2．2.2 直线的两点式方程
学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标．
知识点 直线的两点式方程和截距式方程
名称
两点式
截距式
条件
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
(x1≠x2，y1≠y2)
在x，y轴上的截距分别为a，b
(
a≠0，b≠0)
示意图
方程
＝
＋＝1
适用范围
斜率存在且不为0
斜率存在且不为0，不过原点
思考1 过点(x0，y0)且斜率为0的直线有两点式方程吗？
答案 没有．其方程为y＝y0.
思考2 方程－＝1是直线的截距式方程吗？
答案 不是．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.
1．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．( × )
2．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．( √ )
3．直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.( √ )
4．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
一、直线的两点式方程
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边所在的直线方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解 (1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)设BC的中点为M(a，b)，
则a＝＝，b＝＝－3，
所以M，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以＝，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
延伸探究
若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程．
解 kBC＝＝－，
则BC边的垂直平分线的斜率为，
又BC的中点坐标为，
由点斜式方程可得y＋3＝，
即10x－4y－37＝0.
反思感悟 利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式．
(2)
若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
跟踪训练1 (1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为________．
答案 4x＋5y＋3＝0
解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
所以＝，所以＝，
化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程．
解 由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．
(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，
即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
二、直线的截距式方程
例2 求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0.
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
延伸探究 (变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0，符合题意．
(2)当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，
又l过点(5,2)，∴＋＝1，解得a＝.
∴l的方程为x＋2y－9＝0.
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.
反思感悟 截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
跟踪训练2 (多选)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( )
A．y＝x
B．x＋y＝5
C．y＝－x
D．x＋y＋5＝0
答案 AB
解析 设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.
当a＝b≠0时，直线方程为＋＝1，
∴＋＝1，∴a＝5，∴x＋y＝5，
当a＝b＝0时，k＝，∴y＝x，
综上所述，y＝x和x＋y＝5.
直线方程的灵活应用
典例 已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x＝0，y＝x.
(1)求直线BC的方程；
(2)求直线AB的方程．
解 如图．
(1)因为∠ABC，∠ACB的平分线方程分别是x＝0，y＝x，
所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称．
A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，
A关于y＝x的对称点A″(－1,3)也在直线BC上．
由两点式求得直线BC的方程为y＝2x＋5.
(2)因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，
所以直线AB与BC的斜率互为相反数，
由(1)知直线BC的斜率为2，
所以直线AB的斜率为－2，
又因为点A的坐标为(3，－1)，
所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，
即2x＋y－5＝0.
[素养提升] (1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称．
(2)画出图形，借助图形分析A关于直线x＝0的对称点A′在BC上，A关于y＝x的对称点A″也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养．
(3)分别求出A′，A″两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养．
1．在x轴，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.＋＝1
答案 A
2．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( )
A．x＝2
B．y＝2
C．x＝3
D．x＝6
答案 B
解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
3．过坐标平面内两点P1(2,0)，P2(0,3)的直线方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝0
C.＋＝1
D.－＝1
答案 C
4．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________．
答案 2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，
可设直线方程为－＝1，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
5．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1,3)，
由直线的两点式方程可得＝，
即2x－y＋1＝0.
1．知识清单：
(1)直线的两点式方程．
(2)直线的截距式方程．
2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法．
3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解．
1．(多选)下列说法中不正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示
C．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式
D．不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式
答案 ABC
2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
答案 D
解析 由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0.
3．直线－＝1在y轴上的截距是( )
A．|b|
B．－b2
C．b2
D．±b
答案 B
解析 令x＝0，得y＝－b2.
4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( )
A．－
B．－
C.
D．2
答案 A
解析 由两点式＝，得y＝2x＋3，
令y＝0，得x＝－，即为在x轴上的截距．
5．若直线l过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1
010，b)在直线l上，则b的值为( )
A．2
021
B．2
020
C．2
019
D．2
018
答案 A
解析 由直线的两点式方程得直线l的方程为
＝，即y＝2x＋1，
令x＝1
010，则有b＝2×1
010＋1，即b＝2
021.
6．过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________．
答案 3x＋y－6＝0
解析 由题意知直线过点(2,0)，
又直线过点(1,3)，由两点式可得，＝，
整理得3x＋y－6＝0.
7．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是________________．
答案 ＋＝1
解析 设A(m，0)，B(0，n)，
由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，
则l的截距式方程是＋＝1.
8．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
答案 －2
解析 由直线方程的两点式，得＝，
即＝.
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，
∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
9．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
解 设直线方程的截距式为＋＝1.
则＋＝1，
解得a＝2或a＝1，
则直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
10．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线MN的截距式方程．
解 (1)设C(x0，y0)，
则AC边的中点为M，
BC边的中点为N，
因为M在y轴上，所以＝0，解得x0＝－5.
又因为N在x轴上，所以＝0，解得y0＝－3.
即C(－5，－3)．
(2)由(1)可得M，N(1,0)，
所以直线MN的截距式方程为＋＝1.
11．直线＋＝1过第一、三、四象限，则( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
答案 B
12．若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距都是负数，则( )
A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限
B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限
C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限
D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限
答案 B
解析 依题意知，直线l的截距式方程为＋＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.
