(共31张PPT)
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
课标阐释
思维脉络
1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式及体积公式.(直观想象、数学抽象)
2.能运用公式求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积及体积,理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系.(数学运算、逻辑推理)
3.会求组合体的表面积及体积.
(数学运算、直观想象)
4.能解决与球有关的组合体的计算问题.(数学运算)
激趣诱思
知识点拨
祖暅原理
祖暅是祖冲之的儿子,是一位博学多才的数学家.唐代王孝通称他为祖暅,阮元《畴人传》中称他为祖暅之,另字景铄.他继承家学,主要工作是修补编辑他父亲的著述《缀述》,虽然他曾历官员外郎、散骑常侍.祖暅在数学上的主要成就,就是推算球的体积公式.在方法上根据他父亲提出的原理:“缘幂势既同,则积不容异”.其中幂指截面积,势指高,这一原理也可叙述为:“两个等高的立体,若平行于底的截面积相等,则体积相等”.这个原理,西方叫卡瓦列里原理,由卡氏于公元1635年在《连续不可分量几何》里提出,但这比祖冲之父子晚1
100多年.因而我们将此原理称为“祖氏原理”或“祖暅原理”更为恰当.
激趣诱思
知识点拨
知识点一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
激趣诱思
知识点拨
微思考
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?
提示:如图所示.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为 ,表面积为 .?
(2)如图,圆锥的底面半径为1,高为
,则圆锥的侧面积为 .?
(3)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于 .?
答案:(1)24π 32π (2)2π (3)67π
激趣诱思
知识点拨
知识点二、圆柱、圆锥、圆台的体积
1.V圆柱=πr2h(r是底面半径,h是高)
名师点析
棱柱和圆柱都是柱体,棱锥和圆锥都是锥体,棱台和圆台都是台体,它们的体积公式可统一如下:
(1)V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体高);
激趣诱思
知识点拨
微思考
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?
提示:如图.
激趣诱思
知识点拨
微练习
右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体,下部是圆柱,其轴截面是边长为4的正方形;上部为圆锥,其高为3,则该几何体的体积为 .?
解析:圆柱的底面半径是2,高为4,圆锥底面半径是2,高为3,则V=π×22×4+
×π×22×3=20π.
答案:20π
激趣诱思
知识点拨
知识点三、球的表面积和体积
1.S球=4πR2(R是球的半径)
2.V球=
πR3(R是球的半径)
微练习
已知球的表面积是16π,则该球的体积为 .?
解析:设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5,BC=16,
AD=4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下:
(1)得到空间几何体的平面展开图;
(2)依次求出各个平面图形的面积;
(3)将各平面图形的面积相加.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
解:以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图.
其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,
故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
圆柱、圆锥、圆台的体积
例2已知等边三角形的边长为2,将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 .?
分析将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是由两个底面半径为
,高为1的圆锥组成的组合体,利用圆锥的体积公式可得结果.
解析:将边长为2的正三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个组合体,如图,该组合体由两个同底的圆锥组成,两个圆锥的底面半径为
,高为1,体积为
答案:2π
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟
求圆柱、圆锥、圆台的体积问题,一是要牢记公式,然后观察空间图形的构成,是单一的旋转体,还是组合体;二是注意旋转体的构成,以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质,从而找出公式中需要的各个量,代入公式计算.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练1用半径为4的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
球的表面积和体积
例3△ABC的三个顶点在球O的表面上,且AB=4
,AC=2,BC=6.球心O与BC中点的连线长为4.求球的表面积与体积.
分析由三边长知△ABC是直角三角形,斜边中点为△ABC外接圆圆心,则可求球的半径,从而求出球的表面积与体积.
解:因为AB=4
,AC=2,BC=6,
所以AB2+AC2=BC2,即△ABC为直角三角形.
所以平面ABC截球所得截面是以BC为直径的圆.
由已知球心O与截面圆心的距离为4,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
因为球的表面积与体积都是球半径的函数,所以在解答这类问题时,设法求出球的半径是解题的关键.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练2若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
与球有关的组合体
例4各棱长均为
的四面体内有一内切球,求该球的体积.
分析等体积法→内切球的半径→球的体积
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟
与球有关的组合体一般有两类,一类是与球内接的组合体,在此类组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;另一类是与球外切的组合体,在这一类组合体中,球心与各切点的连线是半径.在解答与球有关的组合体问题时,要注意这些半径的应用.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
延伸探究
求本例所给四面体外接球的表面积.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
转化与化归思想在球的接、切问题中的应用
典例在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
分析过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方体的棱长、球半径的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接长方体求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(方法二)将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.
设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,得
方法点睛
球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分析解决问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A.36π,144π
B.36π,36π
C.144π,36π
D.144π,144π
解析:球的半径为3,表面积S=4π·32=36π,体积V=
π·33=36π.
