苏科版八年级上册数学第四章 实数数学活动 有关“实数”的课题研究 教案

数学活动——有关实数的课题研究
教学内容：
九年制义务教育课程标准教科书 《数学》苏科版八年级上册第四单元《实数》中的数学活动——有关实数的课题研究
创新之处：
课前——通过希沃平台，给学生在线布置预习作业，预习更便捷，以学定教，优化教学设计；课中——用希沃授课助手的拍照功能及时上传照片反馈学生的实验结果，提高学生的学习兴趣，并通过带有游戏性质的讨论、互动、抢答等方式，让更多的学生参与课堂互动，学生的解答及时反馈，老师现场了解薄弱点，当堂巩固。还运用班级优化大师管理学生，给与不同的评价，激发学生的好胜心和创造力，后台生成的数据自动记录、归档和计算，形成大数据的分析报表可反馈给家长和老师，十分高效。课后——为不同层次学生布置针对性的作业，反馈细致，批改作业高效，有效提高学生自主学习的能力。
教材分析：
本节课的内容具有承上启下的作用。学生在这之前已经学习了有理数和勾股定理及其逆定理，初步积累了一定的数学活动经验，在此基础上，教材的数学活动课题研究鼓励学生动手实践、合作研究、小组谈论，通过亲自实验，体验获得数学知识的乐趣，教材给学生自主探索留有很大的空间，学生可以充分发挥想象。
学情分析：
学生在七年级通过生活中的事例已经经历了数系的第一次扩充，从非负有理数到负有理数的扩充，从而扩充到整个有理数范围，本节从有理数扩充无理数，学生理解起来有一定的难度，可以从实例出发，引入无理数。而且通过第三章《勾股定理》的学习，学生已经掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决简单的问题，为引入“新数”奠定了基础．同时学生对于剪切这样的活动已经具备基本的能力，并且比较感兴趣，也开阔了学生的发散思维能力。
五、教学目标：
1、知识与技能：通过设计的一系列的数学活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；能判断给出的数是否为有理数（无理数），并能说出理由。
2、过程与方法：通过拼图等一系列数学活动，让学生感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手实践能力和团队合作精神；通过回顾有理数的有关知识，让学生能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力。
3、情感态度与价值观：激励学生积极参与数学活动，提高学习数学的热情；引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，培养他们合作与钻研精神；了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神。
六、教学重难点及突破：
重点：让学生经历无理数发现的过程，感受生活中确实存在着不同于有理数的数；让学生理解无理数的概念，并学会判断一个数是否为有理数（无理数）。
难点：把两个边长为1的正方形拼成一个大的正方形的动手操作过程，用逐次逼近法估算无理数的过程，判断一个数是否为有理数（无理数）。
教学突破：通过设计一系列数学活动，让学生逐步感受非有理数——构造非有理数——估算无理数，有效分解了本节课的重难点，让学生经历无理数发现的过程，感受生活中确实存在着不同于有理数的数。
教学方法：
引导探究法——教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.。
八、教学过程：
8.1实验活动探究一：拼正方形之合二为一
如图1是两个边长为1的正方形，你能通过剪一剪、拼 一拼，设法得到一个大的正方形吗？请同学们利用两张正方 形纸片完成探索。探索完成后请思考以下三个问题。
（1）设大正方形的边长为a,则a满足什么条件？
（2）a可能是整数吗？请说出你的理由；
（3）a可能是分数吗？请说出你的理由。
实验探究报告一样例


（1）设大正方形的边长为a,则a满足的条件是___________； （2）a可能是整数吗？请说明你的理由。
实验设计流程：
Step1 首先让学生拿出课前准备好的两个边长为1的正 方形纸片和剪刀，独立思考之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个面积为2的正方形.然后再小组交流、讨论，形成共识并对拼图结果进行展示，学生的做法可能有多种如图2所示。
图2
、Step2通过问题（1）让学生得出a满足条件a2 = 2,然后通过问题（2）适时引导学生对整数的平方如12 = 1, 22 = 4,???进行观察，得出结论：a应在1和2之间，所以a不可能是整数(也可以利用拼图结果中三角形三边之间的关系说明1 < a <2进而说明a不可能是整数)，紧接着利用问题(3)继续追问并适时引导学生对分数的平方如 ，???进行观察，得出结论：两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以a不可能是分数。
Step3 通过以上三问发现归纳出实验结论：任何整数的平方还是整数，任何最简分数的平方还是一个分数。因此，a 既不是整数，也不是分数，即a不是有理数。
实验设计意图引导学生通过动手拼图、观察、计算、思考、交流，感受无理数发现的过程，感知生活中存在着不同于有理数的数，即无理数。
8.2实验探究二：寻找非有理数
1、如图3，请你计算以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件?b是有理数吗?
