(共49张PPT)
1.了解直线的方程、方程的直线的概念.
2.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.
3.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的
截距的含义.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 直线的方程与方程的直线
如果直线l上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称
为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F(x，y)＝0”，记作l：
.
F(x，y)＝0
F(x，y)＝0
知识点二 直线的点斜式方程
?
点斜式
已知条件
点P(x0，y0)和______
图示
?
方程形式
y－y0＝________
适用条件
斜率存在
斜率k
k(x－x0)
思考 经过点P0(x0，y0)且垂直于x轴的直线是否都能用点斜式方程来表示？如果不能表示，该直线的方程是什么？
答案 垂直于x轴的直线斜率不存在.斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线方程为x＝x0.
知识点三 直线的斜截式方程
1.直线的截距
当直线l既不是x轴也不是y轴时，若l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为
；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为
.一条直线在y轴上的截距简称为
.
a
b
截距
2.直线的斜截式方程
?
斜截式
已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
?
方程式
__________
适用条件
斜率存在
y＝kx＋b
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝
.( )
2.直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3).( )
3.直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.( )
4.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.( )
×
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、直线的点斜式方程
例1 (1)若直线l满足下列条件，求其直线方程.
①过点(－1,2)且斜率为3；
解 y－2＝3(x＋1)，即y＝3x＋5.
②过点(－1,2)且与x轴平行；
解 y＝2.
③过点(－1,2)且与x轴垂直；
解 x＝－1.
④已知点A(3,3)，B(－1,5)，过线段AB的中点且倾斜角为60°.
⑤过点(－1,2)且直线的方向向量为a＝(2，－1).
解 直线的方向向量为a＝(2，－1)，
(2)已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则
A.该直线过点(－1,2)，斜率为－1
B.该直线过点(－1,2)，斜率为1
C.该直线过点(－1，－2)，斜率为－1
D.该直线过点(－1，－2)，斜率为1
√
解析 原方程可化为y－(－2)＝(－1)[x－(－1)]，
即该直线斜率为－1，且过点(－1，－2)，
故选C.
反思感悟
(1)只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.
(2)当倾斜角为0°，即k＝0时，这时直线l与x轴平行或重合，直线l的方程是y＝y0.
(3)当倾斜角为90°时，直线无斜率，这时直线l与y轴平行或重合，直线l的方程是x＝x0.
跟踪训练1 (1)求满足下列条件的直线的点斜式方程：
①过点P(4，－2)，倾斜角为150°；
②过两点A(1,3)，B(2,5).
∴直线的点斜式方程为y－3＝2(x－1).
(2)直线方程y－y0＝k(x－x0)
A.可以表示任何直线
B.不能表示过原点的直线
C.不能表示与y轴垂直的直线
D.不能表示与x轴垂直的直线
√
解析 该直线方程为点斜式方程，斜率为k且一定存在，
故不能表示垂直于x轴的直线，故选D.
二、直线的斜截式方程
例2 (1)(多选)下列四个选项中，正确的是
A.任何一条直线在y轴上都有截距
B.直线在y轴的截距一定是正数
C.直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线
D.直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1
√
√
解析 平行于y轴的直线与y轴不相交，所以在y轴上没有截距，故A不正确.
直线在y轴上的截距即为直线与y轴交点的纵坐标，可正、可负、可为0，故B不正确.
直线的斜截式方程y＝kx＋b所表示的直线斜率要存在，且直线在y轴上的截距要存在，所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，故C正确.
直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1，故D正确.
(2)根据条件写出下列直线的斜截式方程.
①斜率为2，在y轴上的截距是5；
解 由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
②倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
解 ∵倾斜角α＝150°，
③倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 ∵直线的倾斜角为60°，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
反思感悟
(1)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解.
(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零.
跟踪训练2 (1)直线y＋2＝－2(x－3)化成斜截式方程为_____________，在y轴上的截距为_____.
y＝－2x＋4
4
解析 y＋2＝－2(x－3)可化为y＝－2x＋4，在y轴上的截距为4.
(2)已知直线l与直线l1：y＝2x＋6在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为_____________.
y＝－2x＋6
解析 l1：y＝2x＋6在y轴上的截距为6，斜率为2，
故直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为y＝－2x＋6.
3
随堂演练
PART
THREE
1.方程y＝k(x－2)表示
A.通过点(－2,0)的所有直线
B.通过点(2,0)的所有直线
C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
√
1
2
3
4
5
解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.
1
2
3
4
5
√
3.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
A.k>0，b>0
B.k>0，b<0
C.k<0，b>0
D.k<0，b<0
√
1
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3
4
5
解析 如图，∵直线经过第一、三、四象限，
∴k>0，b<0.