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.(2020北京海淀检测)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直,SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8,则该圆锥的体积为( )
A.8π
B.16π
C.24π
D.32π
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.圆台上底面半径为2,下底面半径为6,母线长为5,则圆台的体积为( )
A.40π
B.52π
解析:作出圆台的轴截面如图所示:
上底面半径MD=2,下底面半径NC=6,过D做DE垂直NC,垂足为E,则EC=6-2=4,CD=5,故DE=3.即圆台的高为3,所以圆台的体积为
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
4.(2018全国Ⅰ卷,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
解析:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为 .?
解析:设圆柱的高为h,则3×
R3=πR2·h,解得h=4R.
答案:4R
6.一个正方体的外接球、正方体、正方体的内切球的表面积之比为 .?
答案:3π∶6∶π(共30张PPT)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课标阐释
思维脉络
1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式.(直观想象、数学抽象)
2.能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积,理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系.
(数学运算)
3.会求组合体的表面积及体积.
(直观想象、数学运算)
激趣诱思
知识点拨
金刚石是碳的结晶体,是目前自然界中存在的最硬物质,其形状除了具有规则的正八面体几何外形,还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色,璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石,如果已知正八面体的棱长,你有哪些思路能得出该几何体的表面积?这种几何体如何通过正方体切割出来?
激趣诱思
知识点拨
知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
微练习
正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为 ,表面积为 .?
激趣诱思
知识点拨
知识点二、棱柱、棱锥、棱台的体积
1.一般地,如果棱柱的底面积是S,高是h,那么这个棱柱的体积
V棱柱=Sh.
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,AB=1,那么该正四棱柱的体积为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
解析:正四棱柱的体积为V=S正方形ABCD×AA1=12×2=2.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1如图是一个搭建好的帐篷,它的下部是一个正六棱柱,上部是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO=3PO1.当PO1=2
m,PA1=4
m时,求帐篷的表面积.
分析帐篷的表面积即上部棱锥侧面积与下部棱柱侧面积之和.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:连接O1A1,因为PO1=2
m,PA1=4
m,
探究一
探究二
探究三
素养形成
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反思感悟
空间几何体表面积的求法技巧
求解此类问题时,首先要注意题目要求侧面积还是表面积,其次观察几何体形状,是已知的棱柱、棱锥、棱台,还是由这些几何体形成的组合体,再利用公式准确计算相关的面积,从而求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
若把题目条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”,表面积为多少?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
棱柱、棱锥、棱台的体积
例2如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.
(1)求V1,V2以及V1∶V2;
(2)求点A到平面A1BD的距离d.
分析(1)首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特征,然后求出V1,而V2直接用正方体的体积减去V1即得;(2)利用三棱锥的结构特征,根据等积变换列出方程求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,
其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形,其面积
探究一
探究二
探究三
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟
求几何体体积的常用方法
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
若本例中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
与正棱柱、正棱锥有关的体积和表面积问题
例3一个正四棱锥的底面边长为3
cm,侧棱长为5
cm,则它的体积为 cm3,表面积为 cm2.?
分析由已知求得正四棱锥的底面积与高,代入棱锥体积公式可得体积;求出侧面上的高,结合条件可求表面积.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
正棱锥的性质如下:
(1)正棱锥的各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形,侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高;
(2)从顶点向底面作垂线,垂足为底面(正多边形)的中心;
(3)棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练正四棱台(由正棱锥截得的棱台叫做正棱台)的上、下底面边长分别是2
cm和6
cm,两底面之间的距离为2
cm,则该四棱台的侧面积为 .?
解析:如图,取上、下底面中心O1,O,B1C1和BC的中点E1,E.在直角梯形OEE1O1中,EE1为侧面等腰梯形的高,过E1作E1H垂直于OE,垂足为H,OO1=2
cm,O1E1=1
cm,OE=3
cm,∴HE=2
cm.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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多面体的表面积计算
典例如图,正六棱台的上、下底面均为正六边形,六个侧面是全等的等腰梯形.如果上、下底面的边长分别为2
cm和4
cm,侧棱长为4
cm,求它的表面积.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有侧面和底面展开成一个平面图形,因而平面展开图的面积就是它的表面积.可见,棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为( )
解析:设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64.
答案:B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.已知高为3的直棱柱ABC-A'B'C'的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B'-ABC的体积为( )
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是( )
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法二)如图,设G,H分别为AB,DC的中点,连接EG,EH,GH,
则EG∥FB,EH∥FC,GH∥BC,得三棱柱EGH-FBC,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法三)如图,延长EF至点M,使EM=AB=3,连接BM,CM,AF,DF,
则多面体BCM-ADE为斜三棱柱,其直截面面积S=3,
则V多面体BCM-ADE=S·AB=9.
又∵平面BCM与平面ADE平行,F为EM的中点,
∴V棱锥F-ADE=V棱锥F-BCM,
∴2V棱锥F-BCM+V棱锥F-ABCD=V多面体BCM-ADE,
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.(2020湖北七校联考)设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,求此正三棱锥的表面积S.
