(共56张PPT)
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
__
__
__
判断方法
代数法：由方程组
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ
0
Δ
0
Δ
0
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d
r
d
r
d
r
2
1
0
>
＝
<
<
＝
>
知识点二 直线与圆相切、相交的性质
1.直线与圆相切
如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.
则①CP⊥l；
②点C到直线l的距离d＝|CP|＝
；
③切点P在直线l上，也在圆上.
r
2.直线与圆相交
如图，直线l与圆C相交于A，B，半径为r，弦AB中点为D，
则①点C到直线l的距离d＝|CD|，称为弦心距；
②CD⊥l；
③|AD|2＋d2＝r2，|AB|＝
.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.( )
2.如果直线方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.
( )
3.若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )
4.过圆外一点作圆的切线，该切线有两条.( )
×
√
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、直线与圆的位置关系的判断
例1 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离.
解 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
反思感悟
直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
跟踪训练1 (1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是
A.相交
B.相离
C.相交或相切
D.相切
√
解析 方法一 直线x－ky＋1＝0过定点(－1,0)，
又定点(－1,0)在圆x2＋y2＝1上，
故直线与圆相交或相切，故选C.
∴d≤r，
故直线与圆相交或相切.
(2)已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系.
解 方法一 (代数法)
得5x2－50x＋61＝0.
∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1
280>0，
∴该方程组有两组不同的实数解，
即直线l与圆C相交.
方法二 (几何法)
∵d二、直线与圆相切
例2 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为
A.2x－y＋9＝0
B.2x＋y－9＝0
C.2x＋y＋9＝0
D.2x－y－9＝0
√
解析 圆方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，
又点P(3,3)在圆上，
故切线的斜率为－2，
切线方程为y－3＝－2(x－3)，
即2x＋y－9＝0.
(2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程.
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
延伸探究
若本例的条件不变，求其切线长.
解 因为圆心C的坐标为(3,1)，
设切点为B，则△ABC为直角三角形，
又|BC|＝r＝1，
所以切线长为4.
反思感悟
过一点的圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－
，由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程.
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程.
提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解.
跟踪训练2 (1)已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴切于原点，则
A.D＝0，E＝0，F≠0
B.D＝0，E≠0，F＝0
C.D≠0，E＝0，F＝0
D.D≠0，E≠0，F＝0
√
解析 依题意知圆与y轴相切，切点为原点，
∴圆心在x轴上且圆过原点，
∴E＝0且F＝0，D≠0，故选C.
(2)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________
____________.
(x－2)2＋
解析 圆C过原点(0,0)和(4,0)，
①
又圆与y＝1相切，
∴r＝|b－1|，
②
设圆心C的坐标为(2，b)，
∴圆心在直线x＝2上，
三、直线与圆相交
例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______.
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
(2)如果一条直线经过点M
且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程.
解 圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，
因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，
所以直线x＝－3是符合题意的一条直线.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.
反思感悟
求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法：联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，
B(x2，y2)，|AB|＝
求解.
(3)几何法：设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|＝
.
通常采用几何法较为简便.
跟踪训练3 (1)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________.
2x－y＝0
解析 方法一 由题易知直线的斜率存在.
设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.
由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，
即圆心(1,2)位于直线kx－y＝0上.
于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.
方法二 圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，
∴r＝1即2r＝2，
即该直线经过圆心(1,2)，
故直线方程为y＝2x，
即2x－y＝0.
(2)已知圆C与y轴相切，圆心在x轴的正半轴上，并且截直线x－y＋1＝0所得的弦长为2，则圆C的标准方程是________________.
(x－3)2＋y2＝9
解析 如图，设圆心C(a,0)(a>0)，半径为r，
又r＝a，r2＝d2＋12，
解得a＝3(舍a＝－1)，
∴所求圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝9.
3
随堂演练
PART
THREE
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
√
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2
3
4
5
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0,0)不在y＝x＋1上，故选B.
