2.3.4 圆与圆的位置关系
学习目标 1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．
知识点 两圆位置关系
圆与圆位置关系的判定
(1)代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)，
联立方程，得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2
1
0
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
(2)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1，r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × )
2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．
( × )
4．若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.( √ )
一、两圆的位置关系
例1 (1)圆(x＋2)2＋(y－2)2＝1与圆(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系为________．
答案 外切
解析 两圆的圆心分别为O1(－2,2)，O2(2,5)，半径分别为r1＝1，r2＝4，
所以|O1O2|＝＝5＝r1＋r2，
所以两圆相外切．
(2)当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：
①外切；②相交；③外离．
解 将两圆方程写成标准形式，
则C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，
r2＝2.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
①当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2；
②当1③当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆相离，
此时a>2或a<－5.
反思感悟 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径．
②计算两圆圆心的距离d.
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合．
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，但要理清圆心距与两圆半径的关系．
跟踪训练1 (1)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为( )
A．1或3
B．4
C．0
D．2
答案 D
解析 对两个圆的方程配方得圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1及圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝，
则圆心距d＝|C1C2|＝＝，1－<<1＋，
故两个圆相交，则这两个圆的公切线有2条．
(2)圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为________．
答案 ±3或±5
解析 由题意得，C1(0,0)，C2(a,0)，半径r1＝4，r2＝1.
圆C1与圆C2的圆心距为d＝＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.
综上，a的值为±5或±3.
二、两圆的公共弦问题
例2 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，得
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5，
圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝.
又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，
|r1－r2|＝|5－|，
∴|r1－r2|<|C1C2|(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)方法一 由(2)知，圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3，
∴公共弦长为l＝2＝2＝2.
方法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
解得或
∴|AB|＝＝2.
即公共弦长为2.
反思感悟 (1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
跟踪训练2 (1)已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________________．
答案 (－2，－1)
解析 将点P的坐标代入两圆方程得r2＝5，R2＝17，
∴两圆方程相减得PQ方程为x－y＋1＝0，
再联立
解得或
故点Q坐标为(－2，－1)．
(2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
答案 1
解析 两圆方程相减得公共弦所在直线方程为2ay－2＝0，
即y＝.
又直线y＝与圆x2＋y2＝4相交的弦长为2，
则2＋()2＝4，
即a＝1(舍负)．
圆系方程的应用
典例 求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．
解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－x－y－6＝0，
所以圆心坐标为.
又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－－4＝0，
即λ＝－.
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
方法二 由
得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.
由解得
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)，
线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，
由得
即所求圆的圆心坐标为(3，－1)，
半径为＝4.
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
[素养提升] (1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，λ≠－1，然后用待定系数法求出λ即可．
(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养．
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．外离
答案 B
解析 圆x2＋y2－1＝0的圆心为C1(0,0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心为C2(2，－1)，半径为r2＝3，两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝＝，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r12．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0
B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
答案 C
解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心坐标(2，－3)代入，即可排除A，B，D.
3．已知圆x2＋y2＝1与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相外切，则r等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 B
解析 依题意得，r＋1＝3，∴r＝2.
4．两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为( )
A．5
B．5
C．10
D．10
答案 D
解析 两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－10＝0，
圆x2＋y2－10x－10y＝0可化为(x－5)2＋(y－5)2＝50，
r＝5.
∴圆心(5,5)到直线4x＋3y－10＝0的距离d＝＝5，
所求弦长为2＝2＝10.
5．圆C的圆心在直线x＋y＝0上，且过圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点，则圆C的方程为________________．
答案 x2＋y2＋6x－6y＋8＝0
解析 设圆C方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)，
整理得(λ＋1)x2＋(λ＋1)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，
圆心坐标为，
代入x＋y＝0有－－＝0，
解得λ＝－2.
故所求圆C方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
1．知识清单：
(1)两圆位置关系的判定及应用．
(2)两圆的公共弦方程及公共弦长．
(3)圆系方程的应用．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：忽略两圆相切包含外切与内切两种情况．
1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是( )
A．外切
B．内切
C．相交
D．外离
答案 B
解析 圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r1＝6，圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，所以圆心距d＝＝5＝6－1＝r1－r2，所以两圆内切．
2．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为( )
A．(1,0)和(0,1)
B．(1,0)和(0，－1)
C．(－1,0)和(0，－1)
D．(－1,0)和(0,1)
答案 C
解析 由
解得或
所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．
3．圆x2＋y2＝4与圆(x－4)2＋(y－7)2＝1公切线的条数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案 D
解析 圆x2＋y2＝4的圆心O1(0,0)，半径r1＝2，
圆(x－4)2＋(y－7)2＝1的圆心O2(4,7)，半径r2＝1，
则d＝|O1O2|＝＝>r1＋r2＝3.