13．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
答案 A
解析 两条直线化为截距式分别为＋＝1，＋＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合．
14．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为( )
A.＋＝1
B.－＝1
C.＋＝1
D.－＝1
答案 B
解析 A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即可设直线的截距式方程为＋＝1，将点(4,0)代入方程得a＝4，则该直线的方程为－＝1.
15．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
答案 3
解析 直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
16．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程．
解 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，
则直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.
∵|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，
∴直线方程为x＋y±6＝0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，
则在y轴上的截距为－a(a≠0)，
故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0.
∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6，∴直线方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.(共47张PPT)
1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.
2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.
3.会用中点坐标公式求线段的中点坐标.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 直线的两点式方程和截距式方程
名称
两点式
截距式
条件
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
(x1≠x2，y1≠y2)
在x，y轴上的截距分别为a，b
(
a≠0，b≠0)
示意图
?
?
方程
______________
__________
适用范围
________________
__________________________
斜率存在且不为0
斜率存在且不为0，不过原点
思考1 过点(x0，y0)且斜率为0的直线有两点式方程吗？
答案 没有.其方程为y＝y0.
答案 不是.截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.
2.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.( )
3.直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.( )
4.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、直线的两点式方程
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边所在的直线方程；
解 BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解 设BC的中点为M(a，b)，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
延伸探究
若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程.
即10x－4y－37＝0.
反思感悟
利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式.
(2)若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程.
跟踪训练1 (1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为______________.
4x＋5y＋3＝0
解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m，1)，求这条直线的方程.
解 由直线经过点A(1,0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.
(1)当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
(2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，
即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
二、直线的截距式方程
例2 求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，
(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，
又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0.
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
延伸探究 (变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？
解 (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，
∴l的方程为x＋2y－9＝0.
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.
反思感悟
截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.
跟踪训练2 (多选)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为
√
√
解析 设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.
核心素养之直观想象与数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
YU
SHU
XUE
YUN
SUAN
直线方程的灵活应用
典例 已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x＝0，y＝x.
(1)求直线BC的方程；
解 如图.
因为∠ABC，∠ACB的平分线方程分别是x＝0，y＝x，
所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称.
A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，
A关于y＝x的对称点A″(－1,3)也在直线BC上.
由两点式求得直线BC的方程为y＝2x＋5.
(2)求直线AB的方程.
解 因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，
所以直线AB与BC的斜率互为相反数，
由(1)知直线BC的斜率为2，
所以直线AB的斜率为－2，
又因为点A的坐标为(3，－1)，
所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，
即2x＋y－5＝0.
素养提升
(1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称.
(2)画出图形，借助图形分析A关于直线x＝0的对称点A′在BC上，A关于y＝x的对称点A″也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养.
(3)分别求出A′，A″两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1.在x轴，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是
√
1
2
3
4
5
2.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为
A.x＝2
B.y＝2
C.x＝3
D.x＝6
√
1
2
3
4
5
解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
3.过坐标平面内两点P1(2,0)，P2(0,3)的直线方程是
√
1
2
3
4
5
4.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_____________________.
1
2
3
4
5
2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
5.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为______________.
1
2
3
4
5
2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1,3)，
即2x－y＋1＝0.
1.知识清单：
(1)直线的两点式方程.
(2)直线的截距式方程.
2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.(多选)下列说法中不正确的是
A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示
B.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示
C.不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式
D.不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式
√
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
2.过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是
A.x＋y＋1＝0
B.x＋y－1＝0
C.x－y＋1＝0
D.x－y－1＝0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.|b|
B.－b2
C.b2
D.±b
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析 令x＝0，得y＝－b2.
4.过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
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5.若直线l过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1
010，b)在直线l上，则b的值为
A.2
021
B.2
020
C.2
019
D.2
018
√
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解析 由直线的两点式方程得直线l的方程为
令x＝1
010，则有b＝2×1
010＋1，即b＝2
021.
6.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________.
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3x＋y－6＝0
解析 由题意知直线过点(2,0)，
整理得3x＋y－6＝0.
7.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是_________.
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解析 设A(m，0)，B(0，n)，
由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，
8.若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝_____.
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－2
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，
∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
9.求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程.
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解得a＝2或a＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
10.在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
解 设C(x0，y0)，
即C(－5，－3).
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(2)直线MN的截距式方程.
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综合运用
A.a>0，b>0
B.a>0，b<0
C.a<0，b>0
D.a<0，b<0
√
12.若直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距都是负数，则
A.l的倾斜角为锐角且不过第二象限
B.l的倾斜角为钝角且不过第一象限
C.l的倾斜角为锐角且不过第四象限
D.l的倾斜角为钝角且不过第三象限
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显然直线l只能过第二、三、四象限，
而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.
√
假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合.
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14.在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为
√
解析 A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，
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15.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是____.
拓广探究
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16.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程.
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解 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，
∴直线方程为x＋y±6＝0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，
则在y轴上的截距为－a(a≠0)，
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∴a＝±6，∴直线方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.
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