(共54张PPT)
1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.
2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 解决实际问题的一般程序
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案.
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题.
第二步：通过代数运算，解决代数问题.
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
知识点二 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
预习小测
自我检验
YU
XI
XIAO
CE
ZI
WO
JIAN
YAN
1.一涵洞的横截面是半径为5
m的半圆，则该半圆的方程是
A.x2＋y2＝25
B.x2＋y2＝25(y≥0)
C.(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D.随建立直角坐标系的变化而变化
√
2.已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为
A.4
B.3
C.2
D.1
√
所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交.故选C.
3.已知点A(3,0)及圆x2＋y2＝4，则圆上一点P到点A距离的最大值和最小值分别是_______.
5,
1
解析 圆的半径为2，圆心到点A的距离为3，结合图形可知，圆上一点P到点A距离的最大值是3＋2＝5，最小值是3－2＝1.
4.如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12
m，拱高CD＝4
m，则拱桥的直径为________
m.
13
解析 设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，
所以拱桥的直径为13
m.
2
题型探究
PART
TWO
一、直线与圆的方程的应用
例1 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70
km处，受影响的范围是半径为30
km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40
km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，
其中取10
km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0,4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，
故轮船不会受到台风的影响.
反思感悟
解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
跟踪训练1 (1)设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短
距离是________.
解析 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，
(2)如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽为________米.
解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系.
设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，
水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).
将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.
当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，
二、坐标法的应用
例2 用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直.
已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.
求证：AC⊥BD.
证明 如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，
设顶点坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y)，
∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，
∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，
∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，
∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.
反思感悟
(1)坐标法建立直角坐标系应坚持的原则
①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.
②充分利用图形的对称性.
③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.
④关键点的坐标易于求得.
(2)通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果.所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养.
跟踪训练2 如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足.利用坐标法证明E是CD的中点.
证明 如图所示，以O为坐标原点，以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设⊙O的半径为r，|OE|＝m，则⊙O的方程为x2＋y2＝r2，
设C(m，b1)，D(m，b2).
即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根，
即(m，0).故E是CD的中点.
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为
√
解析 由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，
1
2
3
4
5
2.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是
A.8
B.－4
C.6
D.无法确定
√
解析 因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，
1
2
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4
5
3.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为
A.2.4米
B.3.5米
C.3.6米
D.2.0米
√
解析 以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，
由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，
此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，
得y≈3.5(负值舍去).
1
2
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4
5
4.圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为__________________.
1
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4
5
x2＋y2－2y－9＝0
解析 当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.
即AB中点(0,1)为圆心，
则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.
5.已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为_____.
1
2
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4
5
解析 ∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，
∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，
1.知识清单：
(1)直线与圆的方程的应用.
(2)坐标法的应用.
2.方法归纳：数学建模、坐标法.
3.常见误区：不能正确进行数学建模.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是
√
基础巩固
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2.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是
A.－1
B.－2
C.－3
D.－4
√
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解析 圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝2－2a，
再由弦心距，半弦长和半径的关系可得2－2a＝2＋4，
∴a＝－2.
3.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为
A.6
B.4
C.3
D.2
√
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解析 如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.
又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
4.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为
√
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解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，
5.已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是
√
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∴所求最短路程为10－2＝8.
6.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是______.
解析 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，
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7.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为____________.
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x＋y－2＝0
解析 由题意知，点P(1,1)在圆x2＋y2＝4内，
则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，
则所求直线与圆心O和P(1,1)的连线垂直，
∴该直线斜率为－1，
由点斜式方程，得y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
8.台风中心从A地以20
km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险区，城市B在A地正东40
km处，则城市B处于危险区的时间为____h.
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解析 如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，
即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20，
所以时间为1
h.
9.如图，AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点.
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证明 以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，
建立直角坐标系，如图，
设圆的方程为x2＋y2＝r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD.
令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，
所以P(－x0，－y0－2r).
即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.
所以直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，
即直线CP过定点.
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10.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25
km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40
km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30
km的B处岛屿，速度为28
km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
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解 如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程为x2＋y2＝252.
即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，
所以外籍轮船能被海监船监测到.
设监测时间为t，
答 外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5
h.
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综合运用
由图象(图略)知选D.
√
它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示).
直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点.
