(共60张PPT)
1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义.
2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
?
?
标准方程
范围
____________________
____________________
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
______________________
______________________
______________________
______________________
轴长
短轴长＝
，长轴长＝____
焦点
焦距
|F1F2|＝
对称性
对称轴：
对称中心：_____
离心率
e＝
∈_____
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
2b
2a
x轴、y轴
原点
(0,1)
思考 离心率对椭圆扁圆程度有什么影响？
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
3.离心率相同的椭圆是同一个椭圆.( )
×
×
×
√
2
题型探究
PART
TWO
一、椭圆的简单几何性质
例1 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为
，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
反思感悟
用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质.
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④焦点：(0,6)，(0，－6)；
二、由椭圆的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3，
所以a2＝b2＋c2＝18，
解 当椭圆的焦点在x轴上时，
由题意，得a＝3，
由题意，得b＝3，
把b＝3代入，得a2＝27，
反思感悟
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程.
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数.
(4)写出椭圆标准方程.
跟踪训练2 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为____________.
因为椭圆的焦点在x轴上，
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝
，则椭圆的标准方程是_________________
__________.
所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点).
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
三、求椭圆的离心率
解析 方法一 由题意可设|PF2|＝m，
方法二 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，
延伸探究
1.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率.
解 在△PF1F2中，
∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
2.若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围.
解 由题意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，
反思感悟
求椭圆离心率及取值范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝
求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝
求解.
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.
√
解析 由题意知，A(－a，0)，B(0，b)，F(c，0)，
∴c2－a2＋ac＝0，即e2＋e－1＝0，
解析 由PF1⊥PF2，知△F1PF2是直角三角形，
3
随堂演练
PART
THREE
则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
√
1
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3
4
5
解析 依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，
√
1
2
3
4
5
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为
√
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.
依题意可知，△BF1F2是正三角形.
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
1
2
3
4
5
4.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为_____.
1
2
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4
5
解析 ∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，
______________________.
1
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4
5
1.知识清单：
(1)椭圆的简单几何性质.
(2)由椭圆的几何性质求标准方程.
(3)求椭圆的离心率.
2.方法归纳：直接法、方程法(不等式法).
3.常见误区：忽略椭圆离心率的范围0＜e＜1及长轴长与a的关系.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为
√
基础巩固
∴a2＝6，且焦点在y轴上，
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√
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所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A，C不正确；
√
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又a2＝b2＋c2，所以解得a＝6，b＝4.
√
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解析 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
√
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16
6.若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为_____.
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16
解析 依题意，得b＝3，a－c＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，
则1
即长轴长的取值范围是(2,4].
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(2,4]
8.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为
.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_______________.
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16
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|
＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，
∴a＝4，∴b2＝8，
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(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.
解 ∵椭圆的焦点在x轴上，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
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A.2
B.3
C.6
D.8
√
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综合运用
解析 由题意得点F(－1,0).设点P(x0，y0)，
此二次函数的图象的对称轴为直线x0＝－2.
又－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，
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12.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为
√
解析 设椭圆的焦点是F1，F2，圆与椭圆的四个交点是A，B，C，D，
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____________________.
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16
将点M(1,2)代入椭圆方程得
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16
解析 如图，切线PA，PB互相垂直，
又半径OA垂直于PA，
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√
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拓广探究
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.
∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
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16
故选A.
16.设F1，F2分别是椭圆E：
＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交
椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
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16
解 由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，
故|AF2|＝8－3＝5.
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16
解 设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形.
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16(共65张PPT)
1.了解椭圆在实际生活中的应用.
2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点 直线与椭圆的位置关系
消去y得到一个关于x的一元二次方程.直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示.
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
解
Δ
0
一个公共点
解
Δ
0
没有公共点
解
Δ
0
两
一
无
>
＝
<
1.直线y＝x＋1与椭圆x2＋
＝1的位置关系是
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
预习小测
自我检验
YU
XI
XIAO
CE
ZI
WO
JIAN
YAN
√
因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交.
√
设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3.椭圆
＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝_____.
2
题型探究
PART
TWO
一、实际生活中的椭圆
例1 (多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2
分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是
A.a1＋c1＝a2＋c2
B
.a1－c1＝a2－c2
√
√
解析 由图可知，a1>a2，c1>c2所以a1＋c1>a2＋c2，
所以A不正确；
在椭圆轨道Ⅰ中可得，a1－c1＝|PF|，
在椭圆轨道Ⅱ中可得，|PF|＝a2－c2，
所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；
反思感悟
解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题.