所以这两圆的位置关系是外离，有4条公切线．
4．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长为( )
A.
B.
C．5
D.
答案 A
解析 由题意将圆C1和圆C2的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1,1)，
其到直线l的距离为d＝＝，
由已知条件知，r2－d2＝－＝(r为圆C3的半径)，
所以弦长为2×＝.
5．(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A．内切
B．相交
C．外离
D．外切
答案 CD
解析 两圆的圆心距为d＝＝，
两圆的半径之和为r＋4，
因为所以两圆不可能外切或外离．
6．(多选)已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是( )
A．(x－4)2＋(y＋3)2＝16
B．(x－4)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－4)2＋(y＋3)2＝36
D．(x－4)2＋(y＋3)2＝9
答案 AC
解析 设圆C的半径为r，
圆心距为d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
7．圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦所在直线方程为_________；公共弦长为________．
答案 x－y＋1＝0 2
解析 由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得点C1(1,0)到直线l的距离为d＝＝，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2＝2＝2.
8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为_____________．
答案 x2＋y2－x－y－＝0
解析 由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0.
9．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
圆心为C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意可知
解得或
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
10．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为和.
且61－m>0，即m<61.
(1)当两圆外切时，
＝＋，
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，
∴公共弦长为2
＝2.
11．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则半径r满足的条件是( )
A．r<＋1
B．r>＋1
C．|r－|≤1
D．|r－|<1
答案 C
解析 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，
得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，
两圆圆心之间的距离为＝.
∵两圆有公共点，∴|r－1|≤
≤r＋1，
∴－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.
12．如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1,3)
B．(－3，－3)
C．[－1,1]
D．(－3，－1]∪[1,3)
答案 A
解析 依题意，圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆M：x2＋y2＝2有两个交点，即两圆相交．
又|CM|＝＝|a|，
2－<|a|<2＋，
即1<|a|<3.
故－313．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5
B．1
C．3－5
D．3＋5
答案 C
解析 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆外离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.
14．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．
答案 4
解析 如图所示，由于⊙O与⊙O1在点A处的切线互相垂直，
因此OA⊥O1A，
所以|OO1|＝＝5.
又OO1垂直平分AB，设线段AB与x轴的交点为C，
在△AOO1中，|OO1|·|AC|＝|OA|·|O1A|，
所以|AC|＝＝＝2，
故|AB|＝2|AC|＝4.
15．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A．4
B．4
C．8
D．8
答案 C
解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．
设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
16．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程．
解 由两圆的方程相减，
得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.
∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，
∴两圆心连线所在直线的方程为＝，
即x＋y＋2＝0.
由得所求圆的圆心坐标为(－1，－1)．
又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离d＝＝，
∴所求圆的半径r＝＝1，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.(共52张PPT)
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用
上述方法判定两圆的位置关系.
3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 两圆位置关系
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数
2组
1组
0组
两圆的公共点个数
2
1
0
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
(2)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
?
?
?
?
?
d与r1，r2的关系
_________
_________
__________
_______
_________
_________
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
2.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
3.从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( )
4.若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.( )
×
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、两圆的位置关系
例1 (1)圆(x＋2)2＋(y－2)2＝1与圆(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系为______.
外切
解析 两圆的圆心分别为O1(－2,2)，O2(2,5)，半径分别为r1＝1，r2＝4，
所以两圆相外切.
(2)当a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0：
①外切；
解 将两圆方程写成标准形式，
则C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2；
②相交；
解 当1此时－5③外离.
解 当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆相离，
此时a>2或a<－5.
反思感悟
(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①将圆的方程化成标准形式，写出圆心和半径.
②计算两圆圆心的距离d.
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可数形结合.
(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求参数的范围是非常简单清晰的，但要理清圆心距与两圆半径的关系.
跟踪训练1 (1)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为
A.1或3
B.4
C.0
D.2
√
故两个圆相交，则这两个圆的公切线有2条.
(2)圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为_________.
±3或±5
解析 由题意得，C1(0,0)，C2(a,0)，半径r1＝4，r2＝1.
当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；
当两圆内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.
综上，a的值为±5或±3.