1
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3
4
5
4.直线y＝－2x＋3的斜率为____，在y轴上的截距为___，在x轴上的截距为____.
－2
3
解析 直线的斜率为k＝－2，在y轴上的截距为3，
5.已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，
则直线l的点斜式方程为_______________.
解析 由x－4y＋3＝0，
又直线l过点P(2,1)，
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)直线的方程与方程的直线.
(2)直线的点斜式方程.
(3)直线的斜截式方程.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：直线的点斜式方程、斜截式方程并不能表示所有直线.
课堂小结
KE
TANG
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课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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1.下面四个直线方程中，是直线的斜截式方程的是
A.x＝3
B.y＝3x－5
C.y－2＝3(x－1)
D.x＝4y－1
√
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3.直线y＝k(x－2)＋3必过定点，该定点为
A.(3,1)
B.(2,3)
C.(2，－3)
D.(－2,3)
√
解析 直线方程为y＝k(x－2)＋3，
可化为y－3＝k(x－2)，
所以过定点(2,3).
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√
√
√
解析 因为直线与y轴相交成30°角，
所以直线的倾斜角为60°或120°，
又因为在y轴上的截距为－6，
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6.(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为
A.y＝x＋3
B.y＝x－1
C.y＝－x＋3
D.y＝－x－1
√
√
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解析 由题意可知直线的斜率为±1，
当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；
当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3.
7.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝_____.
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解析 直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，
∴2m－1＝7，得m＝4.
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由题意知，l在y轴上的截距为±3，
9.求倾斜角为直线y＝
＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)经过点(－4,1)；
(2)在y轴上的截距为－10.
解 因为直线在y轴上的截距为－10，
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10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过定点A(－2,0)；
解 依题意直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝k(x＋2)
令x＝0，y＝2k，
令y＝0，x＝－2，
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令x＝0，y＝b，令y＝0，x＝－6b，
解得b＝±1.
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综合运用
11.一条直线过点(－2,3)且直线的一个法向量为v＝(2,3)，则该直线的方程为
√
解析 直线的一个法向量v＝(2,3)，
又直线过点(－2,3)，
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12.下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是
√
解析 ①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距为a>0，A，B，C，D都不成立；
②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；
③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距为a<0，只有C成立.
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13.已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，那么
A.kb<0
B.kb≤0
C.kb>0
D.kb≥0
√
解析 直线l不经过第三象限，
则k≤0且b>0，
即kb≤0.
∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，
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拓广探究
15.已知等边三角形ABC的两个顶点A(0,0)，B(3，
)，则AC边所在的直线
方程为__________________.
∴直线AB的倾斜角为30°，
故直线AC的倾斜角为90°或150°.
当AC的倾斜角为90°时，直线为y轴，方程为x＝0，
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(1)证明：直线l恒经过第一象限；
故直线l恒经过第一象限.
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(2)若直线l一定经过第二象限，求a的取值范围.
故只需l在y轴上的截距大于0即可，
故a的取值范围是(－∞，3).(共55张PPT)
1.掌握直线方程的两点式及截距式，并理解它们存在的条件.
2.会利用直线两点式和截距式求直线方程.
学习目标
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知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 直线的两点式方程
?
两点式
已知条件
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
图示
?
方程形式
______________
适用条件
斜率_____________
存在且不为0
思考 当x1＝x2或y1＝y2时，直线l的方程是什么？
答案 若x1＝x2，则直线垂直于x轴，方程为x＝x1，
若y1＝y2，则直线垂直于y轴，方程为y＝y1.
知识点二 直线的截距式方程
?
截距式
已知条件
直线在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0
图示
?
方程形式
_________
适用条件
直线的斜率
，不过_____
存在且不为0
原点
思考辨析
判断正误
SI
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BIAN
XI
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ZHENG
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1.不经过原点的直线都可以用方程
＝1表示.( )
2.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( )
3.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.( )
4.已知两点的坐标，只能两点式求直线方程.( )
×
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
一、直线的两点式方程
例1 (1)(多选)有关直线方程的两点式，下列说法正确的是
A.两点确定一条直线
B.直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程
D.过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)
√
√
√
√
解析 显然A正确；
由直线的两点式方程可知BC正确；
可转化为(y－y1)(x2－x1)＝(y2－y1)(x－x1).
当x1＝x2时，直线方程为x＝x1满足上式，
当y1＝y2时，直线方程为y＝y1满足上式，
故(y－y1)(x2－x1)＝(y2－y1)(x－x1)可表示经过P1，P2的直线，故D正确.
