(共50张PPT)
1.掌握圆的定义及标准方程.
2.会用待定系数法求圆的标准方程，
能准确判断点与圆的位置关系.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：
.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是
.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0－a)2＋(y0－b)2思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆.( )
2.确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )
3.圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( )
4.(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上.( )
×
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、求圆的标准方程
例1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为____________________.
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，
又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是___________________.
(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
反思感悟
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
解 r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4).
解 设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
二、点与圆的位置关系
例2 (1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是
A.点P在圆内
B.点P在圆外
C.点P在圆上
D.不确定
√
解析 由(m2)2＋52＝m4＋25>24，
得点P在圆外.
[0,1)
反思感悟
判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
跟踪训练2 已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a的取值范围：
(1)点A在圆的内部；
解 因为点A在圆的内部，
所以(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，
且a不为0，解得a<－2.5.
(2)点A在圆上；
解 因为点A在圆上，所以(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，
解得a＝－2.5.
(3)点A在圆的外部.
解 因为点A在圆的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，
且a不为0，解得a>－2.5且a≠0.
核心素养之数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
YUN
SUAN
待定系数法与几何法求圆的标准方程
典例 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
解 方法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二 (几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
即圆心坐标为(4，－3)，
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
素养提升
(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程.
(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果.充分体现数学运算的数学核心素养.
3
随堂演练
PART
THREE
1.若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为
√
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2.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9
√
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解析 由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
3.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是
A.在圆外
B.在圆内
C.在圆上
D.不确定
√
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4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是
A.x2＋(y－2)2＝1
B.x2＋(y＋2)2＝1
C.(x－1)2＋(y－3)2＝1
D.x2＋(y－3)2＝1
√
解析 方法一 (直接法)
∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二 (数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，
故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
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5.若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________
________.
解析 ∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，
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1.知识清单：
(1)圆的标准方程.
(2)点和圆的位置关系.
2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法.
3.常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是
A.(x＋3)2＋(y＋1)2＝5
B.(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
C.(x－3)2＋(y－1)2＝5
D.(x－3)2＋(y－1)2＝25
√
基础巩固
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2.圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是
√
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3.已知点A(3，－2)，B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是
A.(x－1)2＋(y＋1)2＝25
B.(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C.(x－1)2＋(y＋1)2＝100
D.(x＋1)2＋(y－1)2＝100
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解析 由题意得圆心坐标为(－1,1)，
所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25.故选B.
4.若点A(a＋1,3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是
A.(0，＋∞)
B.(－∞，5)
C.(0,5)
D.[0,5]
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解析 由题意，得(a＋1－a)2＋(3－1)2>m，即m<5，
又易知m>0，所以05.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为
A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
√
解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
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解析 ∵P点在圆x2＋y2＝m2上，
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±2
∴m＝±2.
7.圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是______________.
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(x－4)2＋y2＝1
解析 设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
8.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，
为半径的圆的标准方程是__________________.
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(x＋1)2＋(y－2)2＝5
解析 将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，
可知直线恒过点(－1,2)，
从而所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
9.已知圆C过点A(3,1)，B(5,3)，圆心在直线y＝x上，求圆C的标准方程.
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解 设圆心C(a，a)，半径为r，
∴圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
10.已知点A(－1,2)和B(3,4).求：
(1)线段AB的垂直平分线l的方程；
解 由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).
∵A(－1,2)，B(3,4)，
∵直线l垂直于直线AB，
∴直线l的方程为y－3＝－2(x－1)，
即2x＋y－5＝0.
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(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.
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解 ∵A(－1,2)，B(3,4)，
又圆心为C(1,3)，
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
11.已知圆心在x轴上的圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则C的标准方程为
A.(x＋4)2＋y2＝50
B.(x＋4)2＋y2＝25
C.(x－4)2＋y2＝50
D.(x－4)2＋y2＝25
√
综合运用
解析 根据题意，设圆的圆心C的坐标为(m，0)，
若圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则有(3－m)2＋1＝(m－1)2＋25，
解得m＝－4，即圆心C为(－4,0)，
则圆C的标准方程为(x＋4)2＋y2＝50，故选A.
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12.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为
A.x＋y－2＝0
B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0
D.x－y＋3＝0
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解析 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3).
因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，
化简得x－y＋3＝0.
13.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9
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解析 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
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15.已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为______________.
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拓广探究
x2＋(y＋1)2＝1
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解析 由已知圆(x－1)2＋y2＝1，
设其圆心为C1，则圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1.
设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(a，b)，
即圆心C的坐标为(a，b)，
所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝1.
16.已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的标准方程.
解 设圆C2的圆心坐标为(m，n).
圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r＝2，
所以圆C2的标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝4.
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