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2.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是
A.相离
B.相切
C.相交但直线不过圆心
D.相交且直线过圆心
√
解析 直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，
由定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交.
又直线y＝kx＋1不过圆心(0,0)，
则位置关系是相交但直线不过圆心，故选C.
3.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是
A.－2
B.2
C.－12
D.12
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√
√
解析 圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
得b＝2或12，故选BD.
4.已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________________.
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(x＋1)2＋y2＝2
解析 直线x－y＋1＝0与x轴交点为(－1,0)，
则圆心C的坐标为(－1,0)，
故所求圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
5.已知圆(x＋2)2＋(y－2)2＝a截直线x＋y＋2＝0所得弦长为6，则实数a的值为_____.
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11
1.知识清单：
(1)直线与圆的位置关系.
(2)直线与圆相切.
(3)直线与圆相交.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：过一点设直线方程时易忽视讨论斜率存在与不存在两种情况.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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1.直线3x＋4y－25＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系为
A.相切
B.相交
C.相离
D.相离或相切
√
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2.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是
A.－5B.m<－5或m>15
C.m<4或m>13
D.4√
解析 圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，
∴m<－5或m>15.故选B.
3.圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为
，那么这个圆的方程为
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
B.(x－2)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－2)2＋(y＋1)2＝8
D.(x－2)2＋(y＋1)2＝16
√
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
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4.过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程为
A.x＝2
B.y＝3
C.x＝2或x－y＋1＝0
D.x＝2或y＝3
√
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解析 P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，
∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条.
当斜率存在时，设切线的斜率为k，
则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
∴切线方程为y＝3，
当斜率不存在时，切线方程为x＝2，符合题意.
∴x＝2或y＝3.
5.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为
，则实数a的值为
A.0
B.4
C.3
D.
√
√
解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.
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6.(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为
A.x－y＝0
B.x＋y＝0
C.x＋y＋4＝0
D.x＋y－4＝0
√
√
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√
解析 圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.
可分为两种情况讨论：
①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，
∴方程为x±y＝0.
②直线在x，y轴上的截距均不为0，
方程为x＋y－4＝0.
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7.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最长弦长为_____；最短弦长为______.
4
解析 易知点(3,1)在圆内，设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当直线经过圆心时弦长最长为直径，即最长弦长为4.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
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8.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是____________.
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x2＋y2＝2
解析 设点P的坐标为(x，y)，
∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，
9.已知圆C：x2＋y2＋8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
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解 圆C的方程化为x2＋(y＋4)2＝4，
此圆的圆心为(0，－4)，半径为2.
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(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝
时，求直线l的方程.
解 过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
故直线l的方程为7x＋y＋14＝0或x＋y＋2＝0.
10.一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为
，求此圆的方程.
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解 因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，
故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
解得b＝±1，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
综合运用
11.已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不存在
√
解析 由题意知，直线与圆相切，
∴a2＋b2＝c2，
故△ABC为直角三角形.
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12.已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2－2ax－2y＋2＝0相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则a的值为
√
解析 圆C方程可化为(x－a)2＋(y－1)2＝a2－1，
故a2－1>0，∴a>1或a<－1，
△ABC为等边三角形，边长为r(r为圆C的半径)，
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13.圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为
的点有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
√
解析 圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.
因此和直线l平行的圆的直径的两端点及与直线l在圆心同侧且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为
.
14.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
则反射光线所在直线的斜率为__________.
解析 由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，
由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3).
设反射光线所在直线的斜率为k，
则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
反射光线与圆相切，
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拓广探究
15.由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为
√
解析 设直线y＝x＋1上任一点为点P，圆心为C，
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16.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
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证明 由已知，得直线l：y－1＝m(x－1)，
所以直线l恒过定点P(1,1)，
因为12＝1<5，所以点P在圆C内，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点.
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝
，求直线l的倾斜角.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，
①
设x1，x2是方程①的两个实根，
所以直线l的倾斜角为60°或120°.
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