(共56张PPT)
1.掌握圆的定义及标准方程.
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准
方程.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 圆的标准方程
1.定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的
称为圆，其中定点是
，定长为
.
2.标准方程：在平面直角坐标系中，以C(a，b)为圆心，半径为r(r>0)的圆的标准方程为
.
集合
圆心
半径
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2
r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2
r2
点M在圆内
|CM|
(x0－a)2＋(y0－b)2
r2
＝
>
<
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆.( )
2.确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )
3.圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( )
4.圆是由点组成的集合，元素是圆上的每一点.( )
×
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、对圆的标准方程的理解
例1 (1)方程(x－1)
＝0所表示的曲线是
A.一个圆
B.两个点
C.两条射线和一个圆
D.一条直线和一个圆
√
所以x＝1或x2＋y2＝3，
所以该方程表示两条射线和一个圆.
(2)方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是________________________.
(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 由m2－m－2>0，
得m>2或m<－1.
反思感悟
充分理解圆的定义以及圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中r>0，(a，b)为圆心，r为半径.
跟踪训练1 (1)给定圆的方程：(x－2)2＋(y＋8)2＝9，则过坐标原点和圆心的直线方程为
A.4x－y＝0
B.4x＋y＝0
C.x－4y＝0
D.x＋4y＝0
√
解析 圆心为(2，－8)，原点为(0,0)，
故所求的直线方程为y＝－4x，
即4x＋y＝0.
(2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线x－y＝0对称
D.关于直线x＋y＝0对称
√
解析 该圆的圆心为(－a，a)在直线x＋y＝0上，
故该圆关于x＋y＝0对称，故选D.
二、求圆的标准方程
例2 (1)已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是
A.(x＋1)2＋(y－3)2＝29
B.(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C.(x＋1)2＋(y－3)2＝116
D.(x－1)2＋(y＋3)2＝116
√
解析 AB的中点为(1，－3)，
所以圆心C的坐标为(1，－3)，
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(2)求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
解 方法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二 (几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
即圆心坐标为(4，－3)，
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
反思感悟
(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
跟踪训练2 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为____________________.
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.
解 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
即△ABC的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
三、点与圆的位置关系
例3 (1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是
A.点P在圆内
B.点P在圆外
C.点P在圆上
D.不确定
√
解析 由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得点P在圆外.
[0,1)
反思感悟
(1)判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较即可.
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并给出结论.
(2)灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.
跟踪训练3 (1)点(sin
30°，cos
30°)与圆x2＋y2＝
的位置关系是
A.在圆上
B.在圆内
C.在圆外
D.不能确定
√
∴该点在圆外.
(2)已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是____________
____________.
(－∞，－1)
∪(1，＋∞)
解析 由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，
2a2－2>0，
即a<－1或a>1.
核心素养之逻辑推理与直观想象
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
YU
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
与圆有关的最值问题
典例 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
试求：(1)
的最值；
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
(2)y－x的最值；
解 设y－x＝b，即y＝x＋b.
当y＝x＋b与圆相切时，截距b取得最大值和最小值，
(3)x2＋y2的最值.
解 x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方.
由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，
素养提升
(1)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型
①形如u＝
形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动
直线斜率的最值问题.
②形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线
截距的最值问题.
③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题.
(2)利用转化思想，把代数问题转化为几何问题，提升了逻辑推理、直观想象核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为
A.(－1,5)，
B.(1，－5)，
C.(－1,5)，3
D.(1，－5)，3
√
1
2
3
4
5
2.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是
A.在圆外
B.在圆内
C.在圆上
D.不确定
1
2
3
4
5
√
3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是
A.x2＋(y－2)2＝1
B.x2＋(y＋2)2＝1
C.(x－1)2＋(y－3)2＝1
D.x2＋(y－3)2＝1
√
1
2
3
4
5
解析 方法一 (直接法)
∴b＝2，
∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二 (数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心坐标为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
1
2
3
4
5
4.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是_____.
1
解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，
5.过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程为___________________.
(x－1)2＋(y－1)2＝4
解析 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)圆的标准方程.
(2)点与圆的位置关系.
2.方法归纳：数形结合法、转化法.
3.常见误区：由标准方程得圆心时，符号出错.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
1
2
3
4
5
6
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16
1.圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是
A.(x＋3)2＋(y＋1)2＝5
B.(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
C.(x－3)2＋(y－1)2＝5
D.(x－3)2＋(y－1)2＝25
√
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2.若圆C的圆心坐标为(0,0)，且圆C经过点M(3,4)，则圆C的半径为
A.5
B.6
C.7
D.8
√
3.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为
A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
√
解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
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4.若点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是
√
解析 依题意有(5a)2＋144a2<1，
所以169a2<1，
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5.(多选)若点P(－1，
)为圆x2＋y2＝m2外一点，则m的值可以是
A.2
B.1
C.－1
D.0
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√
√
解析 ∵点P在圆外，
即m2<4，
∴－26.(多选)若方程(x－m)2＋(y＋m－4)2＝m2－1表示圆心在第一象限的圆，则m的值可以是
A.2
B.3
C.4
D.5
√
√
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7.圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________.
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解析 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，
8.圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是__________
_______.
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(x－4)2＋
y2＝1
解析 设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
9.已知圆P过点A(1,0)，B(4,0).
(1)若圆P还过点C(6，－2)，求圆P的标准方程；
解 设圆P的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
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(2)若圆心P的纵坐标为2，求圆P的标准方程.
圆心P的纵坐标为2，
∵圆心P在AB的垂直平分线上，
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10.已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0).
(1)若点M(6,9)在圆N上，求半径a；
解 点M满足圆N方程(6－5)2＋(9－6)2＝a2(a>0)，
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(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围.
解 依题意[(3－5)2＋(3－6)2－a2][(5－5)2＋(3－6)2－a2]<0，
即(a2－13)(a2－9)<0，
即9综合运用
11.已知直线3x＋4y－24＝0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上，则该圆的半径为
A.3
B.4
C.5
D.6
√
解析 令x＝0，y＝6，令y＝0，x＝8，
故直线与坐标轴的交点为A(0,6)，B(8,0)，
∵∠AOB＝90°，经过点A，B，O的圆即是以AB为直径的圆，
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12.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9
√
解析 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
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13.已知圆C经过A(0,0)，B(2,0)，且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为
A.(x－1)2＋(y－1)2＝4
B.
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－2)2＝5
√
解析 如图，|AB|＝2，△ACB是等腰直角三角形，
所求圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
14.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为
A.6
B.4
C.3
D.2
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√
解析 如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.
又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
拓广探究
15.已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝
，则x2＋y2的最大值为____；x＋y的最小值为
_________.
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解析 由题意知，x2＋y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值.
原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，
令x＋y＝z，并将其变形为y＝－x＋z，
问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时，在y轴上的截距的最值.
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当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，
16.已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的标准方程.
解 要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，
则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值.
所以|PA|<|PB|<|PC|，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.
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