2、如图4是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可以得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段。




实验研究报告二样例
实验设计流程
Step1首先利用问题1让学生借助勾股定理得出以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5，该正方形的边长b应满足条件b2 = 5,然后引导学生根据实验探究一的分析方法进行小组合作交流、讨论，得出2 Step2然后利用问题2引导学生在方格纸上独立思考构造直角三角形，借助勾股定理寻找不是有理数的线段，再小组交流、讨论，达成共识后对部分同学的结果进行展示。
实验设计意图进一步丰富无理数的实际背景，以几何图形为载体，借助勾股定理让学生亲历无理数的寻找过程，体会到无理数在现实生活中大量存在，同时增添知识的趣味性，提髙学生的学习积极性。
8.3实验探究三：感受非有理数
请同学们把表示成小数的形式，观察其小数点后的数字，你有什么发现吗？
请同学们再自行写两个分数，并将它化为小数的形式，观察其小数点后的数字，是否仍具有问题1中发现的规律？
实验探究报告三样例
实验设计流程
Step1首先让学生把问题1中提供的几个有理数化为小数形式，引导学生观察这几个小数的特征，得出这几个有理数可以化为有限小数或无限循环小数的形式。
Step2然后利用问题2让学生自行构造分数，并化为小数形式，通过观察发现其仍具有问题1中发现的规律后，再小组交流讨论，让学生感受到不同的分数都能化为有限小数或无限循环小数的形式。从而明确有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，同时引导学生发现有限小数或无限循环小数也都可以写成分数的形式。从而得出结论：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数 或无限循环小数也都是有理数。让学生在脑海中建立有理数 与“有限小数或无限循环小数”的对应关系。
Step3最后通过获取新知“无限不循环小数叫无理数. 例如我们十分熟悉的圆周率 Π= 3.14159265...就是一个无限不循环小数，因此它是个无理数自然就引出了无理数的概念。
实验设计意图
通过让学生动手计算、观察归纳、合作交流，把不同的有理数转化成小数，进而总结出有理数都可以化成有限小数或无限循环小数，从而得出无限不循环小数不是有理数，因为它们化不成整数或分数，也就不是有理数，从而引出新知——无理数的概念。
8.4实验探究四：构造无理数
两人一组，合作进行掷十面体骰子实验:一人负责掷骰子，另一人负责记录骰子掷出的点数。将第一次掷出的点数作为整数位，其后掷出的点数依次写在小数位，即可写出 一个不断延伸的小数。请将你的实验数据填写在实验记录表中。如果骰子不断的掷下去，那么将会得到一个无限小数，那么这个无限小数有何特点？它是无理数吗？
2、请观察无限小数0.585885888588885 ???（其构造方法为，相邻两个5之间的8的个数逐次加1），那么这个无限小数有何特点？它是无理数吗？你能根据类似方法构造一个这样的数吗？
实验探究报告四样例
实验设计流程
Step1首先让学生两人一组，合作进行掷十面体骰子实验，让学生亲身感受掷出的点数是没有任何规律可循的，如果骰子不断的掷下去，那么将会得到一个无限小数，而这样的小数是不循环的，从而得出结论：通过这种方式构造的数是一个无理数.通过这个实验活动使学生经历无理数的构造过程，加深对无理数无限不循环这一特征的认识。
Step2让学生通过观察无限小数0.585885888588885 ???（其构造方法为，相邻两个5之间的8的个数逐次加1）让学生明确，虽然这类小数的数字有规律可循，但却不是循环的，从而也是无理数。最后激励学生利用这种方法去构造一个无理数，使其更加全面的认识无理数的概念。
实验设计意图 通过让学生掷骰子写小时，构造像0.58588588 ???这样的小数，体会无限不循环小数是真实存在的，而且按照以上两种方法很容易就可以构造出来。让学生通过这个实验活动更加全面的认识无理数的概念。
8.5实验探究五：估算无理数的近似值
为了探索出面积为2的正方形的边长a的值究竟是多 少，小明利用Excel软件的计算功能进行了一系列的探索，他的探索过程如下:
首先，他通过实验探究一知道，面积为2的正方形的边长a的大小介于1与2之间，即1 < a < 2。从而获知 a的整数部分是1，为了确定a的十分位上的数字，小明利用Excel软件的计算功能分别计算了 1至2中的9个数字 1.1，1.2，1.3，??? ，1.9的平方，如下表1：
