(共65张PPT)
1.理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.
2.掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于
(大于|F1F2|)的点的轨迹.
2.焦点：两个定点F1，F2.
3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4.几何表示：|MF1|＋|MF2|＝
(常数)且2a
|F1F2|.
常数
2a
>
知识点二 椭圆的标准方程
?
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
_________________
_________________
图形
?
?
焦点坐标
____________________
____________________
a，b，c的关系
__________
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
b2＝a2－c2
思考 能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
答案 能.椭圆的焦点在x轴上?标准方程中含x2项的分母较大；
椭圆的焦点在y轴上?标准方程中含y2项的分母较大.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( )
2.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.( )
3.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.( )
4.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都满足a2＝b2＋c2.( )
×
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
解 因为椭圆的焦点在y轴上，
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
解 因为椭圆的焦点在y轴上，
由椭圆的定义知，
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
解 方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时，
由a>b>0，知不合题意，故舍去；
方法二 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，
反思感悟
确定椭圆标准方程的方法
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
解 方法一 (分类讨论法)若焦点在x轴上，
则a2b>0矛盾，舍去.
方法二 (待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.
①
二、椭圆的定义及其应用
从而|F1F2|＝2c＝6，
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.
①
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.
②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
延伸探究
若将本例中“
∠F1PF2＝60°”变为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积.
从而|F1F2|＝2c＝6.
在△PF1F2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋36，
反思感悟
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解.
解析 由直线AB过椭圆的一个焦点F1，
知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，
又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.
8
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝α，
①2－②得mn(1＋cos
α)＝6，
④
即∠F1PF2＝60°.
三、与椭圆有关的轨迹问题
解析 设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，
(2)如图所示，已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程.
解 设动圆P和定圆B内切于点M，
动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，
反思感悟
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式；
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去.
跟踪训练3 在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，|AB|＝2，|AC|＝
，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|＋|PB|是定值.建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程.
解 以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，
所以a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3.
3
随堂演练
PART
THREE
1.椭圆
＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为
A.5
B.6
C.7
D.8
√
1
2
3
4
5
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，
结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.
2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是
A.1
B.2
C.3
D.4
√
1
2
3
4
5
3.若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是
A.(0，＋∞)
B.(0,2)
C.(1，＋∞)
D.(0,1)
√
1
2
3
4
5
4.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为
，则此椭圆的标准方程为__________.
1
2
3
4
5
所以b2＝a2－c2＝16－15＝1.
又椭圆的焦点在y轴上，
5.椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆标准方程为__________.
解析 如图，当P在y轴上时
△PF1F2的面积最大，
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
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4
5
1.知识清单：
(1)椭圆的定义.
(2)椭圆的标准方程.
2.方法归纳：待定系数法、定义法、相关点法.
3.常见误区：
(1)忽视椭圆定义中a，c的条件.
(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
基础巩固
1
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16
A.(5,0)，(－5,0)
B.(0,5)，(0，－5)
C.(0,12)，(0，－12)
D.(12,0)，(－12,0)
√
解析 c2＝169－25＝144.c＝12，故选C.
√
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16
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
√
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A.5
B.4
C.3
D.1
√
又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
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A.圆
B.椭圆
C.线段
D.直线
√
解析 设椭圆的右焦点为F2，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，
所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，
故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆.
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6.已知椭圆的中心在坐标原点
，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦
点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为__________.
故b2＝a2－c2＝3，
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解析 设椭圆的另一个焦点为E，则|MF|＋|ME|＝10，
又∵|MF|＝2，∴|ME|＝8，
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知a2＝9，b2＝7，c2＝2.
设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x.
因为∠AF1F2＝45°，
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9.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
解 设点M的坐标为(x，y)，d是点M到直线x＝8的距离，
所以，点M的轨迹是椭圆.
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(1)求椭圆M的标准方程；
解 由题意，知椭圆N的焦点为(－2,0)，(2,0)，
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(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.
解 由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，
所以点P有4个，它们的坐标分别为
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A.60°
B.30°
C.120°
D.150°
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综合运用
√
∴(|PF1|＋|PF2|)2＝64，
∵|PF1|·|PF2|＝12，∴|PF1|2＋|PF2|2＝40，
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∵0°＜∠F1PF2＜180°，
∴∠F1PF2＝60°.
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√
解析 ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，
∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是3，
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A.5
B.7
C.13
D.15
√
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解析 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，
且|PF1|＋|PF2|＝10，
从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
解析 取MN的中点G，G在椭圆C上，
因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，
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所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12.
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拓广探究
解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，
连接PF1(图略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2，
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解 由题意得A(0，－b)，
直线AB的方程为y＝x－b，
由P(0,1)且BP∥x轴，得B(1＋b，1)，
因为b>0，于是b＝2，所以B(3,1)，
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