(2)在△ABC中，已知点A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2).
①求BC边的方程；
解 BC边过点B(5，－4)，C(0，－2)，
②求BC边上的中线所在直线的方程.
解 设BC的中点为M(a，b)，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
反思感悟
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足，即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可能先用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标.
√
解析 由两点式方程知直线过(－5,0)，(3，－3)，
(2)已知A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2).
①求线段AB中点D的坐标；
解 因为A(1,2)，B(－1,4)，
即D(0,3).
②求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程.
解 △ABC的边AB上的中线即线段CD，
因为C(5,2)，D(0,3).
二、直线的截距式方程
√
所以截距式方程不能表示过原点的直线和垂直于x，y轴的直线，所以A不正确；
选项B显然不正确；
直线y＝kx为斜截式方程，但该直线方程不能化为截距式，故C不正确，选项D显然正确.
(2)求过点A(5,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
解得a＝3.
方法二 由题意知，直线的斜率一定存在.
设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，
当x＝0时，y＝2－5k；
当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，
即y＝x－3.
延伸探究 在本例(2)中，把“截距互为相反数”改为“截距相等”，其它条件不变，求直线的方程.
解 ①当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等且都为0，直线方程为y＝
.
反思感悟
(1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.
(2)在选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直.
√
(2)已知线段BC的中点为
.若线段BC所在直线在两坐标轴上的截距
之和是9，则BC所在直线的方程为________________________.
解析 依题意知，直线BC在坐标轴上的截距存在，且都不为0，
整理得2a2－21a＋54＝0，
3
随堂演练
PART
THREE
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2
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5
√
1
2
3
4
5
2.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为
A.x＝2
B.y＝2
C.x＝3
D.x＝6
√
解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，
所以直线方程为y＝2，故选B.
3.经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为
1
2
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5
√
1
2
3
4
5
A.a>0，b>0
B.a>0，b<0
C.a<0，b>0
D.a<0，b<0
√
5.直线l过点(－2,3)，且在x，y轴上的截距相等，则直线l的方程为__________
_____________.
或y＝－x＋1
解得a＝1.
所以直线l的方程为x＋y＝1，即y＝－x＋1.
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1.知识清单：
(1)直线的两点式方程.
(2)直线的截距式方程.
2.方法归纳：公式法、待定系数法、分类讨论.
3.常见误区：直线过原点时，直线在坐标轴上的截距都为0,0与0既是相等、相反，也是倍数关系.
课堂小结
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课时对点练
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基础巩固
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2.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线方程为
A.y＝－2x＋8
B.y＝2x＋8
C.y＝－2x－12
D.y＝2x－12
√
解析 由中点坐标公式可得M(2,4)，N(3,2)，
即y＝－2x＋8.
3.若直线l过点(－1，－1)和
(2,5)，且点(1
010，b)在直线l上，则b的值为
A.2
021
B.2
020
C.2
019
D.2
018
√
即y＝2x＋1，代入点(1
010，b)，
得b＝2×1
010＋1＝2
021.
故选A.
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4.已知点A(3,0)，B(0,4)，P(m，n)是直线AB上一动点，则mn的最大值是
A.2
B.3
C.8
D.12
√
∴当n＝2时，(mn)最大＝3，故选B.
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5.(多选)下列说法不正确的是
A.过任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程都可以写成
B.直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线斜率为－1
C.若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0
D.若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1
√
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当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为1，故B错误；
设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为y＝x＋b.
令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝－b，于是b＋(－b)＝0，故C正确；
若直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误.
6.(多选)已知直线l：y＝－ax＋2＋a在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是
A.1
B.－1
C.－2
D.2
√
√
解析 直线在x，y轴上截距相等，设直线的斜率存在，
∴－a≠0，∴a≠0，
令x＝0，y＝2＋a，
解得a＝－2或a＝1.
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7.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________.
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y＝－3x＋6
解析 由题意知直线过点(2,0)，
整理得y＝－3x＋6.
8.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l
的方程为_________________________.
解析 设直线l在y轴上的截距为a(a≠0且a≠－1)，
则在x轴上的截距为a＋1，
即a2－3a＋2＝0，∴a＝2或a＝1，
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9.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
即y＝－x＋4.
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
解 由题意，得点D的坐标为(－4,2)，
即y＝2x＋10.
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10.已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7,3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.
(1)求顶点C的坐标；
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解 设M(0，m)，N(n,0)，
所以xC＝0－5＝－5，yC＝0－3＝－3，
所以点C的坐标为(－5，－3).
(2)求直线MN的方程.
