(共68张PPT)
1.会求一些与抛物线有关的轨迹方程问题.
2.解决一些抛物线的综合问题．
学习目标
XUE
XI
MU
BIAO
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART
ONE
知识点一 和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程.
知识点二 直线和抛物线
1.抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2.抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
②|AB|＝
；
x1＋x2＋p
1.若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.直线
预习小测
自我检验
YU
XI
XIAO
CE
ZI
WO
JIAN
YAN
√
解析 方法一 设动点P的坐标为(x，y).
整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，
即(x－3y＋2)2＝0，∴x－3y＋2＝0.
所以动点P的轨迹为直线.
方法二 显然定点F(1,1)在直线l：3x＋y－4＝0上，
则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线.
2.已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为
A.x2＝－12y
B.x2＝12y
C.y2＝12x
D.y2＝－12x
√
解析 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等.
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，
以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
3.过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|等于
A.5
B.6
C.8
D.10
√
解析 由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.
4.P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|，|BB1|，|PP1|，则有
√
解析 如图所示，根据题意，PP1是梯形AA1B1B的中位线，
2
题型探究
PART
TWO
一、和抛物线有关的轨迹问题
(1)求点P的轨迹方程；
解 过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y，
故点P的轨迹方程为x2＝2y.
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝
，求实数k的值.
解 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∴k4＋3k2－4＝0，
又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.
反思感悟
求轨迹问题的两种方法
(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程.
(2)定义法：
若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程.
跟踪训练1 若动圆M与圆C：(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程.
解 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，
由已知可得定圆圆心为C(2,0)，半径r＝1.
因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1.
又动圆M与已知直线x＋1＝0相切，
所以圆心M到直线x＋1＝0的距离d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离.
由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，
故其方程为y2＝8x.
二、抛物线的综合问题
例2 如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.
(1)求y1y2的值；
解 依题意，设AB的方程为x＝my＋2，
代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.
(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：
为定值.
证明 设M(x3，y3)，N(x4，y4)，
设直线AM的方程为x＝ny＋1，
代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，
所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，
反思感悟
解决抛物线综合问题的基本策略
对于抛物线的综合问题，可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论.
跟踪训练2 (1)已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为____.
解析 设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
(2)已知动点P在y轴的右侧，且点P到y轴的距离比它到点F(1，0)的距离小1.
①求动点P的轨迹C的方程；
解 依题意动点P的轨迹是抛物线(除原点)，其焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，
②设斜率为－1且不过点M(1，2)的直线交C于A，B两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2＝0.
Δ＝16＋16b>0，所以b>－1，y1＋y2＝－4，
因此k1＋k2＝0.
核心素养之直观想象
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
与抛物线有关的最值问题
典例 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离.
解 方法一 设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离
方法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为
4x＋3y＋m＝0，
消去y得3x2－4x－m＝0，
素养提升
求距离的最值，常见的解题思路：
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；
二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力.
3
随堂演练
PART
THREE
1.动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是
A.椭圆
B.双曲线
C.双曲线的一支
D.抛物线
√
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4
5
解析 依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，
设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，
所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，
其轨迹为抛物线.
2.已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，则动圆圆心M的轨迹方程为
A.y2＝12x
B.y2＝－12x
C.x2＝12y
D.x2＝12y
√
解析 设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，
则|MA|＝|MN|，
即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，
以直线l：x＝－3为准线，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
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3.设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
√
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5
解析 由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，
∴△AOB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°.
4.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.
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(4,2)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2).
y2＝4x
即点N的轨迹方程是y2＝4x.
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1.知识清单：
(1)和抛物线有关的轨迹问题.
(2)
抛物线的综合问题.
2.方法归纳：直接法、定义法、代数法.
3.常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
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基础巩固
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解析 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，
由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，
所以点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，
符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线.
2.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A.x＝1
B.x＝－1
C.x＝2
D.x＝－2
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得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，
所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
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3.已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋
＋3的最小值是
A.2
B.3
C.4
D.0
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解析 因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，
所以当x＝0时，z最小，最小值为3.
4.(多选)已知抛物线C：y＝
的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于
A.2
B.－2
C.－4
D.4
√
√
∴焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2.
∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，
由抛物线的定义，得y0＋2＝2y0，
∴x0＝±4.
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5.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为
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＝2p2＝16，
6.若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝_____.
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解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝4，
∵A，B在抛物线上，
7.已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜
率为____.
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解析 设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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解得x0＝3.
9.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.求曲线C1的方程.
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解 方法一 设点M的坐标为(x，y)，
易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，
化简得曲线C1的方程为y2＝20x.
方法二 由题设知，条件“对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值”等价于“曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离”.
所以，曲线C1是以点(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线，
所以曲线C1的方程为y2＝20x.
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10.已知抛物线y2＝－8x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OA⊥OB，求证：直线AB经过一个定点.
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则直线OA的方程为y＝kx，
同理可得B(－8k2,8k)，
因此直线AB经过定点(－8,0).
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11.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
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综合运用
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
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|MF|＝|MN|＝3＋1＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形.
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因为y1y2<0，所以y1y2＝－20.
设直线AB在x轴上的截距为m，
若AB斜率存在，设直线AB方程为y＝k(x－m)，
y1y2＝－4m＝－20，m＝5.
综上，直线AB在x轴上的截距是5.
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14.过抛物线y2＝4x的焦点F且倾斜角为
的直线与抛物线交于A，B两点，则|FA|·|FB|的值为_____.
