再练一课(范围：§1.1～§1.4)
1．已知A(1,5,
－2)，B(2,4,1)，C(x，3，y＋2)，且A，B，C三点共线，则实数x，y的值分别为( )
A．3，－3
B．6，－1
C．3,2
D．－2,1
答案 C
解析 ＝(1，－1,3)，＝(x－1，－2，y＋4)．
∵A，B，C三点共线，∴＝＝，∴x＝3，y＝2.
2．在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(x，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于( )
A．2
B．0
C．1
D．3
答案 C
解析 ＝(1,1,0)，＝(－1，－1，－2)，
由a为平面ABC的法向量知
即
令x＝－1，则y＝1，∴y2＝1.
3．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 因为a－b＝(－1－t，1－2t，0)，
所以|a－b|＝＝，
由配方法可求得最小值为.
4．已知两平面的法向量分别为m＝(0，，0)，n＝(，，2)，则两平面的夹角为( )
A．60°
B．120°
C．30°
D．90°
答案 A
解析 因为cos〈m，n〉＝＝＝，所以〈m，n〉＝60°.
5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，
则＝，＝，
因为·＝，||＝，||＝，
所以cos〈，〉＝.
6．a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积是________．
答案 6
解析 cos〈a，b〉＝＝－，得sin〈a，b〉＝，
由公式S＝|a||b|sin
〈a，b〉可得结果为6.
7.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝2，则
SC
与
AB
所成角的大小为________．
答案
60°
解析 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，所以·＝0
，
又AB⊥BC，AB＝BC＝2，所以∠BAC＝45°，AC＝2.
因此·＝||||cos
45°＝2×2×＝4.
所以·＝(－)·＝·－·＝4，
又SA＝2
，所以SC＝＝4，
因此cos〈，〉＝＝＝，
所以SC与AB所成角的大小为60°
.
8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且AM＝MC1，N为BB1的中点，则MN的长为________．
答案 a
解析 以A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则M，N，所以＝，
所以||＝＝.
9.如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
求证：(1)BC1⊥AB1；
(2)BC1∥平面CA1D.
证明 如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)由于＝(0，－2，－2)，
＝(－2,2，－2)，
因此·＝0－4＋4＝0，
因此⊥，
故BC1⊥AB1.
(2)取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，
所以＝(0,1,1)，
又＝(0，－2，－2)，
所以＝－，
又ED和BC1不共线，所以ED∥BC1，
又DE?平面CA1D，BC1?
平面CA1D，
故BC1∥平面CA1D.
10．如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．
解 依题意可得P，
设点Q(0,1，z)(0≤z≤1)，则
||＝
＝，
所以当z＝时，|PQ|min＝，
此时Q，Q恰为CD的中点．
所以|PQ|的最小值为.
11．在正方体ABCD
－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面BDC1夹角的余弦值等于________．
答案
解析 设正方体棱长为1，以，，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
求出平面A1BD与平面C1BD的法向量分别为n1＝(1，－1，－1)，n2＝(－1,1，－1)．
∴平面A1BD与平面BDC1夹角的余弦值|cos〈n1，n2〉|＝＝.
12．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．
答案 3
解析 以C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，
所以＝(－4,3,0)，＝.
所以点P到AB的距离为＝3.
13.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA＝4，OB＝3，OP＝4，OP⊥底面ABCD.设点M满足＝λ(λ>0)，当λ＝时，直线PA与平面BDM所成角的正弦值是________．
答案
解析 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则＝(4,0，－4)，＝(0,6,0)，＝(－4,3,0)．
当λ＝时，得M，
所以＝.
设平面DBM的法向量为n＝(x，y，z)，
则
解得y＝0，令x＝2，则z＝1，所以n＝(2,0,1)．
因为cos〈，n〉＝＝＝，
所以直线PA与平面BDM所成角的正弦值为.
14．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为________．
答案 1
解析 如图建立空间直角坐标系，
令CE＝m，DF＝n，
∴B1(1,1,0)，E(m，1,1)，A(1,0,1)，F(0,0,1－n)，B(1,1,1)，
∴＝(m－1,0,1)，＝(－1,0，－n)，＝(0,1,0)，
∵B1E⊥平面ABF，
∴
∴
即m＋n＝1，∴CE＋DF＝1.
