(共49张PPT)
1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴
与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.直线的倾斜角α的取值范围为
.
正向
0°≤α<180°
知识点二 直线的斜率
1.直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的
叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝
.
正切值
tan
α
2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
?
?
?
?
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
3.过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝
.
思考 任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
答案 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.任一直线都有倾斜角，都存在斜率.( )
2.任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )
3.若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.( )
4.经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线.( )
×
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、直线的倾斜角
例1 (1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是
A.0°≤α<90°
B.90°≤α<180°
C.90°<α<180°
D.0°<α<180°
√
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为
A.α＋45°
B.α－135°
C.135°－α
D.α－45°
√
√
解析 根据题意，画出图形，如图所示：
通过图象可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
反思感悟
直线倾斜角的概念和范围
(1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
跟踪训练1 (1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为__________.
60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为________.
135°
解析 设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，
所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.
二、直线的斜率
例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)求经过两点A(2,3)，B(4,5)的直线的斜率，并确定直线的倾斜角α；
即tan
α＝1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)求经过两点A(a，2)，B(3,6)的直线的斜率.
解 当a＝3时，斜率不存在；
反思感悟
求直线的斜率
(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的.
(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关.
跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为135°，则直线的斜率为_____.
－1
(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为_____.
1
三、倾斜角和斜率的应用
例3 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使l与线段AB有公共点，
则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解 由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，
又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
∴α的取值范围是45°≤α≤135°.
反思感悟
倾斜角和斜率的应用
(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.
(2)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
跟踪训练3 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
解 如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，
3
随堂演练
PART
THREE
1.(多选)下列说法正确的是
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
√
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√
√
2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是
A.(4,2)与(－4,1)
B.(0,3)与(3,0)
C.(3，－1)与(2，－1)
D.(－2,2)与(－2,5)
√
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5
解析 D项，因为x1＝x2＝－2，
所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在.
3.若经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于
A.2
B.1
C.－1
D.－2
√
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解析 设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，
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5.经过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是__________.(其中m≥1)
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0°<α≤90°
解析 当m＝1时，倾斜角α＝90°；
∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围.
(2)直线斜率的定义和斜率公式.
2.方法归纳：数形结合思想.
3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.若直线过坐标平面内两点(4,2)，(1,2＋
)，则此直线的倾斜角是
A.30°
B.150°
C.60°
D.120°
√
基础巩固
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∴直线的倾斜角为150°.
2.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为
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3.(多选)下列说法中，错误的是
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
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√
√
解析 A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；
B错，因为0°<α<90°时，k>0,90°<α<180°时，k<0；
C显然对；
若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，D错.
√
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5.直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是
A.0°≤α≤90°
B.90°≤α<180°
C.90°≤α<180°或α＝0°
D.90°≤α≤135°
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6.已知三点A(a，2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，实数a的值为________.
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解析 ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，
7.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________.
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30°
解析 因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，
8.已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________________.
(3,0)或(0，－3)
解析 若点P在x轴上，设点P的坐标为P(x，0)，
∴x＝3，即P(3,0).
若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，y)，
∴y＝－3，即P(0，－3).
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9.过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)的直线的倾斜角为135°，求m的值.
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解 依题意可得，直线的斜率为－1，
又直线过两点A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)，
经检验m＝－1不合题意，故m＝－2.
证明 由于A，B，C三点共线，
所以此直线的斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，C两点的坐标表示，
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11.已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是
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综合运用
解析 如图，kOA＝2，kl′＝0，
只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0,2].
故直线l的斜率k的最大值为2.
12.若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为____________________.
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(－∞，1)∪(1，＋∞)
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
13.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是________.
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k1解析 由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的倾斜角大.∴k114.已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角形OAB的直角顶点，点A在第一象限，
∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为_____.
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解析 如图，设直线AB与x轴的交点为C，
则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC
＝180°－45°－105°＝30°.
15.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是______________________.
拓广探究
(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析 ∵直线l与线段AB有公共点，
∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，
当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；
当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA.
∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).
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∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2).
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