(共56张PPT)
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆
标准方程的推导与化简过程.
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 椭圆的定义
1.如果F1，F2是平面内的两个
，a是一个常数，且2a
|F1F2|，则平面内满足
的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的
，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的
.
2.椭圆的定义用集合语言叙述为M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a,2a>|F1F2|}.
思考 在椭圆定义中，如果2a≤|F1F2|，点P的轨迹会是什么图形？
答案 当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，动点P的轨迹不存在.
定点
>
|PF1|＋|PF2|＝2a
焦点
焦距
知识点二 椭圆的标准方程
?
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
________________
________________
图形
?
?
焦点坐标
_______________
_______________
焦距
___
a，b，c的关系
a>b>0，a>c>0，a2＝______
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
2c
b2＋c2
思考 如何根据椭圆的标准方程判断其焦点位置？
答案 比较x2，y2的分母，x2的分母大时，焦点在x轴上，反之在y轴上.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( )
2.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.( )
3.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.
( )
4.方程x2＋
＝1表示焦点在y轴上的椭圆.( )
×
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、椭圆的定义
例1 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹.
解 方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.
因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，
根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，
所以动点M的轨迹是椭圆.
反思感悟
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件.
跟踪训练1 (1)下列命题是真命题的是_____.(将所有真命题的序号都填上)
①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝
的点P的轨迹为椭圆；
②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；
③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.
②
②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；
③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).
(2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是
A.圆
B.椭圆
C.线段
D.射线
√
解析 连接EA，∵CD垂直平分AB，
∴|EB|＝|EA|，设圆的半径为r，
则|EO|＋|EA|＝|EO|＋|EB|＝r>|OA|，
故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，故选B.
二、求椭圆的标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
解 因为椭圆的焦点在y轴上，
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
解 因为椭圆的焦点在y轴上，
由椭圆的定义知，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
反思感悟
求椭圆标准方程的方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件.
(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.
√
(2)椭圆的两个焦点分别为(0，－4)和(0,4)，且椭圆上一点P到两焦点的距离
之和为10，则椭圆的标准方程为___________.
解析 依题意，c＝4，且焦点在y轴上，
又∵2a＝10，∴a＝5，
∴b2＝a2－c2＝9，
三、椭圆定义及标准方程的应用
例3 (1)已知△ABC的顶点B，C在椭圆
＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，求△ABC的周长.
解 如图所示，A为椭圆的左焦点，设F2为椭圆的右焦点，
∴|CA|＋|CF2|＝2a，
|BA|＋|BF2|＝2a，
相加有|CA|＋|BA|＋|BC|＝4a，
即△ABC的周长为4a.
(2)已知P是椭圆
＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2
＝30°，求△F1PF2的面积.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos
30°，
反思感悟
在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数.
在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.
跟踪训练3 (1)若椭圆
＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且
∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为
A.9
B.12
C.15
D.18
√
解析 依题意a＝5，b＝3，∴c＝4，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝64，
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝100，
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝100，
∴|PF1|·|PF2|＝18，
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
又∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝120°.
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知椭圆
＝1上一点M到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M到
另一个焦点的距离等于
A.1
B.3
C.6
D.10
√
1
2
3
4
5
解析 由椭圆方程可得a2＝25，所以2a＝10，
由椭圆定义可得点M到另一焦点的距离等于6.
2.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是
√
解析 依题意2c＝6,2a＝10，
即a＝5，c＝3，b＝4，
但该椭圆的焦点位置不明确，
1
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3
4
5
1
2
3
4
5
3.已知经过椭圆
＝1的右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，则△AF1B的周长等于
A.20
B.10
C.16
D.8
√
所以由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
所以△ABF1周长为|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝20.
1
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3
4
5
4.如果方程
＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是
A.(3，＋∞)
B.(－∞，－2)
C.(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D.(－6，－2)∪(3，＋∞)
√
解得－6
3.
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3
4
5
椭圆
所以|PA|＋|PB|＝8>4，
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.
1.知识清单：
(1)椭圆的定义.
(2)椭圆的标准方程.
(3)椭圆定义及标准方程的应用.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：
(1)椭圆定义中2a>|F1F2|易忽视；
(2)易忽视椭圆的标准方程有两种情况.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
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A.(±5,0)
B.(0，±5)
C.(0，±12)
D.(±12,0)
√
解析 椭圆的焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，
所以c2＝a2－b2＝144，
所以c＝12，故焦点坐标为(0，±12).
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2.已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为
A.－1
B.1
C.
D.－
√
3.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是
√
解析 由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，可得|AB|＋|AC|＝12>|BC|，
所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a＝12,2c＝8，所以a＝6，c＝4.
因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，所以x≠0，
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√
解析 由已知得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，|F1F2|＝2c＝12.
由余弦定理，知(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos
60°，
即144＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，
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5.(多选)使方程
＝1表示椭圆的m的值可以是
A.2
B.3
C.4
D.0
√
√
√
解得－11
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6.(多选)已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，则椭圆的标准方程为
√
√
解析 依题意，不妨令|PF1|＝5，|PF2|＝3，
且△PF2F1为直角三角形，
∴|F1F2|2＝|PF1|2－|PF2|2＝52－32＝16，
∴|F1F2|＝4，∴c＝2，
故2a＝|PF1|＋|PF2|＝8，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
又椭圆的焦点位置不明确，
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8.设P是椭圆
＝1上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则|PF1|·|PF2|
的最大值是_____，此时点P的坐标为__________.
16
(0，±3)
解析 由题意知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时取“＝”，
故|PF1|·|PF2|的最大值是16.
∵|PF1|＝|PF2|＝4，∴点P的坐标为(0，±3).
9.求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
解 由焦距是4可得c＝2，
且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).
由椭圆的定义知，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
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(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解 由题意知，2a＝26，即a＝13，
又c∶a＝5∶13，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
10.已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
解 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>|MN|.
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综合运用
11.椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m√
因为m所以焦点在y轴上，
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在△F1MF2中，由m2＋n2＝4c2，
得(m＋n)2－2mn＝4c2，根据椭圆的定义有m＋n＝2a，
所以2mn＝4a2－4c2，故mn＝2b2，即mn＝2，
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13.已知椭圆
＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，
O为坐标原点，那么线段ON的长是_____.
4
解析 设椭圆的另一个焦点为E，
则|MF|＋|ME|＝10，
又∵|MF|＝2，
∴|ME|＝8，又ON为△MEF的中位线，
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14.已知P为椭圆
＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2
＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为_____.
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解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，
且|PF1|＋|PF2|＝10，
从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
拓广探究
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解析 由已知得F(c,0)，A(a,0)，B(0,2)，
解得a2＝8，b2＝4.
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∵sin2
∠F1PF2＋cos2
∠F1PF2＝1，