15.如图，过边长为1的正方体ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE夹角的大小是( )
A．120°
B．45°
C．135°
D．60°
答案 B
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则有
可取n＝(1,0,1)．
又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，
所以cos
〈n，〉＝＝，
故平面ADE与平面BCE的夹角为45°.
16.如图，在四棱锥E－ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2.
(1)证明：BD⊥平面AED；
(2)求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值．
(1)证明 因为BC⊥CD，BC＝CD＝2，
所以BD＝2.
又因为EA⊥ED，EA＝ED＝2，
所以AD＝2.
又因为AB＝4，由勾股定理知BD⊥AD.
又因为平面EAD⊥平面ABCD，
平面EAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面AED.
(2)解 如图，取AD的中点O，连接OE，则OE⊥AD.
因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，
所以OE⊥平面ABCD.
取AB的中点F，连接OF，则OF∥BD.
因为BD⊥AD，所以OF⊥AD.
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则D(－，0,0)，C(－2，，0)，E(0,0，)，
＝(－，，0)，＝(，0，)．
设平面CDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
则所以
令x＝1，可得平面CDE的一个法向量n1＝(1,1，－1)．
又平面ADE的一个法向量为n2＝(0,1,0)．
因此|cos〈n1，n2〉|＝＝.
所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为.(共29张PPT)
1.已知A(1,5,
－2)，B(2,4,1)，C(x，3，y＋2)，且A，B，C三点共线，则实数x，y的值分别为
A.3，－3
B.6，－1
C.3,2
D.－2,1
√
基础巩固
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2.在平面ABCD中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(x，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y2等于
A.2
B.0
C.1
D.3
√
由a为平面ABC的法向量知
令x＝－1，则y＝1，∴y2＝1.
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3.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为
√
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解析 因为a－b＝(－1－t，1－2t，0)，
A.60°
B.120°
C.30°
D.90°
√
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所以〈m，n〉＝60°.
5.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为
√
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解析 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
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6.a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积是____.
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7.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝
，则SC与AB所成角的大小为________.
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60°
所以SC与AB所成角的大小为60°
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8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且AM＝
MC1，N为BB1的中点，则MN的长为______.
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9.如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.
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求证：(1)BC1⊥AB1；
证明 如图，以C1为原点，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AC＝BC＝BB1＝2，则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2).
故BC1⊥AB1.
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(2)BC1∥平面CA1D.
证明 取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，
又ED和BC1不共线，所以ED∥BC1，
又DE?平面CA1D，BC1?
平面CA1D，
故BC1∥平面CA1D.
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10.如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值.
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设点Q(0,1，z)(0≤z≤1)，则
此时Q，Q恰为CD的中点.
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11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面BDC1夹角的余弦值等于
_____.
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综合运用
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求出平面A1BD与平面C1BD的法向量分别为
n1＝(1，－1，－1)，n2＝(－1,1，－1).
∴平面A1BD与平面BDC1夹角的余弦值
12.直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝
，则点P到斜边AB的距离是____.
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解析 以C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
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设平面DBM的法向量为n＝(x，y，z)，
解得y＝0，令x＝2，则z＝1，所以n＝(2,0,1).
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14.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为_____.
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解析 如图建立空间直角坐标系，
令CE＝m，DF＝n，
∴B1(1,1,0)，E(m，1,1)，A(1,0,1)，F(0,0,1－n)，B(1,1,1)，
即m＋n＝1，∴CE＋DF＝1.
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15.如图，过边长为1的正方体ABCD的顶点A作线段EA⊥平面ABCD，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE夹角的大小是
A.120°
B.45°
C.135°
D.60°
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拓广探究
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
可取n＝(1,0,1).
故平面ADE与平面BCE的夹角为45°.
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16.如图，在四棱锥E－ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2.
(1)证明：BD⊥平面AED；
又因为AB＝4，由勾股定理知BD⊥AD.
又因为平面EAD⊥平面ABCD，
平面EAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面AED.
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(2)求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值.
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解 如图，取AD的中点O，连接OE，则OE⊥AD.
因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，
所以OE⊥平面ABCD.
取AB的中点F，连接OF，则OF∥BD.
因为BD⊥AD，所以OF⊥AD.
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
设平面CDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
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令x＝1，可得平面CDE的一个法向量n1＝(1,1，－1).
又平面ADE的一个法向量为n2＝(0,1,0).
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