二、两圆的公共弦问题
例2 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
解 将两圆方程配方化为标准方程，
得C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴|r1－r2|<|C1C2|(2)求公共弦所在的直线方程；
解 将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)求公共弦的长度.
反思感悟
(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
跟踪训练2 (1)已知两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为_____________.
(－2，－1)
解析 将点P的坐标代入两圆方程得r2＝5，R2＝17，
∴两圆方程相减得PQ方程为x－y＋1＝0，
故点Q坐标为(－2，－1).
(2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为
，则a＝____.
1
解析 两圆方程相减得公共弦所在直线方程为2ay－2＝0，
即a＝1(舍负).
核心素养之数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
YUN
SUAN
圆系方程的应用
典例 求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程.
解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)，
线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，
即所求圆的圆心坐标为(3，－1)，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
素养提升
(1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，λ≠－1，然后用待定系数法求出λ即可.
(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1.两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是
A.内切
B.相交
C.外切
D.外离
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是
A.x＋y＋3＝0
B.2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0
D.4x－3y＋7＝0
√
解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心坐标(2，－3)代入，即可排除A，B，D.
3.已知圆x2＋y2＝1与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相外切，则r等于
A.1
B.2
C.3
D.4
1
2
3
4
5
√
解析 依题意得，r＋1＝3，∴r＝2.
4.两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为
1
2
3
4
5
√
解析 两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－10＝0，
圆x2＋y2－10x－10y＝0可化为(x－5)2＋(y－5)2＝50，
5.圆C的圆心在直线x＋y＝0上，且过圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的交点，则圆C的方程为_____________________.
1
2
3
4
5
x2＋y2＋6x－6y＋8＝0
解析 设圆C方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0(λ≠－1)，
整理得(λ＋1)x2＋(λ＋1)y2＋(2λ－2)x＋(2λ＋10)y－8λ－24＝0，
故所求圆C方程为x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.
解得λ＝－2.
1.知识清单：
(1)两圆位置关系的判定及应用.
(2)两圆的公共弦方程及公共弦长.
(3)圆系方程的应用.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：忽略两圆相切包含外切与内切两种情况.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是
A.外切
B.内切
C.相交
D.外离
√
解析 圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r1＝6，圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为
A.(1,0)和(0,1)
B.(1,0)和(0，－1)
C.(－1,0)和(0，－1)
D.(－1,0)和(0,1)
√
所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1).
3.圆x2＋y2＝4与圆(x－4)2＋(y－7)2＝1公切线的条数为
A.1
B.2
C.3
D.4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 圆x2＋y2＝4的圆心O1(0,0)，半径r1＝2，
圆(x－4)2＋(y－7)2＝1的圆心O2(4,7)，半径r2＝1，
所以这两圆的位置关系是外离，有4条公切线.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 由题意将圆C1和圆C2的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1,1)，
5.(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是
A.内切
B.相交
C.外离
D.外切
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
两圆的半径之和为r＋4，
所以两圆不可能外切或外离.
6.(多选)已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是
A.(x－4)2＋(y＋3)2＝16
B.(x－4)2＋(y＋3)2＝25
C.(x－4)2＋(y＋3)2＝36
D.(x－4)2＋(y＋3)2＝9
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 设圆C的半径为r，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
7.圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦所在直线方程为_____________；公共弦长为______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x－y＋1＝0
解析 由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，
圆C1的半径为r1＝3，
8.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为______
_________________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
x2＋y2
解析 由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，
解 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
圆心为C(1,0)，半径为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
解 两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
且61－m>0，即m<61.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合运用
11.若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则半径r满足的条件是
√
解析 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，
得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离均为
，则实数a的取值范围是
A.(－3，－1)∪(1,3)
B.(－3，－3)
C.[－1,1]
D.(－3，－1]∪[1,3)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 依题意，圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆M：x2＋y2＝2有两个交点，即两圆相交.
即1<|a|<3.
故－31
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是
√
解析 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，
即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；
圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，
即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆外离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝
－5.
14.若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为_____.
4
解析 如图所示，由于⊙O与⊙O1在点A处的切线互相垂直，
因此OA⊥O1A，
又OO1垂直平分AB，设线段AB与x轴的交点为C，
在△AOO1中，|OO1|·|AC|＝|OA|·|O1A|，
故|AB|＝2|AC|＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
15.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.
设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
16.已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解 由两圆的方程相减，
∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，
即x＋y＋2＝0.
得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16