(共54张PPT)
1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.
2.会求简单的抛物线方程.
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 抛物线的定义
1.定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)
的点的轨迹.
2.焦点：定点F.
3.准线：定直线l.
距离相等
思考 抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?
答案 若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
知识点二 抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
?
____________
_______
________
?
______________
_______
________
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
?
____________
_______
________
?
______________
_______
________
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
思考 抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？
答案 p的几何意义是焦点到准线的距离.
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.( )
2.抛物线的方程都是二次函数.( )
3.抛物线y2＝2px(p＞0)中p是焦点到准线的距离.( )
4.方程x2＝2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线.( )
×
×
√
×
2
题型探究
PART
TWO
一、求抛物线的标准方程
例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)经过点(－3，－1)；
解 因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
解 对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
反思感悟
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数.
跟踪训练1 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝____，准线方程为________.
2
x＝－1
解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，
(2)求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为__________________.
x2＝10y和x2＝－10y
解析 设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，
所以满足条件的抛物线有两条，
它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
二、抛物线定义的应用
例2 (1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝
x0，则x0等于
A.1
B.2
C.4
D.8
√
(2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.
由图可知，
延伸探究
1.若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值.
所以点A在抛物线内部.
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
解 如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min.
即所求最小值为1.
反思感悟
抛物线定义的应用
实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
跟踪训练2 (1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为______.
4
解析 把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，
从而抛物线的焦点为(2,0).
故点A到焦点的距离为4.
(2)设点A的坐标为(1，
)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为
A.1
B.2
C.3
D.4
√
解析 由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，
点P到准线x＝－2的距离为d＋1，
于是|PF|＝d＋1，
所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3.
核心素养之数学建模
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
JIAN
MO
抛物线的实际应用问题
典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高0.75
m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2
m时，小船开始不能通航.
素养提升
首先确定与实际问题相匹配的数学模型.此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为
(1)建系：建立适当的坐标系.
(2)假设：设出合适的抛物线标准方程.
(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程.
(4)求解：求出需要求出的量.
(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.
3
随堂演练
PART
THREE
1.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是
A.y2＝－8x
B.y2＝8x
C.y2＝－4x
D.y2＝4x
√
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5
2.已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为
√
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解析 由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2，
√
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3
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5
4.一动圆过点(0,1)且与定直线l相切，圆心在抛物线x2＝4y上，则l的方程为
√
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2
3
4
5
解析 因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切，
所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等，
又因为动圆圆心在抛物线x2＝4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，
所以l为抛物线的准线，
所以l：y＝－1.
5.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为__________________.
(－9,6)或(－9，－6)
故抛物线方程为y2＝－4x.
由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，
故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6).
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3
4
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1.知识清单：
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程的四种形式.
(3)抛物线定义的应用.
2.方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归.
3.常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
解析 抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.
√
基础巩固
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2.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为
A.(－1,0)
B.(1,0)
C.(0，－1)
D.(0,1)
√
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故焦点坐标为(1，0).故选B.
3.(多选)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为
A.y2＝x
B.y2＝8x
C.y2＝－8x
D.x2＝－8y
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√
解析 当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，
当开口向下时，
设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，
所以抛物线方程为x2＝－8y.
√
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A.2
B.3
C.4
D.8
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6.已知双曲线
－y2＝1的右焦点恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则m＝____.
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解析 由题意得m＋1＝22，解得m＝3.
7.在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________________
_____________.
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解析 由方程y2＝－12x，知焦点F(－3,0)，准线l：x＝3.
设所求点为P(x，y)，
则由定义知|PF|＝3－x.
8.已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为______，准线方程为________.
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(1,0)
x＝－1
解析 圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，
将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，
故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.
9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.
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解 方法一 如图所示，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
即p＝4.所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
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10.花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1
m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2
m，点P距抛物线的对称轴1
m，则水池的直径至少应设计多少米？(精确到1
m)
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解 如图所示，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0).
故得抛物线方程为x2＝－y.
即水池的直径至少应设计为5
m.
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11.已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为
A.1
B.2
C.3
D.4
√
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综合运用
解析 由题意，知抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
因为抛物线y2＝4x上的一点P到焦点的距离为5，
由抛物线的定义可知，点P到准线x＝－1的距离是5，则点P到y轴的距离是4，
所以P(4，±4)，
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0).
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即x1＋x2＋x3＝3，
13.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－
＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝_____.
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不妨取M(1,4)，又A(－1,0)，则直线AM的斜率为2，
14.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是____.
2
解析 如图所示，
动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，
由图可知，距离和的最小值，
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15.对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________.(要求填写适合条件的序号)
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拓广探究
②④
解析 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；
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若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，
则k＝－2，此时存在，所以④满足.
16.设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
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解 依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值.
如图，连接AF，交抛物线于点P，
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值.
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自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图).
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