因为2n＝xC＋xB＝－5＋7＝2，故n＝1.
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综合运用
11.直线l过点(1,2)且在y轴上的距离是在x轴上的截距的2倍，则直线l的方程为
A.y＝2x
B.y＝－2x＋4
C.y＝2x或y＝－2x＋4
D.y＝2x或y＝2x－2
√
∴直线l的方程为y＝2x.
即y＝－2x＋4.
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12.若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距都是负数，则
A.l的倾斜角为锐角且不过第二象限
B.l的倾斜角为钝角且不过第一象限
C.l的倾斜角为锐角且不过第四象限
D.l的倾斜角为钝角且不过第三象限
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解析 依题意知，直线l的截距式方程为
＝1(a>0，b>0)，显然直线
l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.
13.已知直线l过原点且平分?ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点分别为
B(1,4)，D(5,0)，则直线l的方程为________.
解析 直线l平分?ABCD的面积，
∴直线l过BD的中点(3,2)，
又直线l过点(0,0)，
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14.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为____________________.
y＝－x±6或y＝x±6
解析 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.
若l在两坐标轴上的截距相等，可设为a(a≠0)，
∴a＝±6，
∴直线方程为y＝－x±6.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a(a≠0)，
则纵截距为－a，
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∴a＝±6，
∴直线方程为y＝x±6.
综上所述，直线l的方程为y＝－x±6或y＝x±6.
拓广探究
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√
所以直线在x轴上的截距a<0，在y轴上的截距b>0.
结合a<0可得a<0
由绝对值的性质可知|a|>|b|，选项A错误；
因为b－a>0，b＋a<0，
所以(b－a)(b＋a)<0，选项C错误；
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16.已知直线l在x，y轴上的截距之和为4.
(1)若直线l的斜率为2，求实数m的值；
解 依题意直线在x，y轴上的截距都存在且不为0，
由直线方程可知，直线过点(m,0)，(0,4－m)，
解得m＝－4.
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(2)若直线l分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.
又A(m,0)，B(0,4－m)，
∴当m＝2时，(S△AOB)最大＝2，
即y＝－x＋2.
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16(共51张PPT)
1.理解直线的一般式方程的特点，以及与其它方程形式的区别与联系.
2.掌握直线的一般式方程与其它形式之间的相互转化，进一步掌握求
直线方程的方法.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 直线的一般式方程
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0)表示直线的方程.我们把Ax＋By＋C＝0称为直线的
.
①A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
②直线的一般式方程能表示所有的直线方程，在求直线方程时，最后结果一般都化成
.
一般式方程
一般式方程
③当A＝0时，y＝
表示一条与y轴
的直线.
当B＝0时，x＝
表示一条与x轴
的直线.
当B≠0时，y＝
，直线的斜率为
，截距为
.
④v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量.
垂直
垂直
知识点二 直线方程五种形式的比较
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式
点P1(x1，y1)和斜率k
______________
不垂直于x轴的直线
斜截式
斜率k和在y轴上的截距b
_________
不垂直于x轴的直线
两点式
点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)
________________
________
截距式
在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零
________
不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线
一般式
两个独立的条件
______________
A，B不全为零
y－y1＝k(x－x1)
y＝kx＋b
不垂直于x，y轴
的直线
Ax＋By＋C＝0
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.当A，B同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示一条直线.( )
2.任何直线的方程都能化成一般式方程.( )
3.任何一条直线的一般式方程都能与其它四种形式互化.( )
4.直线2x－3y＋1＝0的一个法向量为v＝(2，－3).( )
×
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、求直线的一般式方程
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是
，且经过点A(5,3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
解 由斜截式，得直线方程为y＝4x－2，
即4x－y－2＝0.
(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
即2x＋y－3＝0.
(4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
即x＋3y＋3＝0.
(5)经过点B(4,2)，且平行于x轴；
解 y－2＝0.
(6)经过点(2,1)，且一个法向量为v＝(2，－3).
解 ∵直线的一个法向量为v＝(2，－3)，
∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0，
代入点(2,1)得4－3＋C＝0，
解得C＝－1，
∴直线的方程为2x－3y－1＝0.
反思感悟
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.
跟踪训练1 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式：
(1)斜率是
，且经过点A(8，－6)；
(3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)；
(4)经过点(2，－3)，且一个方向向量为a＝(2,4).
解 方法一 ∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，
故所求直线方程为y＋3＝2(x－2)，
即2x－y－7＝0.
方法二 ∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，
∴直线的一个法向量为v＝(4，－2)，
故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0，代入点(2，－3)有8＋6＋C＝0，
解得C＝－14，
∴所求直线方程为4x－2y－14＝0，即2x－y－7＝0.
