(共57张PPT)
1.掌握点到直线距离的公式，会用公式解决有关问题.
2.掌握两条平行直线间的距离公式，并会求两条平行直线间的距离.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 点到直线的距离、两条平行线间的距离
?
点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的
的长度
夹在两条平行直线间
的长
图示
?
?
垂线段
公垂线段
公式(或求法)
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝_____________
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离
d＝__________
思考1 点P
(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离怎样计算？
答案 P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；
P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.
思考2 两直线都与坐标轴平行，可以利用公式求距离吗？
答案 可以.
应用公式时要把直线方程都化为一般式方程.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了.
( )
×
3.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.( )
4.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( )
×
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、点到直线的距离
例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离.
则点P(2，－3)到该直线的距离为
解 3y＝4可化为3y－4＝0，
②3y＝4.
(2)求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是
的直线l的方程.
解 设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，
则由点到直线的距离公式知，
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
反思感悟
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可.
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可.
跟踪训练1 (1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为______.
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为________.
二、两平行线间的距离
例2 (1)求两条平行直线3x＋4y－12＝0与mx＋8y＋6＝0之间的距离；
∴直线6x＋8y＋6＝0即为3x＋4y＋3＝0.
(2)求到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线的方程.
解 设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
解得m＝16或m＝－14.
故所求的直线方程为
3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.
延伸探究 把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程”.
解 由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，可设l的方程为3x－4y＋c＝0，
解得c＝21或c＝－9，
所以，所求直线方程为
3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0.
反思感悟
求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求.
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则
两条平行直线间的距离d＝
.
跟踪训练2 (1)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是
√
即5x＋12y＋10＝0，
(2)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是______________.
x＋2y－3＝0
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.
因为A(1,1)，B(0，－1).
即x＋2y－3＝0.
三、距离的综合应用
例3 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
解 如图，显然有0(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解 由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟
应用数形结合思想求最值
(1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
跟踪训练3 已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)，B(m，
)，C(4,2)，1即x－3y＋2＝0.
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为
√
1
2
3
4
5
2.两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是
√
1
2
3
4
5
3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是
√
1
2
3
4
5
解析 点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，
4.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是_________.
1
2
3
4
5
(5，－3)
解析 由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|最小，
∴所求点的坐标为(5，－3).
5.与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为____________________________.
1
2
3
4
5
4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0
解析 设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
1.知识清单：
(1)点到直线的距离公式.
(2)两条平行线间的距离.
2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法.
3.常见误区：利用距离公式时直线方程形式不是一般式；忽略直线方程的特殊形式.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为
√
基础巩固
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2.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1与l2之间的距离为
√
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3.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
√
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4.已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是
√
解析 ∵3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0平行，
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5.(多选)已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值可能为
A.－3
B.3
C.－2
D.1
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√
解得a＝－3或a＝3.
6.若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________.
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7.已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为
，则点P的坐标为______________.
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(1,2)或(2，－1)
解析 设点P的坐标为(a，5－3a)，
所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1).
8.经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为_________________
________.
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x＝－3或7x＋24y
－75＝0
解析 (1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k＋4＝0.
直线l的方程为7x＋24y－75＝0.
综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
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9.求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程.
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解 方法一 ∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，
∴直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，
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解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
方法二 当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等.
∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等.
∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，
∴直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
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10.已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程.
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所以中心坐标为(－1,0).
设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.
因为正方形中心到各边距离相等，
所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.
所以其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.
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11.直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为
A.3x－y－13＝0
B.3x－y＋13＝0
C.3x＋y－13＝0
D.3x＋y＋13＝0
√
综合运用
解析 由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，
由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
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12.过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
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∴两直线交点坐标为(0,1)，
由交点到原点的距离为1可知，只有1条直线符合条件.
13.已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是____________.
2x－y＋1＝0
解析 方法一 由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法二 由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
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解析 设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
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|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离
15.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为
√
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拓广探究
解析 如图所示，
结合图形可知，直线l1∥l3，
则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.
由题意知l1与l2关于x轴对称，
故l2的方程为y＝－2x＋3，
l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.
由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离
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16.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
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解 设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
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故A′(－2,8).
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
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故所求的点P的坐标为(－2,3).
解 A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，
点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.
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故所求的点P的坐标为(12,10).
