(共38张PPT)
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
简单组合体的结构特征
课标阐释
思维脉络
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义,知道这四种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.(逻辑推理、直观想象)
2.了解柱体、锥体、台体之间的关系.(数学抽象)
3.了解简单组合体的概念和基本形式.(数学抽象)
4.会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征.
(逻辑推理、直观想象)
激趣诱思
知识点拨
容器中的学问
油桶、热水瓶等都是用来装液体的容器,平时你注意过没有,装液体的容器,往往都是圆柱形的,这有没有数学方面的道理呢?
装同样体积的液体的容器中,如果容器的高度一样,那么,做成圆柱形容器所需要的材料最省.因此,油桶、热水瓶等容器大都是圆柱形的.
有没有比圆柱更省料的形状呢?有的.根据数学的原理,在同样材料做的一些容器中,球形容器的容积要比圆柱形的更大.也就是说,做成球形容器,可以更节约材料.但是,球形容器很容易滚动,放不稳,它的盖子也不容易做,所以不实用.
放固体的容器,如盒子、箱子、柜子等,为什么不做成圆柱形的呢?虽然做成圆柱形的容器比较省料,但是用来装固体东西却不经济,所以通常把它们做成长方体形状.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、圆柱的结构特征
圆柱及相关概念.
图形及表示
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
用表示它的轴的字母表示
图中圆柱记作:圆柱O'O
激趣诱思
知识点拨
圆柱及相关概念
图形及表示
相关
概念
轴:旋转轴叫做圆柱的轴;
底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;
侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;
母线:无论旋转到什么位置,平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
名师点析
圆柱的性质
(1)圆柱的底面是两个半径相等的圆面,两圆面所在平面互相平行.
(2)通过轴的各个截面叫做轴截面,轴截面是全等的矩形.
(3)母线平行且相等,它们都垂直于底面,它们的长等于圆柱的高.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)如图,矩形ABCD绕其边AB所在直线旋转一周,
其余三边BC,CD,DA旋转各形成什么图形?共同围成什么空间几何体?
提示:边BC,DA旋转各形成一个圆面,边CD旋转形成一个曲面,它们共同围成一个圆柱.
激趣诱思
知识点拨
(2)如图,在圆柱中任取不重合的两条母线,如AB,CD,它们有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AC,AC还是母线吗?
提示:AB?CD,截面ABCD是矩形.AC不是母线.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、圆锥的结构特征
圆锥及相关概念
图形及表示
定义
以直角三角形的
一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
用表示轴的字母表示
图中圆锥记作:圆锥SO
激趣诱思
知识点拨
圆锥及相关概念
图形及表示
相关
概念
轴:旋转轴叫做圆锥的轴;
底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面;
侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面;
母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线
激趣诱思
知识点拨
名师点析
圆锥具有以下性质:
(1)圆锥的底面是一个圆面,圆面的半径就是直角
边OA的长,底面和轴垂直.
(2)平行于底面的截面是圆面.
(3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是全等的等腰三角形,如△SAB.
(4)过顶点和底面相交的截面是等腰三角形,如等腰三角形SAC.
(5)母线都过顶点且相等,各母线与轴的夹角相等.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)如图,在圆锥中任取不重合的两条母线,如AB,AD,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形?
提示:AB与AD相交于点A,且AB=AD.截面ABD是过顶点A的等腰三角形.
(2)以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是棱锥,这句话对吗?
提示:不对.必须以直角边所在直线为轴.若以斜边所在直线为轴,形成的几何体是同底面的两个圆锥组成的.
激趣诱思
知识点拨
知识点三、圆台的结构特征
圆台及相关概念
图形及表示
定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,
底面与截面之间的部分叫做圆台;以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体是圆台
用表示它的轴的字母表示
图中圆台记作:圆台O'O
激趣诱思
知识点拨
圆台及相关概念
图形及表示
相关
概念
轴:旋转轴叫做圆台的轴;
底面:垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面叫做圆台的底面;
侧面:不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面;
母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边叫做圆台的母线
激趣诱思
知识点拨
名师点析
圆台具有以下性质:
(1)圆台的底面是两个半径不等的圆面,两圆面所在的平面互相平行又都和轴垂直.
(2)平行于底面的截面是圆面.
(3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是全等的等腰梯形,如梯形ABB1A1.