二、直线的一般式方程的应用
例2 (1)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为______.
6
解析 直线l的方程为3x＋4y－12＝0，
令x＝0得y＝3，
令y＝0得x＝4，
故令A(4,0)，B(0,3)，
(2)直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0(k∈R)，则该直线过定点________.
(－2,1)
解析 方法一 直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，
由直线的点斜式方程可知，直线过定点(－2,1).
方法二 直线l的方程可化为k(x＋2)－y＋1＝0，
则直线l过定点(－2,1).
反思感悟
直线的一般式方程能表示所有直线的方程，解题时可根据需要化成其它四种形式.
跟踪训练2 (1)直线2x＋y－3＝0的一个方向向量为a＝(m，－6)，则m＝____.
3
解析 由直线的一般式方程可知，该直线的一个法向量v＝(2,1)，
所以a⊥v，
所以2m－6＝0，
解得m＝3.
(2)若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a＋1＝0表示平行于y轴的直线，则a＝_____.
1
解析 直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0)，
核心素养之数学运算与直观想象
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
YUN
SUAN
YU
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
直线方程的灵活应用
典例 已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x＝0，y＝x.
(1)求直线BC的方程；
解 如图.
因为∠ABC，∠ACB的平分线分别是x＝0，y＝x，
所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称.
A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，
A关于y＝x的对称点A″(－1,3)也在直线BC上.
即2x－y＋5＝0.
(2)求直线AB的方程.
解 因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，
即直线AB与BC关于y轴对称，
所以直线AB与BC的斜率互为相反数，
由(1)知直线BC的斜率为2，
所以直线AB的斜率为－2，
又因为点A的坐标为(3，－1)，
所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，
即2x＋y－5＝0.
素养提升
(1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称.
(2)画出图形，借助图形分析A关于直线x＝0的对称点A′在BC上，A关于y＝x的对称点A″也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养.
(3)分别求出A′，A″两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1
2
3
4
5
1.在直角坐标系中，直线x＋
－3＝0的倾斜角是
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
√
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3
4
5
2.在平面直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是
A.3x－y－1＝0
B.x＋2＝0
C.3x＋2y－6＝0
D.2x－y＋1＝0
√
解析 直线的倾斜角为钝角，则斜率k<0，只有选项C符合.
3.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于
1
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3
4
5
√
解析 由点(1，－1)在直线上，
可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，
故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，
1
2
3
4
5
4.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为______________.
2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1,3)，
即2x－y＋1＝0.
5.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值为_____.
1
2
3
4
5
3
1.知识清单：
(1)直线的一般式方程.
(2)直线的一般式方程与其它四种形式的区别与联系以及相互转化.
2.方法归纳：数形结合、公式法、分类讨论.
3.常见误区：直线的一般式方程转化为其它四种形式时易忽视讨论斜率不存在的情况.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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1.直线的一个方向向量为a＝(1，－3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为
A.3x－y＋2＝0
B.3x＋y－2＝0
C.3x＋y＋2＝0
D.3x－y－2＝0
√
解析 ∵直线的方向向量为a＝(1，－3)，
∴k＝－3，
∴直线的方程为y＝－3x＋2，
即3x＋y－2＝0.
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2.已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点
A.(0,0)
B.(0,1)
C.(3,1)
D.(2,1)
√
解析 直线方程可化为y－1＝k(x－3)，过定点(3,1)，故选C.
3.已知过点M(2,1)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点.若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为
A.2x－y－3＝0
B.2x＋y－5＝0
C.x＋2y－4＝0
D.x－2y＋3＝0
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解析 依题意P(4,0)，Q(0,2)，
即x＋2y－4＝0，故选C.
4.若直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则k的值为
A.24
B.12
C.10
D.－24
√
解析 直线在两坐标轴上的截距之和为2，∴k≠0，
解得k＝－24，故选D.
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5.(多选)直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2,1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角且过点P的直线的方程可以是
A.x－y－1＝0
B.3x－y－5＝0
C.x＋y－3＝0
D.x＋3y－5＝0
√
√
解析 将点(2,1)代入直线方程有m2－2m－3＝0，
当m＝3时直线l的方程为x－3y＋1＝0，
当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
即y＝－x＋3，斜率为－1，
故所求直线的斜率为k＝1，
方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.
故选AD.
