(共57张PPT)
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 双曲线的定义
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的
等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.
2.定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}.
3.焦点：两个
.
4.焦距：
的距离，表示为|F1F2|.
绝对值
定点F1，F2
两焦点间
思考 (1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
答案 当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
答案 点M在双曲线的右支上.
知识点二 双曲线标准方程
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
?
?
标准方程
___________________
___________________
焦点
________________
________________
a，b，c的关系
c2＝_______
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
a2＋b2
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )
2.平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于8的点的轨迹是双曲线.( )
3.双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>
b.( )
4.在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同.
( )
×
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
一、双曲线的定义的应用
解析 由题意得
由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
反思感悟
双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.
A.11
B.9
C.5
D.3
√
解析 由题意得||PF1|－|PF2||＝6，
∴|PF2|＝|PF1|±6，∴|PF2|＝9或－3(舍去)
故选B.
(2)设F1，F2分别是双曲线x2－
＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于
√
在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∴
＝
|PF1||PF2|＝24.
二、求双曲线的标准方程
解得a2＝3，b2＝5.
解 设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
因为点P，Q在双曲线上，
反思感悟
求双曲线的标准方程
(1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解.
解得a2＝8，b2＝4，
解析 ∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)>0.
k>5或－2解得k>5或－2核心素养之数学建模
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
JIAN
MO
双曲线在生活中的应用
典例 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6
km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4
km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4
s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1
km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
解 设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，
以直线AB为x
轴，线段AB的垂直平分线为y
轴建立直角坐标系，
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，
因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
素养提升
利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下：
(1)建立适当的坐标系.
(2)求出双曲线的标准方程.
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.直线
D.一条射线
√
1
2
3
4
5
解析 F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，
所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线.
A.－2＜m＜2
B.m＞0
C.m≥0
D.|m|≥2
√
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3
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5
解析 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.
∴－2＜m＜2.
√
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4
5
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
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5
?(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，
1
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4
5
1.知识清单：
(1)双曲线的定义.
(2)双曲线的标准方程.
2.方法归纳：待定系数法、分类讨论.
3.常见误区：
双曲线焦点位置的判断，
忽略双曲线上的点到焦点距离的范围.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是
√
基础巩固
解析 由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支.
由c＝5，a＝3，知b2＝16，
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2.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为
√
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√
由其焦距为4，得c＝2，
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A.3或7
B.6或14
C.3
D.7
√
解析 连接ON，ON是△PF1F2的中位线，
∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，∴|PF2|＝14或6，
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5.(多选)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是
A.2
B.－1
C.4
D.－3
√
√
∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，
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6.若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为__________.
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(2，＋∞)
解析 由曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，
即有m>0，且m－2>0，解得m>2.
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解析 由题意，
知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0,3).
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又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4，
在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，
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依题意知b2＝25－a2，
化简得4a4－129a2＋125＝0，
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不合题意，舍去，
∴a2＝1，b2＝24，
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解 如图所示，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义，知m－n＝2a＝8，
①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，
②
由①②得m·n＝8，
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解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，
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11.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是
A.双曲线的一支
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
√
综合运用
解析 设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，
由两圆外切的充要条件，得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2.
∴|MO2|－|MO1|＝1，
又|O1O2|＝4，
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).
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12.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于
A.2
B.4
C.6
D.8
√
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解析 不妨设P是双曲线右支上一点，
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∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴8＝4＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝4.故选B.
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因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP).
所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，
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14.已知双曲线C：
－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则|PQ|＝_____，△PF1Q的周长为_____.
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又点P的横坐标为2，∴PQ⊥x轴.
又P，Q在双曲线的右支上，
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拓广探究
2k(a－m)
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解析 光线从左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，
如图，
|BF2|＝2m＋|BF1|，
|BF1|＋|BA|＋|AF1|＝|BF2|－2m＋|BA|＋|AF1|
＝|AF2|＋|AF1|－2m＝2a－2m，
所以光线经过2k(k∈N
)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m).
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16.已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形.
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解 设顶点A的坐标为(x，y)，则
当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；
当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；
当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点).
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