(共55张PPT)
1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.
2.初步学会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.
3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 曲线的方程与方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有以下关系：
(1)曲线C上的
都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在
上，则称曲线C为_____
，方程F(x，y)＝0为
.
点的坐标
曲线C
方程
F(x，y)＝0的曲线
曲线C的方程
知识点二 求曲线的方程
求动点M的轨迹方程的一般步骤：
(1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)；
(2)写出M满足的
，并将该
用M的
表示出来；
(3)
所得方程是否为M的轨迹方程.
几何条件
几何条件
坐标
化简并检验
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则曲线C的方程是F(x，y)＝0.( )
2.如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，坐标不满足方程F(x，y)＝0的点一定不在曲线C上.( )
3.点M的轨迹和点M的轨迹方程是一样的.( )
4.曲线的方程一定是函数.( )
×
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、曲线的方程与方程的曲线的概念的理解及应用
例1 (1)(多选)命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中不正确的是
A.方程F(x，y)＝0的曲线是C
B.方程F(x，y)＝0的曲线不一定是曲线C
C.F(x，y)＝0是曲线C的方程
D.以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
√
√
√
解析 “曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，但“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确.
(2)在平面直角坐标系中，方程|x|·y＝1表示的曲线是
√
解析 由题意知x≠0，则方程|x|·y＝1，
故选C.
(3)已知方程x2＋(y－1)2＝10.
①判断点P(1，－2)，Q(
，3)是否在此方程表示的曲线上；
反思感悟
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性.
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.
跟踪训练1 (1)“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2
”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
(2)若方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0的曲线过点P(2,1)，则k＝________.
3或－2
解析 由定义知，方程的曲线上的点的坐标一定满足曲线的方程，
即点P(2,1)满足方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0，
即4＋k2－6－k－4＝0，
即k2－k－6＝0，
解得k＝3或k＝－2.
(3)方程x＝
表示的图形是
A.两个半圆
B.两个圆
C.圆
D.半圆
√
平方得x2＋y2＝1(x≥0)，对应的曲线为半圆.
二、曲线的交点
例2 已知两曲线的方程为C1：2x－5y＋5＝0，C2：y＝－
，判断两曲线有无交点.若有交点，求出交点；若无交点，请说明理由.
由①②消去y，得2x2＋5x＋50＝0，
③
Δ＝25－4×2×50<0，因此方程③无实数解，从而方程组无实数解，
反思感悟
结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题，把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.如果只涉及曲线的一部分，常用到数形结合.
跟踪训练2 已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝
有两个公共点，求实数b的取值范围.
消去x，得2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0).
(
)
l与曲线C有两个公共点，等价于方程(
)有两个不相等的非负实数解，
如图所示，当直线l与半圆相切时，圆心(0,0)到y＝x＋b的距离d＝1，
当直线l过点(－1,0)时，b＝1，
则当直线l与曲线C有两个公共点时，
三、求曲线方程
例3 设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过坐标原点O作圆C的弦OA，求OA的中点B的轨迹方程.
解 方法一 (直接法)设点B的坐标为(x，y)(x≠0)，连接BC.
由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，
方法二 (定义法)设点B的坐标为(x，y)(x≠0)，连接BC.
由圆的性质，知BC⊥OA，记OC的中点为M，
方法三 (代入法、相关点法)设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x，y)(x≠0).
所以(2x－1)2＋(2y)2＝1，
反思感悟
求曲线方程的方法
(1)直接法：当所求动点满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程.
(2)代入法(相关点法)：当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点满足的条件或轨迹方程中，整理即得所求动点的轨迹方程.
(3)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标中的x，y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其一般方程.
(4)定义法：若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程.
跟踪训练3 (1)一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为_______________.
3x2＋4y2＝48
解析 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
(2)动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程.
解 设P(x，y)，M(x0，y0)，
因为P为MB的中点，
又因为M在曲线x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1.
所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
3
随堂演练
PART
THREE
1.方程y＝3x－2
(x≥1)表示的曲线为
A.一条直线
B.一条射线
C.一条线段
D.不能确定
√
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5
解析 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线.