(4)任意两条母线确定的平面,截圆台所得的截面是等腰梯形,如梯形ACC1A.
(5)母线都相等,各母线延长后都相交于一点.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)下列命题中,正确的是( )
A.以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
解析:以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴,旋转一周所得的旋转体才是圆台,所以选项B不正确;圆锥仅有一个底面,所以选项C不正确;圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,所以选项D不正确.很明显选项A正确.
答案:A
激趣诱思
知识点拨
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
①用平面去截圆柱,会得到一个圆柱和一个圆台.( )
②用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.( )
答案:①× ②×
激趣诱思
知识点拨
知识点四、球的结构特征
球及相关概念
图形及表示
定义
半圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球
用表示球心的字母表示
图中的球记作:球O
激趣诱思
知识点拨
球及相关概念
图形及表示
相关
概念
球心:半圆的圆心叫做球的球心;
半径:连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径;
直径:连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)如图,把半圆绕其直径所在的直线旋转一周,半圆弧旋转形成什么图形?如果是把整个的圆绕其一条直径所在的直线旋转半周,圆弧旋转形成什么图形?它们各自围成什么空间几何体?
提示:半圆弧旋转形成一个球面,圆弧旋转形成的也是一个球面,它们围成的空间几何体都是球.
激趣诱思
知识点拨
(2)类比平面几何中圆的定义,你能给出球的另一种定义吗?
提示:空间中到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球.这个定点叫球心,定长叫做球的半径.
激趣诱思
知识点拨
知识点五、简单组合体
1.简单组合体的概念:由简单几何体组合而成的几何体称作简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组成的.
2.简单组合体的构成有两种基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请把第一、第二排中相应的图形用线连起来.
答案:(1)—C (2)—B (3)—D (4)—A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
旋转体的结构特征
例1下列说法正确的是 .?
①圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
②以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥;
③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的旋转体是球;
④用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.
解析:①它们的底面为圆面;②③④正确.
答案:②③④
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成.
(2)明确旋转轴是哪条直线.
2.简单旋转体的轴截面及其应用
(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1下列说法:
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个;
②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆;
③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交;
④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段.
其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:②错误,截面可能是一个三角形;③错误,圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点;①④正确.故选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
组合体的结构特征
例2描述下列几何体的结构特征.
分析从简单组合体的两种基本构成形式入手分析.
解:图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断实物是由哪些简单几何体组成的技巧:
(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征;
(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式;
(3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:旋转后的图形如图所示.其中①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O4O3组成的;②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
旋转体中的计算?
例3如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3
cm,求圆台O'O的母线长.
分析过圆锥的轴作截面,利用三角形相似来解决.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:设圆台的母线长为l
cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r
cm,4r
cm.
过轴SO作截面,如图.
则△SO'A'∽△SOA,SA'=3
cm,
反思感悟
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组而得解.这种立体问题平面化是解答旋转体中计算问题最常用的方法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
本例中若圆台的上底面半径为1
cm,其他条件不变,试求圆台的高.
解:∵圆台的上底面半径为1
cm,
∴下底面半径为4
cm.
如图,在Rt△A'HA中,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
转化与化归思想在求空间几何体表面上两点间最短距离中的应用
典例如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?
分析将圆柱的侧面沿母线剪开→侧面展开图→最短距离→计算求值
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
求旋转体侧面上两点间的最短距离,一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A.圆台
B.球
C.圆柱
D.棱柱
答案:B
2.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是( )
A.圆柱
B.圆锥
C.圆台
D.两个共底面的圆锥
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020广东佛山检测)我国古代数学名著《数学九章》中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺?”(注:1丈等于10尺)( )
A.29尺
B.24尺
C.26尺
D.30尺
解析:由题意,圆木的侧面展开图如图所示,AB=5,AD=24.E,F分别为AD,BC的中点,则葛藤最少长为AF+EC,
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.如图是由哪个平面图形旋转得到的( )
解析:题图中几何体由圆锥、圆台组合而成,可由A中图形绕图中旋转轴旋转360°得到.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.若一个圆锥的母线长为20
cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为
cm.?
解析:如图是圆锥的轴截面,
则SA=20
cm,∠ASO=30°,
∴AO=10
cm,SO=10
cm.