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13.已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使
视线不被圆C挡住，则a的取值范围为__________________________.
解析 由题意知，AB所在直线与圆C相切或相离时，视线不被挡住，
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14.某圆拱桥的水面跨度是20
m，拱高为4
m.现有一船宽9
m，在水面以上部分高3
m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5
m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低____
m时，船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01
m)
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解析 以水位未涨前的水面AB的中点为原点，
建立平面直角坐标系，如图所示，
设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，
∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)，
∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，令x＝4.5，得y≈3.28，
故当水位暴涨1.5
m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22
(m)，
船才能安全通过桥洞.
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拓广探究
解析 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，
则a2＋b2＋4ab≤0.
①
若b＝0，则a＝0，不符合题意，
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16.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80
m.经测量，点A位于点O正北方向60
m处，点C位于点O正东方向170
m处(OC为河岸)，tan
∠BCO＝
.
(1)求新桥BC的长；
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解 如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
由条件知，A(0,60)，C(170,0)，
设点B的坐标为(a，b)，
解得a＝80，b＝120.
因此新桥BC的长为150
m.
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(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
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解 设保护区的边界圆M的半径为r
m，OM＝d
m(0≤d≤60).
即4x＋3y－680＝0.
由于圆M与直线BC相切，
故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80
m，
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解得10≤d≤35.
所以当OM＝10
m时，圆形保护区的面积最大.§2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2．5.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判断方法
几何法：
设圆心到直线的距离为d＝
dd＝r
d>r
代数法：
由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
思考 几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
答案 “几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，
判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．
1．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × )
2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．( √ )
3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( √ )
4．过圆外一点的直线与圆相离．( × )
一、直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
则Δ＝4m(3m＋4)．
当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0，即－方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝
.
当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2，即－反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1 (1)已知圆C:
x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．以上三个选项均有可能
答案 A
解析 将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3,0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．
(2)设m＞0，则直线l：(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相交或相切
答案 C
解析 圆心到直线l的距离为d＝，圆的半径为r＝，
∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，
∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离．
二、圆的弦长问题
例2 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
答案
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝，
则有|AB|＝2＝2
＝.
(2)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
解 圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，
所以弦心距d＝＝＝3.
因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．
设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，
于是＝3，解得k＝－.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.
反思感悟 直线与圆相交时的弦长求法
几何法
利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题
代数法
若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
弦长公式法
设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长
l＝|x1－x2|＝
跟踪训练2 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C:
x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
解 方法一 由直线l与圆C的方程，
得消去y，得x2－3x＋2＝0.
设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，
|AB|＝
＝
＝
＝.
∴弦AB的长为.
方法二 圆C:
x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.
其圆心坐标为C(0,1)，半径r＝，点C(0,1)到直线l的距离为d＝＝，
所以半弦长＝＝＝.所以弦长|AB|＝.
三、求圆的切线方程
例3 (1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．6
答案 C
解析 因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心C(－1,2)，半径长r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，所以切线长的最小值为＝＝4.
(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为__________________．
答案 y＝4或3x＋4y－13＝0
解析 ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外．
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意．
设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
圆心(2,3)到切线l的距离为＝1，
解得k＝0或k＝－，
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
反思感悟 求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0)
在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
跟踪训练3 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为( )
A．2x－y＋9＝0
B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0
D．2x－y－9＝0
答案 B
解析 x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
kPC＝，∴切线的斜率k＝－2，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为( )
A．1
B．2
C.
D．3
答案 C
解析 圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝＝2.
所以切线长的最小值为l＝＝.
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
答案 B
解析 ∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1，
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心．
2．(多选)直线l:
x－1＝m(y－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是( )
A．相离
B．相切或相离
C．相交
D．相切
答案 CD
解析 l过定点A(1,1)，又点A在圆上，
当l斜率存在时，l与圆一定相交，
又直线x＝1过点A且为圆的切线，
∴l与圆相交或相切，故选CD.
3．(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2
B．－12
C．2
D．12
答案 CD
解析 圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，
得b＝2或12.
4．过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为________________．
答案 x＝2或y＝3
解析 ∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，
∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条．
当斜率存在时，设切线的斜率为k，
则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
∴＝1，∴k＝0，
∴切线方程为y＝3，
当斜率不存在时，切线方程为x＝2.
