(共51张PPT)
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 两条直线的交点
1.两直线的交点
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b).
(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有
.
(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有_________________
A1a＋B1b＋C1＝0
2.两直线的位置关系
方程组
的解
一组
无数组
_____
直线l1与l2的公共点的个数
一个
______
零个
直线l1与l2的位置关系
_____
重合
_____
无解
无数个
相交
平行
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.
( )
2.无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.( )
3.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.( )
4.在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交.( )
×
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、求相交直线的交点坐标
例1 (1)求经过点(2,3)且经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点的直线方程；
所以直线l1与l2的交点为(－2,2).
即x－4y＋10＝0.
(2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程.
因为所求直线和直线3x＋y－1＝0垂直，
即所求的直线方程为5x－15y－18＝0.
反思感悟
求两相交直线的交点坐标.
(1)求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组.
(2)解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.
跟踪训练1 (1)已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是
√
(2)经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是
A.2x＋y－8＝0
B.2x－y－8＝0
C.2x＋y＋8＝0
D.2x－y＋8＝0
√
二、直线系过定点问题
例2 无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标.
解 ∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴点P的坐标为(7,3).
反思感悟
解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直
线必过定点，其定点可由方程组
解得.若整理
成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).
跟踪训练2 已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限.
证明 将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.
所以无论a为何值，直线总经过第一象限.
核心素养之直观想象与数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
YU
SHU
XUE
YUN
SUAN
对称问题
典例 光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
解 设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1,1)，
所以反射光线所在直线的方程为
所以入射光线所在直线的方程为
素养提升
对称问题中的直观想象与数学运算
(1)可以通过直观想象理解对称问题中的点线位置关系.
(2)直线的对称可以转化为点的对称，其中的点、直线可以通过数学运算确定.
3
随堂演练
PART
THREE
1.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为
A.(3,2)
B.(2,3)
C.(－2，－3)
D.(－3，－2)
√
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5
2.直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
√
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5
∴交点(－1,1)在第二象限.故选B.
3.不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点
A.(－3，－1)
B.(－2，－1)
C.(－3,1)
D.(－2,1)
√
解析 直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，
∴直线l恒过定点(－3,1).故选C.
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4.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为_____________.
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2x＋y－4＝0
解析 设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
5.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝_____.
1
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4
5
又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，
1.知识清单：
(1)两条直线的交点.
(2)直线过定点.
2.方法归纳：消元法、加减消元法、直线系法.
3.常见误区：对两直线相交条件认识模糊：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是
A.(2,2)
B.(1,1)
C.(1,2)
D.(2,1)
√
基础巩固
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2.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为
A.(－4，－3)
B.(4,3)
C.(－4,3)
D.(3,4)
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3.经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且经过原点的直线的方程是
A.19x－9y＝0
B.9x＋19y＝0
C.3x＋19y＝0
D.19x－3y＝0
√
即3x＋19y＝0.
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4.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是
A.－24
B.6
C.±6
D.24
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解析 因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，
所以设交点为(0，b)，
5.当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一定点，这个定点是
√
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解析 直线化为a(x＋2)－x－y＋1＝0.
6.过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为_________.
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3x＋y＝0
则所求直线的方程为y＋3＝－3(x－1)，
即3x＋y＝0.
7.三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________.
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－1
又点(4，－2)在直线ax＋2y＋8＝0上，
所以4a＋2×(－2)＋8＝0，解得a＝－1.
8.已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝_____，c＝______，m＝____.
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－12
－2
解析 由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.
又点(1，m)在直线上得
a＋2m－1＝0,2－5m＋c＝0，
所以m＝－2，c＝－12.
9.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.
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10.若两条直线l1：y＝kx＋2k＋1和l2：x＋2y－4＝0的交点在第四象限，求k的取值范围.
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∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限，
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11.直线kx＋y＋1＝2k，当k变动时，所有直线都通过定点
A.(2，－1)
B.(－2，－1)
C.(2,1)
D.(－2,1)
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综合运用
解析 kx＋y＋1＝2k，可化为y＋1＝k(2－x)，
故该直线恒过定点(2，－1).
12.若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是
A.a＝1或a＝－2
B.a≠±1
C.a≠1且a≠－2
D.a≠±1且a≠－2
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解析
(1)若三条直线重合，由三条直线的方程可知a＝1.
(2)若三条直线交于一点，
将l2，l3的交点(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1(舍去)或a＝－2.
(3)若l1∥l2，由a×a－1×1＝0，得a＝±1，当a＝1时，l1与l2重合.
(4)若l2∥l3，由1×1－a×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l2与l3重合.
(5)若l1∥l3，由a×1－1×1＝0，得a＝1，当a＝1时，l1与l3重合.
综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2；当a＝－2时，三条直线交于一点，
所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.
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13.若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}?{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
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代入直线y＝3x＋b，得b＝2.
14.已知A(－2,4)，B(4,2)，直线l：ax－y－2＝0与线段AB恒相交，则a的取值范围为______________________.
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(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 如图所示，
直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，
设线段AB与y轴交于点C，
由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，
当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，
综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞).
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15.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为
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拓广探究
解析 设B关于直线y＝x＋1的对称点B′(x，y)，
即B′(1,0).
又B′在直线AC上，
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16.直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，求直线l的方程.
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解 方法一 设A(x0，y0)，
由中点公式，有B(－x0，2－y0)，
∵A在l1上，B在l2上，
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即所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
方法二 由题易知，直线l的斜率存在，
设所求直线l方程为y＝kx＋1，l与l1，l2分别交于A，B，
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故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
方法三 设所求直线l与l1，l2分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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代入l2的方程得2(－x1)＋2－y1－8＝0，
即2x1＋y1＋6＝0，
所以A(－4,2)，由两点式可得所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
