再练一课(范围：§3.1)
1．若点A(a，1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－
B．a<－或a>
C．－2D．－1答案 A
解析 由题意知＋<1，
解得－2．若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 依题意，2c＝2b，
所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，
所以e2＝，又0＜e＜1，
所以e＝.
3．焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
答案 C
解析 由题意，知2b＝8，得b＝4，所以b2＝a2－c2＝16.又e＝＝，
解得c＝3，a＝5.又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1.
4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1)
B.
C.
D.
答案 C
解析 ∵·＝0，∴⊥，
∴点M在以F1F2为直径的圆上，
又点M总在椭圆的内部，
∴c∴<，即<.
又05．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 依题意得＝，所以c＝2b，
所以a＝＝b，
所以e＝＝＝.
6．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则它的离心率为________．
答案
解析 由题意，得m2＝9＋42＝25，因为m＞0，所以m＝5，所以椭圆的离心率为.
7．已知椭圆的焦点在y轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为__________．
答案 ＋x2＝1
解析 由题意，知2a＝8,2c＝2，所以a＝4，c＝，所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋x2＝1.
8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，则椭圆C的方程为__________．
答案 ＋y2＝1
解析 由题意知＝，
可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可化简为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±，
因此×＝，可得a＝2.
因此b＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
9．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.
解 (1)由焦距是4可得c＝2，又焦点在y轴上，则焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．
由椭圆的定义，知2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意，知2a＝26，即a＝13，
又e＝＝，所以c＝5，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知椭圆C与直线x－y＋m＝0相交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求实数m的取值范围．
解 (1)由题意知e＝＝，2c＝2，解得a＝，c＝1，又a2－b2＝c2，所以a2＝2，b2＝1.
故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)联立
消去y可得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
则Δ＝16m2－12(2m2－2)>0?－设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
则y1＋y2＝.
所以MN的中点坐标为，
因为MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，
所以2＋2≥1?m≥或m≤－，
综上，可知－11．已知F为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，点F关于直线x＋y＝0的对称点A在椭圆C上，则椭圆C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 设F(－c，0)，由题意知点A的坐标为(0，c)，因为点A在椭圆C上，所以b＝c，
所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝c，所以椭圆C的离心率为＝＝.故选B.
12．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2
B．1
C．0
D．0或1
答案 A
解析 由题意，得>2，所以m2＋n2<4，
所以点P(m，n)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，
所以点P(m，n)在椭圆＋＝1内，
则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有2个交点．
故选A.
13．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则·的值等于( )
A．0
B．2
C．4
D．－2
答案 D
解析 由题意得c＝＝，
又＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
所以当h＝b＝1时，取最大值，此时∠F1PF2＝120°.
所以·＝||·||
·cos
120°＝2×2×＝－2.
14．已知椭圆＋＝1(0答案
解析 由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，
因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以AB的最小值为3，
当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A，B，
代入椭圆方程得＋＝1，
又c2＝a2－b2＝4－b2，所以＋＝1，即1－＋＝1，所以＝，解得b2＝3，
所以b＝.
15．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是________．
答案
解析 由消去y得，
(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N
(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝，
所以x0＝，
代入y＝1－x得y0＝.
由题意知＝，所以＝.
16．已知椭圆C：＋y2＝1.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于A，B两点，则是否存在实数k，使得以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意，知a2＝3，b2＝1，则a＝，c＝＝，
所以椭圆C的离心率为＝＝.
(2)假设存在实数k满足条件，
由得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，
所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，即k＞1或k＜－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
而y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.
要使以AB为直径的圆过点E(－1,0)，只需AE⊥BE，
即·＝0，即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0，
所以(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.②
将①代入②，解得k＝，满足题意．
综上，存在k＝，使得以AB为直径的圆过点E.(共26张PPT)
√
基础巩固
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2.若椭圆的焦距与短轴长相等，则此椭圆的离心率为
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解析 依题意，2c＝2b，
所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，
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解析 由题意，知2b＝8，得b＝4，
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解得c＝3，a＝5.
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∴点M在以F1F2为直径的圆上，
又点M总在椭圆的内部，
∴c√
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解析 由题意，得m2＝9＋42＝25，因为m＞0，所以m＝5，
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7.已知椭圆的焦点在y轴上，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为8，焦距为
，则此椭圆的标准方程为__________.
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所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
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椭圆C的方程可化简为x2＋4y2＝a2.
因此b＝1.
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9.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；
解 由焦距是4可得c＝2，又焦点在y轴上，则焦点坐标为(0，－2)，(0,2).
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
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解 由题意，知2a＝26，即a＝13，
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所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
(1)求椭圆C的方程；
又a2－b2＝c2，所以a2＝2，b2＝1.
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(2)已知椭圆C与直线x－y＋m＝0相交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求实数m的取值范围.
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因为MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，
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解析 设F(－c，0)，由题意知点A的坐标为(0，c)，
因为点A在椭圆C上，所以b＝c，
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综合运用
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A.2
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所以点P(m，n)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，
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B.2
C.4
D.－2
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所以当h＝b＝1时，
取最大值，此时∠F1PF2＝120°.
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解析 由题意知a＝2，所以|BF2|＋|AF2|＋|AB|＝4a＝8，
因为|BF2|＋|AF2|的最大值为5，所以AB的最小值为3，
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拓广探究
设M(x1，y1)，N
(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，
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(1)求椭圆C的离心率；
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(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于A，B两点，则是否存在实数k，使得以AB为直径的圆过点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
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解 假设存在实数k满足条件，
所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，即k＞1或k＜－1.
而y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4.
要使以AB为直径的圆过点E(－1,0)，只需AE⊥BE，
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所以(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.
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