答案 CD
解析 若设点P的坐标为P(x,0)，
则k＝＝tan
45°＝1，
∴x＝3，即P(3,0)．
若设点P的坐标为P(0，y)，
则k＝＝tan
45°＝1，
∴y＝－3，即P(0，－3)．故选CD.
7．已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是
．
答案
解析 设直线PQ的倾斜角为θ，则0°≤θ<180°，
∵kPQ＝－，
∴tan
θ＝－，则θ＝120°.
将直线绕点P顺时针旋转60°，
所得直线的倾斜角为60°，
∴其斜率为tan
60°＝.
8．已知经过坐标平面内两点A(1,2)，B(－2,2m－1)的直线的倾斜角α满足45°<α<60°，则实数m的取值范围为
．
答案
解析 kAB＝＝＝1－m，
又kAB＝tan
α且45°＜α＜60°，
∴1α<，即1<1－m<，
解得9．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时，
(1)直线l与x轴平行？
(2)直线l与y轴平行？
(3)直线l的斜率为？
(4)倾斜角为锐角？
解 (1)当m＝1时，l与x轴平行．
(2)当m＝－1时，l与y轴平行．
(3)kl＝＝，解得m＝.
(4)kl＝>0，即(m－1)(m＋1)<0，
解得－110．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：＋＝.
证明 由于A，B，C三点共线，
所以此直线的斜率既可用A，C两点的坐标表示，也可用B，C两点的坐标表示，于是＝，
由此可得a＋b＝ab，
两边同时除以ab，得＋＝.
11．已知直线l1过点A(－1，－1)和B(1,1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率是( )
A．1
B．－1
C．2
D．不存在
答案 D
解析 ＝＝1，
∴l1的倾斜角为45°，
故l2的倾斜角为90°，
故l2的斜率不存在，故选D.
12．若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )
A.
B.
C.∪
D.
答案 C
解析 ∵直线的斜率k∈(－∞，]，
∴k≤tan?，又α∈[0，π)，
∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪.故选C.
13．已知直线l1的倾斜角为α(α≠0)，若直线l2与l1关于x轴对称，则直线l2的倾斜角为
，两直线l1与l2的斜率之和为
．
答案 π－α 0
解析 如图，∵l1与l2关于x轴对称，
∴α＝β＝γ.
又θ＋α＋β＝π，
∴θ＋α＝π－β＝π－α.
故l2的倾斜角为π－α.
所以＋＝tan
α＋tan
(π－α)＝tan
α－tan
α＝0.
14．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为
．
答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析 ∵直线l与线段AB有公共点，
∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA.
∵kPA＝＝－1，kPB＝＝3，
∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
15．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为
．
答案 (－∞，1)∪(1，＋∞)
解析 kAB＝＝，kAC＝＝＝0.
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴≠0，∴k≠1.
16．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，求的最大值和最小值．
解 因为＝，
故表示曲线y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)上的点P(x，y)与点Q(－2，－3)连成直线的斜率kPQ.
画出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图像，如图所示．
所以kQA≤kPQ≤kQB.
由已知得A(1,1)，B(－1,5)，
所以kQA＝，kQB＝8.
所以≤kPQ≤8，
故的最大值为8，最小值为.