2.方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是
1
2
3
4
5
√
解析 ∵xy<0，当x>0时，y<0，曲线应在第四象限；
当x<0时，y>0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点.
3.曲线y＝
与xy＝2的交点是
A.(1,1)
B.(2,2)
C.直角坐标系内的任意一点
D.不存在
√
1
2
3
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5
即两曲线无交点.
1
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5
4.若曲线ax2＋by2＝4过点A(0，－2)，B
，则a＝____，b＝____.
4
1
5.若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程为_________.
y＝4x2
解析 设PQ的中点为M(x，y)，且P(x0，y0)，
即2y＋1＝8x2＋1，即y＝4x2为所求的轨迹方程.
1
2
3
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5
1.知识清单：
(1)曲线的方程与方程的曲线的定义.
(2)曲线的交点.
(3)求曲线的方程(动点的轨迹方程).
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：动点的轨迹与动点的轨迹方程是不同的，易忽视，求得方程后易漏掉检验.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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1.“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是F(x，y)＝0”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
√
解析 结合曲线方程的定义易得.
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2.方程|x|－|y|＝0表示的图形是
√
解析 由|x|－|y|＝0知y＝±x，即表示第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线.
3.平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足
＝4，则点P的轨迹是
A.线段
B.半圆
C.圆
D.直线
√
解析 以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(－2,0)，B(2,0).
设P(x，y)，
∴x2＋y2＝4.
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4.与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是
A.x2＋y2＝1
B.x2＋y2＝1(x≠±1)
C.y＝
D.x2＋y2＝9(x≠0)
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√
整理得x2＋y2＝1，又kPA，kPB存在，所以x≠±1.
所以所求轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1).
5.(多选)若曲线C的方程为y＝2x－1(1
A.(0,0)
B.(7,15)
C.(2,3)
D.(4,7)
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√
解析 由y＝2x－1(16.(多选)下列方程对应的曲线与曲线y＝x是同一条曲线的是
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7.点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝_____.
5
解析 由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，
即1＋4－2a＋5＝0，
解得a＝5.
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8.已知定点A(0,1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹方程为__________.
x2＝4y
解析 设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，
两边平方整理得x2＝4y.
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9.已知曲线C的方程为x＝
，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积.
所以所求图形的面积为2π.
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10.如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解 设点M的坐标为(x，y).
∵M为线段AB的中点，
∴点A的坐标为(2x,0)，点B的坐标为(0,2y).
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，
∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1).
∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
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综合运用
11.关于方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形叙述正确的是
A.表示的图形都是一条直线和一个圆
B.表示的图形都是两个点
C.前者表示一条直线和一个圆，后者表示两个点
D.前者表示两个点，后者表示一条直线和一个圆
√
解析 x(x2＋y2－1)＝0?x＝0或x2＋y2＝1，
表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1.
表示点(0,1)，(0，－1).故选C.
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12.已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是
A.a>1
B.0C.01
D.a∈?
√
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解析
∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图像大致如图，要使方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.
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A.xy＝－1
B.xy＝1
C.y2－x2＝2
D.y2－x2＝1
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解析 设平面内曲线C上的点P(x，y)，
∵点P′在曲线x2－y2＝2上，
整理得xy＝－1.
14.给出下列说法：
①方程
＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；
②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点.
其中正确说法的序号是______.
③
解析 对于①，方程
＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2,0))，所以①错误；
对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；
对于③，方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确.
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拓广探究
15.直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，
当k变化时，则弦AB的中点M的轨迹方程为_________________________.
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解析 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，
得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2，
∵点M应在圆内，
再由OM⊥MP，
∴所求的轨迹为圆内的部分.
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，
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解 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时，
不可能与曲线有两个公共点.
故设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)，
消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0.
①
当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点.
∴Δ＝[－(2－k)]2＋4ka>0.
设方程①的两根分别为y1，y2，
由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k.
又∵y1＋y2＝a，∴k＝2－a，
代入Δ>0中，得a2＋4a(2－a)>0，
又∵k≠0，
∴2－a≠0，即a≠2.
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