解得m＝3或m＝－1，
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6.(多选)下列有关直线l：x＋my－1＝0(m∈R)的说法不正确的是
A.直线l的斜率为－
B.直线l过定点(1,0)
C.直线l在y轴上的截距为
D.直线l的方程可化为截距式
√
√
√
解析 当m＝0时，直线l：x－1＝0表示一条垂直于x轴的直线，斜率不存在，与y轴无交点，故A，C，D不正确；
又当y＝0时，x＝1，故直线过定点(1,0)，故B正确.
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7.直线l的一个法向量为v＝(3,2)且过点(2,3)，则直线l的方程为_______________.
3x＋2y－12＝0
解析 ∵直线l的一个法向量为v＝(3,2)，
故设直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，代入点(2,3)
有6＋6＋C＝0，即C＝－12，
故直线l的方程为3x＋2y－12＝0.
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8.将直线x－
＝0绕坐标原点逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度，所得到直线的方程为_______________.
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9.求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的3倍；
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即9x＋8y＋33＝0.
(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12.
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解得a＝±6，
即2x＋3y－12＝0或2x－3y＋12＝0.
10.已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R).
(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；
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解 当x，y的系数不同时为0时，方程表示一条直线，
令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；
故当m的取值范围为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)时，方程表示一条直线.
(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程；
(3)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值.
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综合运用
11.若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则
A.ab>0，bc>0
B.ab>0，bc<0
C.ab<0，bc>0
D.ab<0，bc<0
√
即ab<0，bc<0.
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13.已知直线l1，l2的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则
A.b>0，d<0，aB.b>0，d<0，a>c
C.b<0，d>0，a>c
D.b<0，d>0，a√
故c0，故选C.
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14.若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－(4m－1)＝0在x轴上的截距等于1，则
m＝_________.
解析 由题意知，2m2＋m－3≠0.
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拓广探究
√
故选D.
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16.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
解 依题意知，直线在两坐标轴上的截距都存在，
∴a＋1≠0，∴a≠－1，
令x＝0，y＝a－2，
解得a＝2或a＝0.
当a＝2时，直线l的方程为3x＋y＝0，
当a＝0时，直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，所求直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)若l不经过第一象限，求实数a的取值范围.
解 直线方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
斜率k＝－(a＋1)，截距为a－2，
所以实数m的取值范围为[－1,2].
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16第3课时 直线的一般式方程
学习目标 1.理解直线的一般式方程的特点，以及与其它方程形式的区别与联系.2.掌握直线的一般式方程与其它形式之间的相互转化，进一步掌握求直线方程的方法．
知识点一 直线的一般式方程
关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0)表示直线的方程．我们把Ax＋By＋C＝0称为直线的一般式方程．
①A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
②直线的一般式方程能表示所有的直线方程，在求直线方程时，最后结果一般都化成一般式方程．
③当A＝0时，y＝－表示一条与y轴垂直的直线．
当B＝0时，x＝－表示一条与x轴垂直的直线．
当B≠0时，y＝－x－，直线的斜率为－，截距为－.
④v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量．
知识点二 直线方程五种形式的比较
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式
点P1(x1，y1)和斜率k
y－y1＝k(x－x1)
不垂直于x轴的直线
斜截式
斜率k和在y轴上的截距b
y＝kx＋b
不垂直于x轴的直线
两点式
点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)
＝
不垂直于x，y轴的直线
截距式
在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零
＋＝1
不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线
一般式
两个独立的条件
Ax＋By＋C＝0
A，B不全为零
1．当A，B同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示一条直线．( × )
2．任何直线的方程都能化成一般式方程．( √ )
3．任何一条直线的一般式方程都能与其它四种形式互化．( × )
4．直线2x－3y＋1＝0的一个法向量为v＝(2，－3)．( √ )
一、求直线的一般式方程
例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(5)经过点B(4,2)，且平行于x轴；
(6)经过点(2,1)，且一个法向量为v＝(2，－3)．
解 (1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)，
即x－y－5＋3＝0.
(2)由斜截式，得直线方程为y＝4x－2，
即4x－y－2＝0.
(3)由两点式，得直线方程为＝，
即2x＋y－3＝0.
(4)由截距式，得直线方程为＋＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(5)y－2＝0.
(6)∵直线的一个法向量为v＝(2，－3)，
∴设直线的一般式方程为2x－3y＋C＝0，
代入点(2,1)得4－3＋C＝0，
解得C＝－1，
∴直线的方程为2x－3y－1＝0.
反思感悟 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
跟踪训练1 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式：
(1)斜率是－，且经过点A(8，－6)；
(2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3；
(3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)；
(4)经过点(2，－3)，且一个方向向量为a＝(2,4)．
解 (1)由点斜式，得直线方程为y＋6＝－(x－8)，即x＋2y＋4＝0.