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解.
(3)用解得的结果说明原来的实际问题.
跟踪训练1 某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为
米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d至少应是____米.
32
解得a＝16，
∵车辆高度不超过4.5米，∴a≥16，d＝2a≥32，
故拱宽至少为32米.
二、直线与椭圆
命题角度1 直线与椭圆的位置关系
(1)有两个不同的公共点；
解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，
③
关于x的一元二次方程的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
(2)有且只有一个公共点；
这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，
即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)没有公共点？
可知原方程组没有实数解.
这时直线l与椭圆C没有公共点.
反思感悟
直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.
命题角度2 弦长问题
(1)试求动点P的轨迹方程C；
解 设动点P的坐标是(x，y)，
(2)设直线l：y＝kx＋1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝
时，求直线l的方程.
解 设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
Δ＝16k2>0，
整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍).
∴k＝±1，经检验符合题意.
∴直线l的方程是y＝±x＋1，
即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
反思感悟
求弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长.
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：
|P1P2|＝
，
其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长.
跟踪训练3 已知斜率为1的直线l过椭圆
＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.
解 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
3
随堂演练
PART
THREE
解析 最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦.
√
1
2
3
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5
2.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆
＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是
A.相离
B.相切
C.相交
D.相交或相切
√
1
2
3
4
5
∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0,
∴直线与椭圆相离.
3.已知F是椭圆
＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF
面积的最大值为
A.6
B.15
C.20
D.12
√
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2
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4
5
4.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则
√
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2
3
4
5
√
√
解析 ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，
∴a－c＝m＋R
，故A正确；
a＋c＝n＋R，故B正确；
(
)中两式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确；
∵a2－c2＝b2
，
1
2
3
4
5
5.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的
取值范围是____________.
当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)直线与椭圆的位置关系.
(2)弦长公式.
2.方法归纳：判别式法.
3.常见误区：代数计算中的运算失误.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断
√
基础巩固
所以可推断直线与椭圆相交.
消去y得9x2＋10x－15＝0，
Δ＝100－4×9×(－15)＝640>0，所以直线与椭圆相交.
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16
√
√
由题意知Δ＝144k2－24(3k2＋2)＝0，
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√
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16
A.m>1
B.m>0
C.0D.m≥1且m≠5
√
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16
解析 方法一 由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
故m≥1且m≠5.
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.
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A.9x－y－4＝0
B.9x＋y－5＝0
C.4x＋2y－3＝0
D.4x－2y－1＝0
√
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解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2).因为点A，B在椭圆上，
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6.已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋
y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_____.
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解析 由已知可得直线方程为y＝2x－2，|OF|＝1，
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∴直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为y＝x＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2).
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10.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群.以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的标准方程；
解 由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，
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(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，问你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?
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解 由于A，B两岛收到鱼群发射信号的时间比为5∶3，
∴设此时距A，B两岛的距离比为5∶3，
即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里.
设P(x，y)，B(2,0)，由|PB|＝3，
∴x＝2，y＝±3，
∴点P的坐标为(2,3)或(2，－3).
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综合运用
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12.以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是
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得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，
由Δ≥0得b2≥4，
所以b2的最小值为4，
则b2＝4时，e取最大值，故选C.
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14.斜率为1的直线l与椭圆
＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________.
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解析 方法一 设直线l的方程为y＝x＋t，
整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，
设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
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方法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，
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15.已知椭圆的左焦点为F1，有一质点A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆内壁反射(无论经过几次反射速率始终保持不变)，若质点第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的7倍，则椭圆的离心率e为
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拓广探究
√
解析 假设长轴在x轴，短轴在y轴，以下分为三种情况：
(1)球从F1沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，
这时第一次回到F1路程是2(a－c)；
(2)球从F1沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，
这时第一次回到F1路程是2(a＋c)；
(3)球从F1沿x轴斜向上(或向下)运动，碰到椭圆上的点A，
反弹后经过椭圆的另一个焦点F2，再弹到椭圆上一点B，
反弹后经过点F1，此时小球经过的路程是4a.
综上所述，从点F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点F1时，
小球经过的最大路程是4a，最小路程是2(a－c).
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(1)求椭圆C的方程；
解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，
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解 显然直线AB的斜率不为0，
设AB的方程为x＝ty－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144t2＋144>0，
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解得t2＝1，
∴直线方程为x＝±y－1，
即y＝x＋1或y＝－x－1.
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