(共52张PPT)
1.了解点到直线的距离公式的推导方法.
2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.
3.初步掌握解析法研究几何问题的方法.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 点到直线的距离
1.定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得_______
的长度.
2.图示：
3.公式：d＝
.
垂线段
知识点二 两条平行直线间的距离
1.定义：两条平行线之间的距离等于其中一条直线上
到另一条直线的距离.
2.图示：
3.求法：转化为点到直线的距离.
4.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d
＝
.(A，B不全为0，C1≠C2)
任意一点
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为
.( )
2.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.( )
3.两平行线间的距离是一条直线上任意一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( )
4.直线x＝x1与直线x＝x2的距离为d＝x2－x1.( )
×
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
一、点到直线的距离
例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离.
②3y＝4；
解 3y＝4可化为3y－4＝0，
③x＝3.
解 x＝3可化为x－3＝0，
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
解 方法一 当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝－1，
恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点的距离相等，
故x＝－1满足题意.
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2,3)与点B(－4,5)到直线l的距离相等，
即x＋3y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
方法二 由题意，得l∥AB或l过AB的中点，
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，
直线l的斜率为kl，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
反思感悟
(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题
①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
②当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
(2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.
√
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，
则实数m的值为_________.
得|3m＋5|＝|m－7|，
二、两平行线间的距离
例2 (1)已知两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0，则l1与l2间
的距离为_______.
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为______________.
2x－y＋1＝0
解析 设直线l的方程为2x－y＋C＝0，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思感悟
跟踪训练2 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离
为______.
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
(2)已知△ABC的两顶点A，B在直线l1：2x－y＋3＝0上，点C在直线l2：2x－y－1＝0上，若△ABC的面积为2，则AB边的长为_____.
解析 点C到AB的距离即为l1与l2之间的距离，
三、距离公式的应用
例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则
的最小值为____.
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，
即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，
∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，
(2)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
①求d的取值范围；
解 设经过点A和点B的直线分别为l1，l2，
②求d取最大值时，两条直线的方程.
所以d取最大值时两平行线的斜率k＝－3，
两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.
反思感悟
(1)
可表示为点(x，y)与点(a，b)之间的距离，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性解决问题.
(2)两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值.
跟踪训练3 (1)已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为
√
解析 两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，
(2)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|最小时点P的坐标为________.
(2,2)
解析 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，
此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在的直线方程为y＝x.
∴点P的坐标为(2,2).
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知原点O(0,0)，则点O到直线x＋y＋2＝0的距离等于
1
2
3
4
5
√
2.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为
√
1
2
3
4
5
3.直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为
，则C的值为
A.9
B.11或－9
C.－11
D.9或－11
√
1
2
3
4
5
解得C＝－9或11.
1
2
3
4
5
4.两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝____.
10
∴a＋d＝10.
1
2
3
4
5
5.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是___________.
(5，－3)
解析 由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M(图略)，则|MP|为最小距离，
∴所求点的坐标为(5，－3).
1.知识清单：
(1)点到直线的距离.
(2)两平行线之间的距离.
2.方法归纳：公式法、分类讨论、数形结合.
3.常见误区：求两条平行线之间的距离时，只需把两直线方程化成一般式，且x与y的系数对应相同.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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2
3
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2.已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于
√
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3.已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是
A.1
B.2
C.
D.4
√
4.直线l1：2x＋y－4＝0，l2：2x＋y＋2＝0，则与直线l1与l2距离相等的直线方程为
A.2x＋y－1＝0
B.2x＋y＝0
C.2x＋y－2＝0
D.x－2y－1＝0
√
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解析 令所求直线方程为2x＋y＋c＝0，
即|c＋4|＝|c－2|，解得c＝－1，
故所求直线方程为2x＋y－1＝0.
5.(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于
√
√
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，
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6.(多选)若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为
，则点P的坐标为
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(2，－1)
D.(－1,2)
√
√
解析 P在直线3x＋y－5＝0上，
令P(x0，－3x0＋5)，
即|2x0－3|＝1，
解得x0＝1或x0＝2，
∴点P坐标为(1,2)或(2，－1).
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7.过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程为______________.
x＋2y－5＝0
解析 由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，
即x＋2y－5＝0.
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8.经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为__________________
_________.
x＝－3或7x＋24y
－75＝0
解析 (1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k＋4＝0.
直线l的方程为7x＋24y－75＝0.
综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
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9.已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为
，求直线l的方程.
解 由题意知，若截距为0，可设直线l的方程为y＝kx.
若截距不为0，设所求直线l的方程为x＋y－a＝0(a≠0).
解得a＝1或a＝13.
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10.已知正方形的中心为点M(－1,0)，一条边所在直线的方程是x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程.
设与x＋3y－5＝0平行的直线为x＋3y＋c＝0(c≠－5)，
解得c＝7(舍c＝－5)，
∴直线方程为x＋3y＋7＝0.
设另两条边所在直线方程为3x－y＋m＝0，
∴|m－3|＝6，
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解得m＝－3或m＝9，
故另两条边所在的直线方程为3x－y－3＝0或3x－y＋9＝0.
综上，其它三边所在的直线方程为x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0,3x－y＋9＝0.
综合运用
11.点P(2,3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为
A.3
B.4
C.5
D.7
√
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当a＝0时等号成立.
12.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于
A.3
B.
4
C.5
D.6
√
解析 设AB边上的高为h，
AB边上的高h就是点C到直线AB的距离，
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13.已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为
A.2x＋3y－18＝0
B.2x－y－2＝0
C.3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D.2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
√
解析 当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝3，不合题意，
故直线l的斜率存在，设为k，
直线l的方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y－3k＋4＝0，
即|－5k＋2|＝|k＋6|，
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14.与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为_______________________.
x＋y＝0或x＋y－10＝0
设正方形另一边所在直线方程为x＋y＋c＝0(c≠－5)，
解得c＝0或c＝－10，
故所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
拓广探究
15.已知点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，若(a－1)2＋(b－1)2的最小值为4，则实数c的值为
A.－21或19
B.－11或9
C.－21或9
D.－11或19
√
解析 (a－1)2＋(b－1)2表示点M(a，b)与点N(1,1)之间的距离的平方，
即(a－1)2＋(b－1)2＝|MN|2，
∴|MN|min＝2.
又点M(a，b)在直线4x－3y＋c＝0上，
∴点N(1,1)到直线4x－3y＋c＝0的距离为2，
即|c＋1|＝10，∴c＝－11或c＝9.
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16.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点，求点P到直线l3的距离.
解 如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，
则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.
由题意知l1与l2关于x轴对称，
故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.
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