(2)由截距式，得直线方程为＋＝1，即2x－y－3＝0.
(3)由两点式，得直线方程为＝，即x＋y－1＝0.
(4)方法一 ∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，
∴k＝＝2，
故所求直线方程为y＋3＝2(x－2)，
即2x－y－7＝0.
方法二 ∵直线的一个方向向量为a＝(2,4)，
∴直线的一个法向量为v＝(4，－2)，
故设直线的一般式方程为4x－2y＋C＝0，代入点(2，－3)有8＋6＋C＝0，
解得C＝－14，
∴所求直线方程为4x－2y－14＝0，即2x－y－7＝0.
二、直线的一般式方程的应用
例2 (1)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为________．
答案 6
解析 直线l的方程为3x＋4y－12＝0，
令x＝0得y＝3，
令y＝0得x＝4，
故令A(4,0)，B(0,3)，
S△AOB＝×4×3＝6.
(2)直线l的方程为kx－y＋2k＋1＝0(k∈R)，则该直线过定点________．
答案 (－2,1)
解析 方法一 直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，
由直线的点斜式方程可知，直线过定点(－2,1)．
方法二 直线l的方程可化为k(x＋2)－y＋1＝0，
则解得x＝－2，y＝1，
则直线l过定点(－2,1)．
反思感悟 直线的一般式方程能表示所有直线的方程，解题时可根据需要化成其它四种形式．
跟踪训练2 (1)直线2x＋y－3＝0的一个方向向量为a＝(m，－6)，则m＝________.
答案 3
解析 由直线的一般式方程可知，该直线的一个法向量v＝(2,1)，
所以a⊥v，
所以2m－6＝0，
解得m＝3.
(2)若方程(6a2－a－2)x＋(3a2－5a＋2)y＋a＋1＝0表示平行于y轴的直线，则a＝________.
答案 1
解析 直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A，B不能同时为0)，
当B＝0时，x＝－表示平行于y轴的直线，
故解得a＝1.
直线方程的灵活应用
典例 已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x＝0，y＝x.
(1)求直线BC的方程；
(2)求直线AB的方程．
解 如图．
(1)因为∠ABC，∠ACB的平分线分别是x＝0，y＝x，
所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称．
A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，
A关于y＝x的对称点A″(－1,3)也在直线BC上．
由两点式求得直线BC的方程为＝，
即2x－y＋5＝0.
(2)因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，
即直线AB与BC关于y轴对称，
所以直线AB与BC的斜率互为相反数，
由(1)知直线BC的斜率为2，
所以直线AB的斜率为－2，
又因为点A的坐标为(3，－1)，
所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，
即2x＋y－5＝0.
[素养提升] (1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称．
(2)画出图形，借助图形分析A关于直线x＝0的对称点A′在BC上，A关于y＝x的对称点A″也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养．
(3)分别求出A′，A″两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养．
1．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
答案 C
解析 直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
2．在平面直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是( )
A．3x－y－1＝0
B．x＋2＝0
C．3x＋2y－6＝0
D．2x－y＋1＝0
答案 C
解析 直线的倾斜角为钝角，则斜率k<0，只有选项C符合．
3．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于( )
A．－3
B．3
C.
D．－
答案 D
解析 由点(1，－1)在直线上，可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，
即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－.
4．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1,3)，
由直线的两点式方程，可得＝，
即2x－y＋1＝0.
5．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值为________．
答案 3
解析 由已知得∴m＝3.
1．知识清单：
(1)直线的一般式方程．
(2)直线的一般式方程与其它四种形式的区别与联系以及相互转化．
2．方法归纳：数形结合、公式法、分类讨论．
3．常见误区：直线的一般式方程转化为其它四种形式时易忽视讨论斜率不存在的情况．
1．直线的一个方向向量为a＝(1，－3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为( )
A．3x－y＋2＝0
B．3x＋y－2＝0
C．3x＋y＋2＝0
D．3x－y－2＝0
答案 B
解析 ∵直线的方向向量为a＝(1，－3)，
∴k＝－3，
∴直线的方程为y＝－3x＋2，
即3x＋y－2＝0.
2．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线都恒过点( )
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(3,1)
D．(2,1)
答案 C
解析 直线方程可化为y－1＝k(x－3)，过定点(3,1)，故选C.
3．已知过点M(2,1)的直线与x轴、y轴分别交于P，Q两点．若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－4＝0
D．x－2y＋3＝0
答案 C
解析 依题意P(4,0)，Q(0,2)，
所以直线方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0，故选C.
