(共41张PPT)
1.掌握两点间距离公式并会应用.
2.用坐标法证明简单的平面几何问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 两点间的距离
公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
.
特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关.
(2)
原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离
.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.( )
2.当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用.( )
3.点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时|P1P2|＝|x1－x2|.( )
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、两点间的距离
例1 如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状.
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形.
延伸探究 题中条件不变，求BC边上的中线AM的长.
解 设点M的坐标为(x，y)，
即点M的坐标为(2,2).
反思感悟
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.
跟踪训练1 已知点A(－1,2)，B(2，
)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值.
解得x＝1，∴P(1,0)，
二、运用坐标法解决平面几何问题
例2 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).
证明 设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0).
因为|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，
|AD|2＝b2＋c2，
|DC|2＝a2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2).
反思感悟
利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：
(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
(2)用坐标表示有关的量；
(3)将几何关系转化为坐标运算；
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.
跟踪训练2 已知等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
证明 如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c).
故|AC|＝|BD|.
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随堂演练
PART
THREE
1.已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于
√
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2.直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于
√
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3.到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是
A.3x－y－8＝0
B.3x＋y＋4＝0
C.3x－y＋6＝0
D.3x＋y＋2＝0
√
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解析 设P(x，y)，
即3x＋y＋4＝0.
4.(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于
的点的坐标是
A.(－4,5)
B.(－3,4)
C.(－1,2)
D.(0,1)
√
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√
解析 设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，
5.已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为______.
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解析 BC的中点坐标为(0,1)，
1.知识清单：两点间的距离公式.
2.方法归纳：待定系数法、坐标法.
3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
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课时对点练
PART
FOUR
√
基础巩固
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2.已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是
√
解析 由两点间距离公式得
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3.已知坐标平面内三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
√
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解析 由两点间的距离公式，
且|BC|2＋|CA|2≠|AB|2，
∴△ABC为等腰三角形.
4.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是
√
故选C.
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5.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为
√
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解析 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，
6.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________.
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1或－5
解析 由两点间距离公式得
(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，
所以(a＋2)2＝32，
所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.
7.在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为
____________.
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(10,0)或(0,0)
解析 设Q(x0,0)，则有
8.直线2x－5y－10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是____.
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解析 令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则x＝5.
9.已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为
，求a的值.
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10.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程.
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解 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
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即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为(1,4)，也满足题意，
综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
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11.以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.以上都不是
√
综合运用
∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形.故选C.
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13.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝______.
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解析 设A(a，0)，B(0，b)，
14.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则
＝________.
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解析 以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
设A(4a，0)，B(0,4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，
所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，
于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，
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15.光线从B(－3,5)射到x轴上，经反射后过点A(2,10)，则光线从B到A经过的路程为______.
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拓广探究
解析 B(－3,5)关于x轴的对称点为B′(－3，－5)，AB′交x轴于P点，
16.△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|＝|CD|.
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证明 如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，
设△ABD和△BCE的边长分别为a，c，
所以|AE|＝|CD|.
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