5．过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为________．
答案 2
解析 设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
|CA|＝＝.
∴半弦长＝＝＝.
∴最短弦长为2.
1．知识清单：
(1)直线与圆的三种位置关系．
(2)弦长公式．
(3)圆的切线方程．
2．方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法．
3．常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心
B．相切
C．相离
D．相交但不过圆心
答案 D
解析 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，0所以相交但不过圆心．
2．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．－5B．m<－5或m>15
C．m<4或m>13
D．4答案 B
解析 圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，
由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离>2，
∴m<－5或m>15.故选B.
3．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．0
B．4
C．－2
D.
答案 AB
解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，
所以圆心到直线的距离d＝＝.
又d＝，所以|a－2|＝2，
解得a＝4或a＝0.
4．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]
B．[－1,3]
C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，
则d≤r＝?≤?|a＋1|≤2?－3≤a≤1.
5．圆心为(3,0)且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－)2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－)2＋y2＝3
D．(x－3)2＋y2＝9
答案 B
解析 由题意知所求圆的半径r＝＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，
故选B.
6．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝________.
答案 2
解析 直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.
7．过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是______________．
答案 3x－4y＋27＝0或x＝－1
解析 当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，
则d＝＝2，解得k＝，此时，直线方程为3x－4y＋27＝0；
当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，验证可知，符合题意．
8．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
答案 －或－
解析 由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，
则有d＝＝1，
解得k＝－或k＝－.
9．已知圆C与y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求圆C的方程．
解 因为圆C与y轴相切，且圆心C在直线x－3y＝0上，
故设圆C的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又因为直线y＝x截圆得弦长为2，
则有2＋()2＝9b2，
解得b＝±1，故所求圆C的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为(a，b)，半径长为r.
∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上．
∴a＋2b＝0，①
且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
又∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2，
∴r2－d2＝r2－2＝()2.③
解由方程①②③组成的方程组，
得或
∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
11．已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为( )
A．y－2＝0
B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＝0
D．x－1＝0
答案 B
解析 当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直．已知圆心O(0,0)，
所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k＝＝2，
故所求直线的斜率为－，
所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
12．已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于( )
A．6
B．8
C．11
D．9
答案 D
解析 圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
圆心坐标为(－1,1)，半径为2，
由题意可知，圆心到直线的距离d＝＝2.
∵m>0，∴m＝9.
13．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．
答案 10
解析 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，
由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，
设点F为其圆心，坐标为(1,3)．
故|EF|＝，∴|BD|＝2＝2，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10.
14．自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________．
答案 x2＋y2＝2
解析 设点P的坐标为(x，y)，
则|PO|＝.
∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，
∴|PO|＝|OM|＝，
∴＝，即x2＋y2＝2.
15．曲线y＝1＋与直线l：y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________．
答案
解析 直线l过点A(2,4)，又曲线y＝1＋的图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆，
当直线l与半圆相切，C为切点时，
圆心到直线l的距离d＝r，
即＝2，解得k＝.
当直线l过点B(－2,1)时，直线l的斜率为＝，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，
实数k的取值范围为.
16．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C:
x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小．
因为|PC|2＝(1－x)2＋2
＝2＋9.
所以当x＝－时，|PC|＝9.
所以|AP|min＝＝2.
即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．(共58张PPT)
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
个
个
个
判断方法
几何法：
设圆心到直线的距离为d＝____________
____
____
____
代数法：
由
消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ
_____
_____
_____
2
1
0
dd＝r
d>r
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
思考 几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
答案 “几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，
判断直线与圆的位置关系，一般用几何法.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.( )
2.如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.( )
3.若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )
4.过圆外一点的直线与圆相离.( )
×
√
√
×
2
题型探究
PART
TWO
一、直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
则Δ＝4m(3m＋4).
方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
反思感悟
直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
跟踪训练1 (1)已知圆C:
x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则
A.l与C相交
B.l与C相切
C.l与C相离
D.以上三个选项均有可能
√
解析 将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3,0)在圆内.
∴过点P的直线l必与圆C相交.
(2)设m＞0，则直线l：
(x＋y)＋1＋m＝0与圆O：x2＋y2＝m的位置关系为
A.相切
B.相交
C.相切或相离
D.相交或相切
√
∴d≥r，故直线l和圆O相切或相离.