答案:10(共37张PPT)
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
课标阐释
思维脉络
1.了解空间几何体的分类及其相关概念.(数学抽象)
2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.(直观想象、逻辑推理)
激趣诱思
知识点拨
金字塔,阿拉伯文意为“方锥体”,它是一种方底、尖顶的石砌建筑物,是古代埃及埋葬国王、王后或王室其他成员的陵墓.它既不是金子做的,也不是我们通常所见的宝塔形,而是由于它规模宏大,从四面看都呈等腰三角形,很像汉语中的“金”字,故中文形象地把它译为“金字塔”.
在四千多年前生产工具落后的中古时代,埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多,每块又如此之重的巨石,垒成如此宏伟的大金字塔的?这真是一个十分难解的谜.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、空间几何体的定义、分类与相关概念
1.空间几何体:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
2.分类:常见的空间几何体有多面体和旋转体两类.
3.多面体和旋转体
类别
多面体
旋转体
定义
一般地,由若干个
平面多边形围成的几何体叫做多面体
④一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面.
⑤封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
激趣诱思
知识点拨
类别
多面体
旋转体
图形
相关
概念
①面:围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.
②棱:两个面的公共边叫做多面体的棱.
③顶点:棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
轴:形成旋转面所绕的
定直线叫做旋转体的轴
激趣诱思
知识点拨
微思考
观察下列图片,这些都是我们日常熟知的一些物体:
(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形?
提示:②④.
(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形?
提示:①③⑤.
(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形?
提示:⑥.
激趣诱思
知识点拨
知识点二、棱柱的结构特征
1.
棱 柱
图形及表示
定义
一般地,有两个面互相平行,其余各面都是
四边形,并且相邻两个四边形的公共边都
互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱
用表示底面各顶点的字母表示.
如图棱柱可记作:
棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
相关
概念
底面:两个互相平行的面叫做棱柱的底面;
侧面:其余各面叫做棱柱的侧面;
侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;
顶点:侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点
分类
①依据:底面多边形的边数;
②举例:三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……
激趣诱思
知识点拨
2.棱柱的分类
3.常见的几种四棱柱之间的转化关系
名师点析
棱柱的结构特征包括两个方面:一是面,二是棱.棱柱的面共有两种:第一种是底面,上、下共两个底面而且是平行且全等的;第二种是侧面,几棱柱就有几个侧面,相邻侧面的公共边即侧棱都是平行的.它的棱也有两种,一种是侧棱,另一种就是底面上的边.
激趣诱思
知识点拨
微思考
有两个面平行,其余各面都是平行四边形,这样的几何体一定是棱柱吗?举例说明.
提示:不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列命题正确的是( )
A.四棱柱是平行六面体
B.直平行六面体是长方体
C.长方体的六个面都是矩形
D.底面是矩形的四棱柱是长方体
解析:底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体,选项A错误;底面是矩形的直平行六面体才是长方体,选项B错误;底面是矩形的直四棱柱才是长方体,选项D错误;选项C显然正确.
答案:C
激趣诱思
知识点拨
知识点三、棱锥的结构特征
1.棱锥的定义、分类、图形及表示.
棱 锥
图形及表示
定义
一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥
用表示顶点和底面各顶点的字母表示.
如图棱锥可记作:棱锥S-ABCD
激趣诱思
知识点拨
棱 锥
图形及表示
相关
概念
底面:多边形面叫做棱锥的底面;
侧面:有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;
侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;
顶点:各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点
?
分类
①依据:底面多边形的边数;②举例:三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……
激趣诱思
知识点拨
2.正棱锥:底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
微思考
有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体一定是棱锥吗?
提示:不一定,其余各面必须要有一个公共顶点.如图所示的几何体符合问题中的条件,但不是棱锥.
激趣诱思
知识点拨
知识点四、棱台的结构特征
棱台的定义、分类、图形及表示.
棱 台
图形及表示
定义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
用表示底面各顶点的字母表示.
如图棱台可记作:棱台ABCD-A'B'C'D'
激趣诱思
知识点拨
棱 台
图形及表示
相关
概念
上底面:原棱锥的截面叫做棱台的上底面;
下底面:原棱锥的底面叫做棱台的下底面;
侧面:其余各面叫做棱台的侧面;
侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱;
顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点叫做棱台的顶点
?
分类
①依据:由几棱锥截得;
②举例:三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)棱台上、下底面互相平行,且是两个相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高的比的平方.
(2)棱台的侧面均为梯形.