4．若直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则k的值为( )
A．24
B．12
C．10
D．－24
答案 D
解析 直线在两坐标轴上的截距之和为2，∴k≠0，
∴直线方程可化为＋＝1，
∴－＋＝2，
解得k＝－24，故选D.
5．(多选)直线l：mx－m2y＋3＝0经过点P(2,1)，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角且过点P的直线的方程可以是( )
A．x－y－1＝0
B．3x－y－5＝0
C．x＋y－3＝0
D．x＋3y－5＝0
答案 AD
解析 将点(2,1)代入直线方程有m2－2m－3＝0，
解得m＝3或m＝－1，
当m＝3时直线l的方程为x－3y＋1＝0，
即y＝x＋，
斜率为，故所求直线的斜率k＝－，
方程为y－1＝－(x－2)，即x＋3y－5＝0.
当m＝－1时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
即y＝－x＋3，斜率为－1，
故所求直线的斜率为k＝1，
方程为y－1＝1·(x－2)，即x－y－1＝0.
故选AD.
6．(多选)下列有关直线l：x＋my－1＝0(m∈R)的说法不正确的是( )
A．直线l的斜率为－
B．直线l过定点(1,0)
C．直线l在y轴上的截距为
D．直线l的方程可化为截距式
答案 ACD
解析 当m＝0时，直线l：x－1＝0表示一条垂直于x轴的直线，斜率不存在，与y轴无交点，故A，C，D不正确；又当y＝0时，x＝1，故直线过定点(1,0)，故B正确．
7．直线l的一个法向量为v＝(3,2)且过点(2,3)，则直线l的方程为________________．
答案 3x＋2y－12＝0
解析 ∵直线l的一个法向量为v＝(3,2)，
故设直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，代入点(2,3)
有6＋6＋C＝0，即C＝－12，
故直线l的方程为3x＋2y－12＝0.
8．将直线x－y＝0绕坐标原点逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度，所得到直线的方程为________________．
答案 x＋y＋1＝0
解析 直线x－y＝0可化为y＝x，倾斜角为30°，
将该直线绕原点逆时针旋转90°后所得到直线的倾斜角为120°，斜率为k＝－，
其方程为y＝－x，再向下平移1个单位长度后所得直线的方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
9．求满足下列条件的直线方程．
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的3倍；
(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12.
解 (1)直线3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋，斜率为－，
故所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即9x＋8y＋33＝0.
(2)设直线的方程为＋＝1(a≠0)，
∴S＝·|a|·4＝12，
解得a＝±6，
故所求的直线方程为＋＝1，
即2x＋3y－12＝0或2x－3y＋12＝0.
10．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．
(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；
(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程；
(3)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值．
解 (1)当x，y的系数不同时为0时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝.故当m的取值范围为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)时，方程表示一条直线．
(2)由(1)知，当m＝时，方程表示的直线斜率不存在，直线方程为x＝，即3x－4＝0.
(3)由题意得，解得m＝.
11．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )
A．ab>0，bc>0
B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
答案 D
解析 如图，ax＋by＋c＝0可化为y＝－x－，
∴
即ab<0，bc<0.
12．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )
A.，1
B.，－1
C．－，1
D．－，－1
答案 D
解析 原方程化为＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1.
又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，且x－y－＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan
120°，∴a＝－，故选D.
13．已知直线l1，l2的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则( )
A．b>0，d<0，aB．b>0，d<0，a>c
C．b<0，d>0，a>c
D．b<0，d>0，a答案 C
解析 l1：x＋ay＋b＝0可化为y＝－x－，
l2：x＋cy＋d＝0可化为y＝－x－，
由图知
故c0，故选C.
14．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－(4m－1)＝0在x轴上的截距等于1，则m＝________.
答案 －或2
解析 由题意知，2m2＋m－3≠0.令y＝0，得直线在x轴上的截距为x＝＝1，解得m＝2或m＝－.
15．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.
答案 D
解析 直线方程可化为y＝－x－，
∴k＝－，
∵a2＋1≥1，∴0<≤，
∴k∈[－，0)，
由正切函数的图像知倾斜角θ∈.
故选D.
16．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第一象限，求实数a的取值范围．
解 (1)依题意知，直线在两坐标轴上的截距都存在，
∴a＋1≠0，∴a≠－1，
令x＝0，y＝a－2，
令y＝0，x＝，
则a－2＝，
解得a＝2或a＝0.
当a＝2时，直线l的方程为3x＋y＝0，
当a＝0时，直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，所求直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)直线方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
斜率k＝－(a＋1)，截距为a－2，
则解得－1≤a≤2，
所以实数m的取值范围为[－1,2]．