二、圆的弦长问题
例2 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______.
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，
(2)如果一条直线经过点M
且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程.
解 圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，
因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，
所以直线x＝－3是符合题意的一条直线.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，
对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.
反思感悟
直线与圆相交时的弦长求法
几何法
利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋
解题
代数法
若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长
弦长
公式法
设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系
得弦长
跟踪训练2 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C:
x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长.
解 方法一 由直线l与圆C的方程，
设两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2，
方法二 圆C:
x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5.
三、求圆的切线方程
例3 (1)若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是
A.2
B.3
C.4
D.6
√
解析 因为过圆外一点的圆的切线长l、半径长r和这点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，
所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.
所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d，
(2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为____________________.
y＝4或3x＋4y－13＝0
解析 ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A在圆外.
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意.
设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)，
即kx－y＋4＋k＝0.
因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
反思感悟
求过某一点的圆的切线方程
(1)点(x0，y0)在圆上.
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为
，由点斜式可得切线方程.
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点(x0，y0)
在圆外.
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.
③过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.
跟踪训练3 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为
A.2x－y＋9＝0
B.2x＋y－9＝0
C.2x＋y＋9＝0
D.2x－y－9＝0
√
解析 x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
(2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为
√
3
随堂演练
PART
THREE
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
√
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.
1
2
3
4
5
2.(多选)直线l:
x－1＝m(y－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是
A.相离
B.相切或相离
C.相交
D.相切
√
1
2
3
4
5
√
解析 l过定点A(1,1)，又点A在圆上，
当l斜率存在时，l与圆一定相交，
又直线x＝1过点A且为圆的切线，
∴l与圆相交或相切，故选CD.
3.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是
A.－2
B.－12
C.2
D.12
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√
解析 圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
得b＝2或12.
4.过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线方程为___________.
x＝2或y＝3
解析 ∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，
∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条.
当斜率存在时，设切线的斜率为k，
则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
∴切线方程为y＝3，
当斜率不存在时，切线方程为x＝2.
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5.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为______.
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解析 设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
1.知识清单：
(1)直线与圆的三种位置关系.
(2)弦长公式.
(3)圆的切线方程.
2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法.
3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是
A.过圆心
B.相切
C.相离
D.相交但不过圆心
√
基础巩固
解析 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离
所以相交但不过圆心.
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2.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是
A.－5B.m<－5或m>15
C.m<4或m>13
D.4√
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解析 圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，
∴m<－5或m>15.故选B.
解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.
又直线被圆截得的弦长为2
，
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√
解得a＝4或a＝0.
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4.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是
A.[－3，－1]
B.[－1,3]
C.[－3,1]
D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
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解析 圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，
故选B.
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6.设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝_____.
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解析 直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，则|AB|＝2.
7.过点P(－1,6)且与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直线方程是______________
_________.
3x－4y＋27＝0
或x＝－1
解析 当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－6＝k(x＋1)，
此时，直线方程为3x－4y＋27＝0；
当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x＝－1，
验证可知，符合题意.
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8.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
则反射光线所在直线的斜率为________.
解析 由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，
由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3).
设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，
即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，
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9.已知圆C与y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为
，求圆C的方程.
解 因为圆C与y轴相切，且圆心C在直线x－3y＝0上，
故设圆C的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
解得b＝±1，
故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
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解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为(a，b)，半径长为r.
∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上.
∴a＋2b＝0，
①
且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.
②
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解由方程①②③组成的方程组，
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∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
11.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为
A.y－2＝0
B.x＋2y－5＝0
C.2x－y＝0
D.x－1＝0
√
综合运用
解析 当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0)，
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12.已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于
A.6
B.8
C.11
D.9
√
解析 圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∵m>0，∴m＝9.
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13.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为______.
解析 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，
最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，
设点F为其圆心，坐标为(1,3).
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14.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是__________.
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x2＋y2＝2
∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，
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拓广探究
解析 直线l过点A(2,4)，
当直线l与半圆相切，C为切点时，
圆心到直线l的距离d＝r，
则直线l与半圆有两个不同的交点时，
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16.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C:
x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点.
(1)求四边形PACB面积的最小值；
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解 如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，
所以当|PC|2最小时，|AP|最小.
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(2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.
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解 由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，
若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，
所以这样的点P是不存在的.