(3)棱台各侧棱延长线交于一点,棱台问题可还原为棱锥问题解决.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥, 是棱台(仅填相应序号).?
解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.
答案:①③④ ⑥ ⑤
激趣诱思
知识点拨
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
①有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台.( )
②用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台.( )
③棱台的各条侧棱延长后必交于一点.( )
答案:①× ②× ③√
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
角度1 棱柱的结构特征
例1下列关于棱柱的说法:
①所有的面都是平行四边形;
②每一个面都不会是三角形;
③两底面平行,并且各侧棱也平行.
其中正确说法的序号是 .?
解析:①错误,底面可以是其他多边形而不光是平行四边形;②错误,底面可以是三角形;③正确,由棱柱的定义可知.
答案:③
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
关于棱柱的辨析
(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析.
①两个面互相平行;②其余各面是四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
特别提醒:求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练1关于棱柱,下列说法正确的有 .?
①被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱;
②棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形;
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.
解析:①正确,被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱;
②正确,由棱柱定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形;
③不正确,上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.
答案:①②
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
角度2 棱锥、棱台的结构特征
例2(1)判断如图所示的物体是不是棱锥,为什么?
(2)如图所示的多面体是不是棱台?
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:(1)该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求:各侧面都是有一个公共顶点的三角形,但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点,所以该物体不是棱锥.
(2)根据棱台的定义,可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个:一是共点,二是平行.即各侧棱延长线要交于一点,上、下底面要平行,二者缺一不可.据此,图①中多面体侧棱延长线不相交于同一点,故不是棱台;图②中多面体侧棱延长线也不相交于同一点,不是棱台;图③中多面体虽是由棱锥截得的,但截面与底面不平行,因此也不是棱台.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
棱锥、棱台结构特征问题的判断方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法
?
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形,此面即为底面
两个互相平行的面,即为上、下底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练2有下列三个命题:
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析:①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.故选A.
答案:A
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
多面体表面距离最短问题
例3如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
分析把三棱锥的侧面展开,当△AEF的各边在同一直线上时,其周长最小.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
解:将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,
∴∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,∴AA1=4
,
∴△AEF周长的最小值为4
.
反思感悟
本题是多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解.
探究一
探究二
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延伸探究
如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周,求此绳在A,B之间的最短绳长.
解:作出三棱锥的侧面展开图,如图.A,B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度.OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之间最短的绳长为5.
探究一
探究二
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几何体的平面展开图
典例(1)请画出如图所示的正方体的平面展开图;
(2)如图是两个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体?
探究一
探究二
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解:(1)展开图如图所示.(答案不唯一)
探究一
探究二
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(2)根据平面展开图,可知①为五棱柱,②为三棱台.
探究一
探究二
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方法点睛(1)绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.
(2)由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个平面展开图.
探究一
探究二
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变式训练如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A.①③
B.②④
C.③④
D.①②
解析:可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③④折叠后只能围成无底的三棱锥.
答案:C
探究一
探究二
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1.有两个面平行的多面体不可能是( )
A.棱柱
B.棱锥
C.棱台
D.以上都不正确
解析:因为棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥.
答案:B
2.棱台不具备的性质是( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.所有棱都相等
D.侧棱延长后都交于一点
答案:C
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3.(2020成都月考)某人用如图所示的纸片,沿折痕折叠后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形做灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①、②、③处应依次写上( )
A.快、新、乐
B.乐、新、快
C.新、乐、快
D.乐、快、新
解析:根据四棱锥图形,正好看到“新年快乐”的字样,可知③处一定是“乐”字,故选A.
答案:A
探究一
探究二
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4.下列有关棱柱的说法:
①棱柱的所有的面都是平面;
②棱柱的所有的棱长都相等;
③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形;
④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等;
⑤棱柱的上、下底面全等.
其中正确的有 .(填序号)?
解析:②棱柱的所有的侧棱棱长都相等,与底面的棱长不一定相等,故②错误;
③棱柱的所有的侧面都是平行四边形,不一定都是长方形或正方形,故③错误;①④⑤正确.
答案:①④⑤
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探究二
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5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在正方体表面上,从顶点A到顶点C1的最短距离为 .?
解析:将侧面ABB1A1与底面A1B1C1D1展开在同一平面上,连接AC1,则线段AC1的长即为所求.如图,AC1=2
.
答案:2