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
a2 1.21 1.44 1.69 1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61
与2比较 < < < < > > > > >
表1
从表1可知1.42= 1.96<2,1.52= 2.25> 2,所以，1.4 < a < 1.5。即a的十分位上的数字是4。
紧接着为了确定a的百分位上的数字，小明再次利用 Excel软件的计算功能分别计算了 1.4至1.5中的9个数字 1.41，1.42，1.43，???，1.49的平方，如下表2：
1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49
a2 1.9881 2.0164 2.0449 2.0736 2.1025 2.1316 2.1609 2.1904 2.2201
与2比较 < < < < > > > > >
表2
从表2可知 1.412 = 1.9881 < 2，1.422 = 2.016 > 2,所以，1.41 ??????
小明利用这种方法将他的探索结果整理如下表3所示：
边长a 面积S = a2 =2
1 1.4 < a < 1.5 1.96 1.41 1.414 1.4142 ??? ???
表3
小明发现这一探索过程可以永无止境的进行下去，a = 1.41421356 ?? ?是一个无限不循环小数。
请同学们参考小明的方法估计面积为5的正方形的边长b的值，要求结果精确到0.001。（如果课上时间来不及，可放在课后供同学们自主探究）
实验报告样例如下表4所示：
班级 姓名 学号 实验课题 成绩


估计面积为5的正方形的边长b的值
面积为5的正方形的边长b介于____与_____之间，其整数位是_______。
2. 表4.1——计算b的十分位上的数字
__b2
与5比较
从表1中得出结论：___________________________________________
3. 表4.2——计算b的百分位上的数字
__b2
与5比较
从表2中得出结论：___________________________________________
表4.3——计算b的千分位上的
数字
__b2
与5比较
从表3中得出结论：___________________________________________
5. 表4.4——计算b的万分位上的数字
__b2
与5比较
从表4中得出结论：___________________________________________
综上实验现象可知，面积为5的正方形的边长b的值精确到0.001的值为____________
表4
实验设计流程
Step1首先让学生独自阅读小明的探索方法，体会逐次逼近法的思想原理，相互交流各自的感悟。
Step2给学生演示如何利用Excel软件的计算功能快速地进行计算。
Step3指导学生进行实验，并完成实验报告。
实验设计意图通过利用逐次逼近法对面积为2的正方形的边长a这一无理数的值进行估算让学生体会无限逼近的数学思想。让学生明白当用“逐次逼近法”来解决一个数学问题时，首先从一个与该问题的实质内容有着本质联系的较大范围开始进行解决，再逐步缩小范围，逐步逼近，以致最后达到问题所要求的解。最后通过让学生进行上机实验求解面积为5的正方形的边长6的近似值这一实践活动，加深学生对无限逼近的数学思想理解。
3.小结与思考：
本文通过设计一系列的数学实验活动，旨在吸引学生自己动手实验、观察发现、猜想验证，合作交流，在已有的对有理数的认知结构上去发现新知识无理数，探索无理数的特征，在实验中让学生感悟数学知识的产生过程，寻找数学问题的 规律，以期达到提髙学生探究、发现、思考、分析、归纳及创新思维的能力的目的。
教学探讨与反思：
本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计、借助计算器进行探索、讨论等途径，体会数学学习的乐趣，体会无限逼近的数学思想，得到无理数的概念；可能在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生和班级，这一探索过程所需时间较长，会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的，所以绝对不能淡化。让学生在数学学习中能将抽象的知识形象具体化，复杂知识体系化.同时引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳的思想，为今后的数学学习打下坚实基础。但对概念的理解掌握一些同学还不很到位，只能在以后的教学过程中不断的加深。