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Δ＝36－4＝32>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，F(1,0)，
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝8.
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拓广探究
消去x可得y2－6my－6n＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2＝－6n，
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16.已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
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解 由已知，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，
由抛物线的定义知E点的轨迹是以D(1，0)为焦点，
以x＝－1为准线的抛物线，
故曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值.
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证明 由题意可知直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.
直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，
已知此方程一个根为1，
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∴y1－y2＝[k(x1－1)＋2]－[－k(x2－1)＋2]
所以，直线AB的斜率为定值－1.
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16(共58张PPT)
1.掌握抛物线的几何性质.
2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.
学习目标
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内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
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知识梳理
PART
ONE
知识点一 抛物线的简单几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
?
?
?
?
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e＝1
通径长
2p
知识点二 直线与抛物线的位置关系
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有
个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有
个公共点；若Δ<0，直线与抛物线
公共点.
当k＝0时，直线与抛物线的轴
，此时直线与抛物线有
个公共点.
两
一
没有
平行或重合
1
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
1.抛物线关于顶点对称.( )
2.抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( )
3.抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( )
4.抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同.( )
5.“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.
( )
×
√
√
√
√
2
题型探究
PART
TWO
一、抛物线的几何性质的应用
例1 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是
A.8p2
B.4p2
C.2p2
D.p2
√
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，
所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.
不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p).
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝
，求抛物线方程.
解 由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.
故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
得x2＋3＝4，∴x＝±1，
∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.
反思感悟
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1 (1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是
√
解析 设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
A.(2,0)
B.(1,0)
C.(8,0)
D.(4,0)
√
即p2＝4.因为p>0，所以p＝2，
故抛物线焦点坐标为(1,0).
二、直线与抛物线的位置关系
命题角度1 直线与抛物线位置关系的判断
例2 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
(
)
此时直线l平行于x轴.
当k≠0时，(
)式是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k).
①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，
l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离.
综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；
当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l与C没有公共点.
命题角度2 直线与抛物线的相交问题
例3 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝
，求AB所在的直线方程.
所以直线AB的斜率存在，设为k，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
延伸探究
本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离.
反思感悟
直线与抛物线的位置关系
(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况.
(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.
跟踪训练2 (1)过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
√
解析 如图，过P可作抛物线的两条切线，
即y轴和l1均与抛物线只有一个公共点，
过P可作一条与x轴平行的直线l2与抛物线只有一个公共点.
故过点P与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.
(2)设抛物线C：x2＝4y焦点为F，直线y＝kx＋2与C交于A，B两点，且|AF|·|BF|＝25，则k的值为
A.±2
B.－1
C.±1
D.－2
√
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y＝kx＋2代入x2＝4y，
消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，
所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，
抛物线C：x2＝4y的准线方程为y＝－1，
因为|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，
所以|AF|·|BF|＝y1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25?k＝±2.
3
随堂演练
PART
THREE
1.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为
√
所以焦点F的坐标为(2,0)，
1
2
3
4
5
2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为
A.y2＝8x
B.y2＝－8x
C.x2＝8y
D.
x2＝－8y
√
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3
4
5
√
解析 设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，
∴2|x|＝2p＝8，p＝4.
∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
√
1
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3
4
5
4.抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝
，则焦点F到直线AB的距离为____.
1
2
3
4
5
2
解析 由抛物线的方程可知F(1,0)，
∴所求距离为3－1＝2.
5.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝______.
1
2
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4
5
0或1
解析 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，
当k≠0时，联立方程消去y，得
k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1.
1.知识清单：
(1)抛物线的几何性质.
(2)直线与抛物线的位置关系.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、代数法.
3.常见误区：四种形式的抛物线性质混淆；忽略直线的特殊情况.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
4
课时对点练
PART
FOUR
1.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为
，则点P到抛物线的焦点F的距离为
A.4
B.5
C.6
D.7
√
基础巩固
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解析 由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
2.过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.有无穷多条
D.不存在
√
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解析 当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意.
当斜率存在时，由焦点坐标为(1,0)，
可设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，
因而这样的直线有且仅有两条.
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3.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为
，那么|PF|等于
√
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解析 由抛物线方程y2＝8x，可得准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，设点A(－2，n)，
∴|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8，故选B.
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4.抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|等于
A.2
B.3
C.5
D.7
√
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解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2.
∴x1＋x2＝5，x1＋x2＋2＝7.
5.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为
A.18
B.24
C.36
D.48
√
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解析 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6，
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6.抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________.
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解析 如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，
∵M为FN的中点，|MM′|＝1，
7.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝_____.
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6
∴|MF|＝3，∴|FN|＝6
8.已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点,则k的取值范围是_____________________.
(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 设点(x，y)，依题意得点A在以y2＝4x.
过点P(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1＞0，
解得k＞1或k＜－1，
因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞).
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9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝
，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程.
解 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
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10.已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点.
(1)求证：l与C必有两交点.
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证明 联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，
所以Δ＝k2＋8>0，所以l与C必有两交点.
(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值.
因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，
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11.若点M(1,1)是抛物线y2＝4x的弦AB的中点，则弦AB的长为______.
综合运用
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
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12.已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点.若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为________.
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解析 由抛物线的性质知A，B关于x轴对称.
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解得p2＝36，p＝6.
14.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_____.
48
所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8，
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拓广探究
√
解析 由题意可知，抛物线的焦点为(2,0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－2).
解得k＝2，故选D.
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16.已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
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消去y得4x2－20x＋9＝0，
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(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
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