(共47张PPT)
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置
和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 圆的一般方程
1.圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程
称为圆的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点___________
D2＋E2－4F>0
表示以
为圆心，以
为半径的圆
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
思考 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
答案 对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；
对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )
2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.( )
3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( )
4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( )
√
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、圆的一般方程的概念
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
反思感悟
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法
(1)由圆的一般方程的定义，D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.
跟踪训练1 已知方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为
A.2,4,4
B.－2,4,4
C.2，－4,4
D.2，－4，－4
√
二、求圆的一般方程
例2 (1)与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是
A.x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B.x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C.x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D.x2＋y2＋4x－6y＋8＝0
√
解析 设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋c＝0，
代入点(1，－1)有1＋1－4－6＋c＝0，
解得c＝8，
故所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
(2)已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).
①求△ABC的外接圆的一般方程；
解 设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
②若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
解 由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
延伸探究
若本例(2)中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？
反思感悟
应用待定系数法求圆的方程时应注意
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为
，求圆的方程.
解 方法一 (待定系数法)
设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将点P，Q的坐标分别代入上式，
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
③
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.
④
故圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二 (几何法)
由题意，得线段PQ的垂直平分线的方程为x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，
设其坐标为(a，a－1).
①
解得a＝1或a＝5，
故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
3
随堂演练
PART
THREE
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为
A.(4，－6)，16
B.(2，－3)，4
C.(－2,3)，4
D.(－2,3)，16
√
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2
3
4
5
1
2
3
4
5
2.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在
A.圆内
B.圆上
C.圆外
D.无法确定
√
解析 ∵32＋12－2×3－2×1＝2>0，
故点P在圆外.
3.圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线2ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于
1
2
3
4
5
√
解析 圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心为(1,4)，
4.经过A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)三点的圆的方程为
A.x2＋y2＋x－3y－2＝0
B.x2＋y2＋3x＋y－2＝0
C.x2＋y2＋x＋3y＝0
D.x2＋y2－x－3y＝0
√
解析 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
故所求圆的方程为x2＋y2－x－3y＝0.
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4
5
5.若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是____________.
1
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5
(－∞，1)
解析 若该方程能表示圆，
即k<1.
1.知识清单：
(1)圆的一般方程的定义及其理解.
(2)求圆的一般方程.
2.方法归纳：公式法、数形结合法.
3.常见误区：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0并不一定都能表示圆的方程，表示圆时易忽视隐藏的条件D2＋E2－4F>0.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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1.若圆的一般方程为x2＋y2＋6x＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是
√
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2.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为
A.以(a，b)为圆心的圆
B.以(－a，－b)为圆心的圆
C.点(a，b)
D.点(－a，－b)
√
解析 原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴方程表示点(－a，－b).
3.若a∈{－2,0,1,3}，则方程x2＋y2＋3ax＋ay＋
a2＋a－1＝0表示的圆的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
√
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∴1－a>0，∴a<1，
又a∈{－2,0,1,3}，故a＝－2,0.
4.△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则△ABC外接圆的方程为
A.x2＋y2－4x－2y－20＝0
B.x2＋y2＋4x－2y－20＝0
C.x2＋y2－4x＋2y－20＝0
D.x2＋y2＋4x＋2y－20＝0
√
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解析 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
√
√
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6.(多选)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m2＝0外，则下列m的取值范围中满足条件的有
√
√
又点(1，－1)在圆外，∴1＋1－1－1＋m2>0，
即m2>0，∴m≠0，
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7.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0上任一点A关于直线x－ay＋2＝0对称的点A′
仍在该圆上，则a＝____.
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解析 依题意圆心在直线x－ay＋2＝0上，
圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
8.已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________.
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－10
解析 由题意知圆心
应在直线2x＋y－1＝0上，代入解得a＝－10，
符合D2＋E2－4F>0的条件.
9.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为
，求圆的一般方程.
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因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
①
②
所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
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10.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
解 方程表示圆，
∴D2＋E2－4F＝4(m＋3)2＋4(1－4m2)2－4(16m4＋9)
＝－28m2＋24m＋4>0，
即7m2－6m－1<0，
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(2)求该圆半径r的取值范围；
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(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.
解 圆心纵坐标y＝4m2－1，
∴当m＝0时，ymin＝－1，
∴该圆圆心的纵坐标最小值为－1.
综合运用
11.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
√
解析 因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
故该圆的圆心在第四象限.
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12.要使圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴的两个交点分别位于原点的两侧，则有
A.D2－4F>0，F<0
B.D<0，F>0
C.D≠0，F≠0
D.D<0，F<0
√
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解析 令y＝0有x2＋Dx＋F＝0，
依题意该方程有一正根和一负根，
∴Δ＝D2－4F>0且F<0，故选A.
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13.若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为
A.2或1
B.－2或－1
C.2
D.1
√
解析 将原点代入方程得2m2－6m＋4＝0，
解得m＝1或m＝2.
当m＝1时方程为x2＋y2＝0不表示圆(舍掉)；
当m＝2时，方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2表示圆，满足条件.
综上有m＝2.
14.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|等于
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√
解析 设该圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0代入A，B，C三点有
即圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，
令x＝0有y2＋4y－20＝0，
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拓广探究
15.当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是
A.(x＋3)2＋y2＝4
B.(x－3)2＋y2＝1
C.(2x－3)2＋4y2＝1
D.(2x＋3)2＋4y2＝1
√
解析 设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
∴x1＝2x－3，y1＝2y.
又点P在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，故选C.
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16.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(1,0).若动点C满足|AC|＝
|BC|，求△ABC的面积的最大值.
解 设点C(x，y)，
即(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，
化简整理有(x－3)2＋y2＝8，其中y≠0.
∴点C为圆(x－3)2＋y2＝8上除去x轴上点外的任一点，
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